Sáng kiến kinh nghiệm: Giải toán chứng minh hình học 8 bằng cách vẽ thêm đường phụ - Năm học 2006-2007 - Hà Huy Sơn

kinh nghiệm trong dạy học
giải toán chứng minh hình học 8 bằng cách vẽ thêm đường phụ
A: Lời nói đầu :
 Trong chương trình hình học lớp 8,đặc biệt là chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi , có những bài toán chứng minh mà trong quá trình chứng minh phải vẽ thêm đường phụ mới đi đến kết quả . Có nhiều bài toán khó , chỉ sau vài đường kẻ thêm thì phương pháp chứng minh hiện ra thật đơn giản , thậm chí có thể nhìn thấy ngay ra cách giải . Tuy nhiên với học sinh việc giải toán bằng cách vẽ thêm đường phụ là rất khó khăn và thường thì học sinh vấp phải một trong hai vấn đề sau :
 Thứ nhất : Lúng túng trong việc tìm cách vẽ thêm đường hay cụ thể hơn là trong việc tìm cách vẽ thêm như thế nào cho có lợi, kết quả là có nhiều đường vẽ thêm không cần thiết ,không đúng hướng chứng minh dẫn đến hình rối và lạc hướng .
 Thứ hai : Ngộ nhận các tính chất của đường vẽ thêm để áp dụng vào lời giải mà không chứng minh .
 Thực tế cho thấy ,có nhiều đường phụ khác nhau và không có phương pháp chung ,đòi hỏi sự khéo léo ,sáng tạo ,sự linh hoạt tuỳ theo yêu cầu của mỗi bài toán cụ thể . điều quan trọng là khi vẽ phải xác định được đường phụ này tạo điều kiện để chứng minh nghĩa là vẽ có mục đích chứ không vẽ tuỳ tiện và cần tuân theo các phép dựng và bài toán dựng hình cơ bản .
 Xuất phát từ những suy nghĩ trên tôi xin đề cập một khía cạnh nhỏ về một phương pháp chứng minh bài toán hình học thông qua cách vẽ đường phụ . Trong chuyên đề nhỏ này người viết không có tham vọng sẽ trình bày được tất cả các phương pháp vẽ thêm đường phụ ( vì vấn đề này là vô cùng rộng ,đa dạng mà với mỗi người lại có cách thể hiện riêng ,độc đáo khác nhau ) mà chỉ nêu ra một bài toán điển hình ,một số nhận xét suy nghĩ để tìm tòi cách vẽ .
 Người viết cho rằng ,dạy học sinh vẽ thêm đường phụ là dạy suy nghĩ ,tìm tòi sáng tạo ,dạy cho các em biết định hướng mục đích công việc và bản chất sự việc chứ không phải dạy cách giải những bài toán cá thể . Hướng cho học sinh biết rút ra những nhận xét có tính chất khái quát để tìm lời giải . Người viết cũng hy vọng rằng chuyên đề nhỏ này sẽ mang lại cho một vài điều bổ ích cho các em học sinh nhất là học sinh giỏi trong quá trình học và giải toán chứng minh hình học .
Nội dung chuyên đề gồm 3 phần
* Phần I : Một số đường phụ thường vẽ và những điểm cần dùng khi vẽ thêm đường phụ. 
* Phần II : Một số phương pháp vẽ thêm đường phụ để giải các bài toán chứng minh hình học .
* Phần III : Các bài tập đề nghị .
B : Nội dung
Phần I : Một số loại đường phụ thường vẽ và những điểm cần chú ý khi vẽ thêm đường phụ :
 a. Một số loại đường phụ thường vẽ như sau :
1, Kéo dài một đoạn bằng đoạn thẳng cho trước hay đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước 
2, Vẽ một đường thẳng song song với đoạn thẳng cho trước từ một điểm cho trước .
3, Từ một điểm cho trước vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước 
4, Nối hai điểm cho trước hoặc xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho trước 
5, Dựng đường phân giác của một góc cho trước 
6,Dựng một góc bằng một góc cho trước hay bằng nửa góc cho trước 
b. Những điểm cần chú ý khi vẽ đường phụ 
1, Vẽ đường phụ phải có mục đích ,không vẽ tuỳ tiện phải nắm thật vững đề bài ,định hướng chứng minh từ đó mà tìm xem cần vẽ đường phụ nào phục vụ cho mục đích chứng minh của mình 
2, Vẽ đường phụ phải chính xác và tuân theo đúng các phép dùng hình cơ bản . 
