Sáng kiến kinh nghiệm Giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Đại số Lớp 8 - Mã Thị Diệp

A. đặt vấn đề
I.lời mở đầu
 Đại số là một là một môn khoa học có thể được xem là dễ học hơn so với bộ môn hình học theo quan niệm của một số giáo viên và học sinh, nhưng để dạy tốt- học tốt bộ môn đại số thì cũng không phải là điều dễ.Để học sinh có thể học chắc, hình thành cho mình kĩ năng và phương pháp giải toán thì giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản cần thiết không chỉ là những kiến thức cơ bản được đưa ra trong SGK mà giáo viên cần phải tham khảo các tài liệu,chắt lọc những kiến thức cơ bản mở rộng, đúc rút những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy để mở rộng kiến thức phù hợp với đôí tượng học sinh từ đó nâng cao hiểu biết về kiến thức cũng như trau dồi phương pháp giải toán cho các em. Để làm tốt được điều này đòi hỏi mỗi giáo viên toán phải thường xuyên nghiên cứu ,trăn trở để hệ thống lại những kiến thức theo từng chuyên đề logic với nhau ,biết tổng hợp các phương pháp giải từng dạng toán và các ứng dụng của nó từ đó giúp học sinh hình thành cho mình những phương pháp giải từng dạng toán , đó là chìa khoá để giải những bài toán khó ,gây hứng thú học toán cho học sinh. 
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
 Trãi qua thực tế nhiều năm giảng dạy môn toán, bản thân tôi đã tự nghiên cứu tài liệu và học hỏi kinh nhiệm của các bạn đồng nghiệp để tìm ra các phương pháp giải hay ngắn gọn cho từng dạng toán và ứng dụng của nó.Nhiều năm liền tôi được nhà trường phân công dạy toán 8 -9 tôi thấy rằng : học sinh thường ngại khi gặp các bài toán liên quan đến dấu giá trị tuyệt đối. Có những phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuỵêt đối rất đơn giản nhưng các em vẫn lúng túng khi trình bày bài. Nguyên nhân là các em chưa hiểu cặn kẻ định nghĩa về giá trị tuyệt đối , chưa phân định rõ ràng từng dạng bài vì vậy không xác định được phương pháp giải .Mặt khác thời gian phân phối cho các tiết học này rất ít vì vậy các em chưa nắm vững kiến thức về GTTĐ .
Sau khi dạy bài : Giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ,tôi cho học sinh làm bài kiểm tra 15 phút :
 Đề bài: Giải các phương trình sau( mỗi câu 5 phút ): 
1 /; 2/; 3/ 
Tỷ lệ học sinh làm bài cụ thể như sau: 
Số HS lớp 8B dự khảo sát: 40em
Làm được hoàn chỉnh trong thời gian khảo sát 15 phút
Làm xong nhưng hết > 15 phút
Không làm được(hoặc không đúng)
Trước 10 phút
Từ 11 – 15 phút
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Câu 1
2
5,0
5
12,5
20
50,0
13
32,5
Câu 2
2
5,0
4
10,0
19
47,5
15
37,5
Câu 3
1
2,5
2
5,0
17
42,5
20
50,0
 Qua kết quả khảo sát trên tôi nhận thấy học sinh chậm phát hiện ra cách giải quyết vấn đề trong thời gian cho phép, nhiều học sinh có làm được nhưng thời gian hết nhiều. Đa số các em giải rất máy móc đối với câu a) nhiều em phớt lờ xem như không có dấu giá trị tuyệt đối nên đã bỏ mất nghiệm.Với các phương trình có chứa từ 2 dấu giá trị tuyệt đối trở nên các em rất lúng túng trong vấn dề xét khoảng và lấy nghiệm số học sinh giải được câu 3 rất ít	.Do vậy tôi đã tổ chức phụ đạo một số buổi cho các em về các bài toán có liên quan đến giá trị tuyệt đối.
 Trong phạm vi một đề tài SKKN tôi đưa ra: Phương pháp giải bài toán có chứa dấu giá tị tuyệt đối “ với mục đích nâng cao hiệu quả dạy học bộ môn Đại số và giúp học sinh nhanh chóng tìm ra chìa khoá cho những bài toán khó ,cũng từ đó các em biết chọn cho mình những con đường đi ngắn nhất để đến đích một cách nhanh chóng mà không còn vướng mắc,tạo cho các em hứng thú học bộ môn Đại số nói riêng, bô môn Toán nói chung.