3, Với một bài toán nhưng vẽ đường phụ khác nhau thì cách chứng minh cũng khác nhau , có khi cùng một đường phụ nhưng cách vẽ lại khác nhau 
Phần II : Một số phương pháp vẽ thêm đường phụ để giải các bài toán chứng minh hình học :
1. Vẽ đường phụ để tạo ra mối liên hệ giữa các điều kiện đã cho hoặc giữa các yếu tố trong kết luận của bài toán với nhau .
* Ví vụ 1: Cho hình thang ABCD ( BC// AD ) có góc A > góc C . Chứng minh đường chéo AC< BD 
 Hướng giải :
 Bình thường hai đường chéo AC và BD không có mối liên hệ nào giúp ta so sánh . Nếu đưa hai đoạn thẳng ấy
về chung một tam giác ta có thể vận dụng mối liên hệ giữa các cạnh và góc trong một tam giác để so sánh
 Muốn vậy ta có nhiều cách vẽ đường phụ . Có thể từ B hoặc C vẽ đường thẳng song song với AC hoặc BD cũng có thể ở giữa A và D ta chọn một điểm E sao cho BE = AC ( hoặc CF = AB ) điều này hoàn toàn có thể làm được bằng phương pháp dựng hình và như vậy ta đã làm xuất hiện tam giác BDE có BE = AC việc so sách AC với BD được chuyển thành so sách BE với BD trong tam giác BDE để so sách BE với BD ta so sánh các góc đối diện chúng trong tam giác BDE lấy góc A > gócD làm góc trung gian .
 * Ví dụ 2 : Cho hình vuông ABCD lấy 1 điểm M tuỳ ý trên CD vẽ phân giác của góc BAM cắt cạnh BC tại E chứng minh DM + BE = AM 
 Hướng giải :
Từ kết luận cần chứng minh của bài toán gợi ý cho ta cách vẽ thêm đường phụ sao cho hai đoạn thẳng BE và DM về cùng một đường thẳng tạo ra
một đường thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng liên tiếp có độ dài bằng 
BE + DM
 Trên tia MD ta đặt đoạn DF liên tiếp với MD sao cho DF = BE để có FD + DM = BE hoặc đặt BF liên tiếp với EB sao cho BF = DM để có BE + BF = BE + DM =EF với cách vẽ đường phụ ở hình trên ta chuyển từ chứng minh AM = DM + DE thành chứng minh AM =MF 
 Còn với cách vẽ đường phụ ở hình dưới ta phải cần thên một bước 
chứng minh AM = AF sau đó mới chứng minh AF = FE .
 2. Vẽ thêm đường phụ để tạo ra yếu tố trung gian có tính chất bắc cầu giữa các yếu tố cần chứng minh hoặc cần so sánh với nhau .
* Ví dụ 3: Cho hình bình ABCD trên AB và BC lấy hai điểm E và F sao cho AE =CF ( E AB ; F BC ) kẻ DH AF và DK CE chứng minh rằng DH = DK 
 Hướng giải :
 Ta thừa nhận ngay việc chứng minh cho DH = DK thực chất là chứng minh cho tam giác AFD = tam giác CED có diện tích bằng nhau vì hai 
tam giác này đã có hai cạnh đáy AF và CE = nhau . Nếu hai tam giác có hai cạnh đấy = nhau và có đường cao
thuộc hai cạnh đáy đó cũng bằng nhau thì diện tích bằng nhau .
 Vì vậy nếu ta vẽ đường chéo AC và lấy tam giác ACD làm trung gian để so sánh diện tích tam giác CED và diện tích tam giác AFD ta thấy ngay diện tích tam giác AFD = diện tích tam giác ACD ( cùng đáy AD cùng chiều cao hạ từ F và C xuống AD ) 
 Diện tích tam giác CED = S ACD ( cùng đáy CD cùng chiều cao hạ từ A , E xuống CD 
S AED = S CED hay 1/2 DH . AF = 1/2 DK. CE mà AF = CE => DH=DK
* Ví dụ 4 : Chứng minh rằng đường trung bình của hình thang cân thì nhỏ hơn đường chéo của nó 
Hướng giải :
 Gọi hình thang cân ABCD có BC// AD , AB= CD và BC < AD , M là đường trung bình của hình thang ta
phải chứng minh MN < BD nhưng giữa MN và BD không có mối liên hệ nào giúp ta so sánh được .
 Nếu từ M kẻ đường thẳng // với cạnh CD cắt AD tại E và ED làm trung gian để so sánh MN với DE và DE với BD bằng cách chứng minh MNBE là hình bình hành và tam giác BDE vuông tại E
3. Vẽ đường phụ để tạo nên một hình mới biến đổi bài toán để bài toán dễ chứng minh hơn .
 * Ví dụ 5 : Cho tam giác ABC có AB> AC vẽ hai đường cao BE và CD . Chứng minh rằng AB + CD > AC+ CE .
 Hướng giải : 
 ở bài này nếu ta biến đổi để có một đoạn thẳng AB + CD ra một đoạn thẳng khác = AC + BE thì cũng chẳng giúp gì cho việc chứng minh ,
nhưng nếu ta dựa vào đề bài cho AB > AC để biến đổi Kết luận Bằng cách chuyển vế AC và CD trong bất 
đẳng thức của kết luận ta có AB – AC > BE – CD .
 A
 B B/ 
 Như vậy bài toán có thể thành một bài toán mới tương đương .Cho tam giác ABC có AB > AC chứng minh rằng : Hiệu hai cạnh AB và AC thì lớn hơn hiệu hai đường cao tương ứng thuộc hai cạnh đó .
 Biến đổi bài toán như vậy sẽ gợi ý cho ta vẽ đường phụ bằng cách đặt đoạn AB chồng lên đoạn AC để làm xuất hiện đoạn thẳng hiệu của AB và AC . Đó là CB/ = AB/ - AC ta có ABB/ cân tại A từ B/ kẻ B/H AB và CF B/H . Đến đây ta thấy việc giải bài toán trở nên rất dễ dàng . Ta chỉ cần chứng minh cho BE = B/H và CDHF là hình chữ nhật , từ đó => được B/F = BE- CD . Cuối cùng bài toán được đưa về việc so sánh B/F và B/C trong tam giác B/FC .
 4. Vẽ thêm những đại lượng bằng nhau hoặc thêm vào những đại lượng bằng nhau mà đề bài đã cho để tạo ra mối liên hệ giữa các đại lượng cần chứng minh giúp cho việc chứng minh được dễ dàng . 
 * Ví dụ 6 : Cho tam giác ABC . P là một điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác góc PAC = góc PBC và M,N là hình chiếu tương ứng của P xuống AC và BC . Nối M,N với trung điểm D của AB . CMR : MD = ND 
 Hướng giải :
 Ta thấy AD là ND chưa có mối liên hệ gì giúp ta so sánh . Nếu ta xác định thêm hai trung điểm I và K của BP và AP rồi nối DK ,MK , nối DI ,NI khi đó ta thấy xuất hiện hai tam giác DMK và DNI . Từ đó gợi ý cho ta nghĩ đến việc tìm cách chứng minh cho hai tam giác = nhau từ đó rút ra MD = ND , mà tam giác DMK = tam giác DNI là điều dễ chứng minh .
 A
 B	C
 * Ví dụ 7 : CMR : Trong một tam giác vuông trung tuyến thuộc cạch huyền thì bằng nửa cạnh ấy .
Hướng giải :
 Ta thấy AC và tia MB giao nhau tại M . Khai thác tính chất đường chéo của hình bình hành gợi ý cho ta lấy trên tia BM một đoạn MD sao 
cho MD = MB . Ta được tứ giác ABCD là hình bình hành , lại có góc B = 90o lên là hình chữ nhật từ đó => MB = 1/2 AC . 
 O
 A D
B C
5. Vẽ thêm đường phụ để bài toán có thể áp dụng một định lý nào đó .
 * Ví dụ 8 : Cho tam giác ABC và một đường thẳng xy không cắt tam giác . CMR : Khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến đường thẳng xy = 1/3 tổng khoảng cách từ 3 đỉnh của tam giác tới đường thẳng đó .
Hướng giải :
 Dựa vào tính chất trung tuyến đường phân giác ta nghĩ ngay đến việc nối một đỉnh nào đó của tam 
giấc ABC với trọng tâm G thì đường thảng nối hai điểm đó phải đi qua trung điểm cạnh đối diện . 