B. giải quyết vấn đề.
I) Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
 1) Định nghĩa giá trị tuyệt đối.
2) Các dạng phương trình và phương pháp giải.
 Dạng 1: Phương trình bậc nhất dạng ( A là nhị thức bậc nhất ,a là hằng số).
 Phương pháp giải : 
 a) Nếu a<0 kết luận phương trình vô nghiệm.
 b) Nếu a đưa về phương trình : A=a hoặc A=-a
 Bài tập ví dụ: Giải các phương trình:
 1/ 2/ 3/
 Giải :
1/Pt vô nghiệm vì VT luôn không âm với mọi x còn vế phải luôn âm.
2/ Vậy PT có hai nghiệm là: x1=; x2=-1
3/10x+40=0 . Pt có nghiệm là : x= - 4.
Dạng 2: Phương trình bậc nhất dạng ( A,B là các nhị thức)
1. Phương pháp giải:
Cách 1: Nếu A phương trình có dạng: A=B
 Nếu A<0 phương trình có dạng: -A=B
Nghiệm của các phương trình trên thoả mãn điều kiện trong từng khoảng đang xét là nghiệm của PT đã cho.
Cách 2: 
2. Bài tập ví dụ:
Bài 1: Giải các phương trình:
 1)
 2)
 3)
Giải:
1) 
Vậy : PT có nghiệm là x=
 2) 
Nếu x phương trình đã cho tương đương với pt: Do x nên x+1> 0
 Khi đó : hoặc x-3=-x-1
*( vô lý)
 * x-3=-x-1( TMĐK x )
Nếu x<0 phương trình đã cho tương đương Với:
 Vậy : Pt đã cho có nghiệm là: x=1
3) 
Vậy : Phương trình có vô số nghiệm thoả mãn x
Bài 2:Giải pt : (1)( m là tham số
 Giải : 
Vậy : để phương trình (1) có nghiệm thì phải có:
 hoặc: 
a)Nếu 
b)Nếu 
Tóm lại: thì pt (1) có nghiệm -
 thì pt (1) có nghiệm x=
Bài 3: Giải PT sau theo tham số m.
 (1)
 1) Nếu m > 0 phương trình (1) Hoặc 
 Hoặc
 2) Nếu m < 0 phương trình (1) 
(Vì m 0)
 Hoặc: Hoặc 
Tóm lại:
Nếu m< 0 thì phương trình có nghiệm là: hoặc
Nếu 0 < m thì phương trình có nghiệm là: x= hoặc 
Nếu m = 4 thì phương trình có nghiệm là: 
Nếu m= 0 hoặc m > 4 thì phương trình vô nghiệm .
Dạng 3: Phương trình bậc nhất dạng (A,B là các nhị thức)
Phương pháp giải: A =B Hoặc A = - B
Bài tập ví dụ:
Bài 1: Giải phương trình:
Vậy: phương trình đã cho có nghiệm là: x=-1 và x=1
Bài 2: Giải phương trình: 
(1) (2) 
Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm là: 
Dạng 4: Phương trình bậc nhất dạng 
Trong đó A,B,C là những nhị thức bậc nhất.
Phương pháp giải:
Đối với loại phương trình này ta nên lập bảng xét dấu để loại bỏ giá trị tuyệt đối 
sau đó giải phương trình trong từng khoảng.
Bài tập ví dụ:
 Bài 1: Giải phương trình:
 Ta lập bảng xét dấu loại bỏ giá trị tuyệt đối:
 x 2 3 +
 2-x 0 x-2 x-2
 3-x 3-x 0 x-3
 5-2x 1 2x-5
Nếu x <2 phương trình (1 ) có dạng: 5-2x=4 2x=1 x=(TMĐK x<2)
Nếu 2 Phương trình (1) vô nghiệm vì 1 khác 4
Nếu x>3 phương trình (1) có dạng 2x-5=4 2x=9 x=(TMĐK x>3)
Vậy : phương trình (1) có nghiệm là: x=; x=
Bài 2: Giải phương trình: (2)
Ta lập bảng xét dấu loại bỏ giá trị tuyệt đối VT:
 X - -2 1 3 +
 1-x 1-x 0 x-1 x-1
 -x -2 0 x+2 x+2 x+2 
 -2 2x-6 2x -6 2x-6 0 -2x+6
 VT(2) -7 2x-3 4x-5 7
Nếu x Pt vô nghiệm do -7 
Nếu -2<x<1 phương trình (2) (KTMĐK)
Nếu Phương trình (2) (KTMĐK)
Nếu phương trình vô nghiệm (do )
Vậy: Phương trình (2) vô nghiệm.