 A
 B C
 Giả sử nối B với G thì BG sẽ đi qua trung điểm N của AC . Và lấy một điểm E là trung điểm của BG từ đó ta có BE = EG = GN = 1/3 BN . Khai thác tính chất này và dựa vào định lý “ Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 thì // với nhau “ . Tiếp tục vẽ các đường EE/ và NN/ vuông góc với xy tạo nên các hình thang AA/ C/C và BB/ G/G . Vận dụng tính chất đường trung bình của mỗi hình thang trên so với hai đáy của nó rồi biến đổi dần ta được kết quả cần chứng minh .
 Ví dụ 9 ; Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không có điểm trung với hình bình hành . Gọi AA/ , BB/ , CC/, vàDD/ là các đường vuông góc kẻ từ A,B,C,D đến đường thẳng xy . CMR : AA/+ CC/ = BB/ + DD/ .
Hướng giải : 
 Ta thấy các đoạn thẳng AA/ , BB/ , CC/, vàDD/ // với nhau . hơn nữa vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD . 
 o
 A B
 OO
 D C
điều này giúp ta nghĩ đến tính chất đường trung bình của hình thang 
, đường phụ OO/ xy ; O/ xy là chìa khoá để giải bài toán .
 Trên đây người viết xin đề cập đến năm phương pháp thường dùng để vẽ thường dùng để vẽ đường phụ để giải toán chứng minh hình học với những ví dụ điển hình . Tất cả những bài toán trên đều sử dụng phương pháp vẽ thêm đường phụ bằng những suy luận từ giả thiết và sự linh hoạt trong phương pháp . 
Phần III : Các bài tập đề nghị :
 Bài 1: ở miền ngoài hình bình hành ABCD lấy điểm P sao cho góc PAB = góc BCD . Các đỉnh A và C nằm trong những nửa mặt phẳng khác nhau đối với đường thẳng PB . CMR : góc APB = góc DPC .
 Bài 2: Cho tam giác cân ABC tại A . Từ trung điểm H của BC kẻ HE AC ( E
 AC ) . Gọi O là trung điểm của HE . CMR : OA BE .
 Bài 3: Giả sử AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD . Từ C kẻ các đường thẳng CE , CF tương ứng vuông góc với AB , AD . CMR : AB . AE + AD.AF = AC2 .
 Bài 4: Cho hình bình hành ABCD . Một đường thẳng cắt AB tại E . AD tại F và đường chéo AE tại G . CMR : + 
 Bài 5: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm . Một đường thẳng bất kỳ qua G cắt cạnh AB , AC tại M và N . CMR : 
 Bài 6 : Cho tam giác ABC có góc A = 90o chọn trên AB một điểm D , kẻ Dx // AC , cắt BC tại E sao cho AE CD tại K . Cho . Tính .
 Bài 7 : Cho hình thang ABCD ( AB//CD ) gọi E là giao điểm của AD và BC , F là giao điểm của AC và BD . CMR : EF đi qua trung điểm của AB và CD .
 Bài 8 : Cho A/, B/, C/, D/, lần lượt nằm trên cạnh BC , AC , AB của tam giác ABC . Biết rằng AA/ , BB/ , CC/ , đồng quy tại M . CMR : 
C. Kết luận
 Trong quả trình nghiên cứu về phương pháp chứng minh một bài toán hình học , người viết chỉ đưa ra 5 phương pháp cơ bản thường trong chương trình phổ thông cơ sở . Chuyên đề nhỏ này đã hệ thống hoá các tình huống vẽ hình phụ trong bài tập hình học , bên cạnh đó là một số ví dụ chứng minh minh hoạ cụ thể cho các tình huống đó và các bài tập tham khảo . 
 Tuy nhiên chuyên đề này vẫn có những hạn chế về thể loại , chưa đáp ứng được hết các đối tượng học sinh . Trong những phương pháp trên vẫn còn những hạn chế về nội dung và phương pháp . tôi rất mong nhận được sự góp ý xây dựng của các đồng chí đồng nghiệp nhất là những đồng chí giàu kinh nghiệm trong giảng dạy môn toán ở THCS để chuyên đề này được sửa chữa , củng cố đáp ứng được với các đối tượng học sinh .
Tôi xin chân thành cảm ơn !
 Thụy Duyên , Ngày 10 tháng 11 năm 2006 
 	 Người viết 
 Hà Huy Sơn
 Xác nhận của nhà trường