Bài 3: Giải phương trình 
Giải : Xét 3 trường hợp:
Nếu x<-2 thì (m-1)(-x-x-2)=3m- 4 
 Với mọi thì hay 
 Đúng với mọi hoặc m >2
Nếu Thì (m-1)(-x+x+2)=3m- 4
 Khi thì nên m=2 phương trình vô số ngiệm.
Nếu x > 0 thì (m-1)(2m+2)=3m-4
Khi thì đúng với mọi m hoặc m >2.
II. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối .
Dạng 1: a)
 b)
1)Phương pháp giải:
a) (với a>0)
b) 
2) Bài tập ví dụ:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a)
Vậy: nghiệm của bất phương trình là: 
b)
Vậy: nghiệm của bất phương trình là: 
Dạng 2: 
a)
b)
1) Phương pháp giải:
a) (với a>0)
b) 
2) Bài tập áp dụng:
Giải:
Dạng 3:
1) Phương pháp giải:
2) Bài tập áp dụng.
 Giải bất phương trình:
Dạng 4: 
a)
(4)
( Có thể lập bảng xét dấu loại bỏ giá trị tuyệt đối để việc xét khoảng thuận tiện hơn)
b) 
Đối với dạng này ta lập bảng xét dấu loại bỏ giá trị tuyệt đốiVT rồi giải bất PT trong từng khoảng .
Bài tập ví dụ: 
Giải các bất phương trình sau:
a)
Nếu x5(TMĐK)
Nếu -1ta có bất phương trình: x+1+1-x >5 vô nghiệm.
Nếu x>1 ta có bất phương trình: x+1+x-1>5(TMĐK)
Vậy: Nghiệm của bất phương trình đã cho là: hoặc 
b)
Nếu x x+3(TMĐK)
Nếu 1ta có bất phương trình: x-1+2-x >x+3( Không thuộc khoảng đang xét).
Nếu x>2 ta có bất phương trình: x-1+x-2>x+3(TMĐK)
 Vậy: Nghiệm của bất phương trình đã cho là: hoặc .
III.Phương trình bậc cao có chứa dấu giá trị tuyệt đối .
phương trình vô tỉ đưa về PT có chứa dấu GTTĐ .
Bài tập 1:Giải các phương trình :
a) x b) 
Giải :
a) Ta có : x2+x+1=(x+)2+Do đó :
Phương trình đã cho tương đương với:
Nếu x-3 phương trình (1) (TMĐK)
Nếu x< -3 phương trình (1) 
( KTMĐK đang xét)
Vậy : Phương trình đã cho có nghiệm là: x=1.
b) Đặt t= > 0 Khi đó phương trình đã cho trở thành phương trình:
t3-3t +2 =0
( TMĐK t >0) hoặc t=-2( KTMĐK t > 0)
 * Với t=1 ta có x=
Vậy: phương trình đã cho có tập nghiệm : S=
Bài 2:Giải phương trình: (1)
Cách 1: (1) 
Vậy : phương trình đã cho có 3 nghiệm: x=
Cách 2:
Phương trình (1)
Vậy : phương trình đã cho có 3 nghiệm: x=
Bài 3: Giải phương trình:
ĐKXĐ của phương trình: 
Phương trình (*)
Cách 1:Ta thấy : 
Dấu (=)xảy ra khi ()(3-)
 Vậy : phương trình đã cho có nghiệm là: 
Cách 2: Từ pt (*) ta có:
Nếu ta có phương trình:
 2-( Loại vì không thoả mãn điều kiện trên)
Nếu Phương trình có dạng:
 vô số nghiệm x
Nếu 
 Phương trình (*) ( loại vì không thoả mãn điều kiện x > 8)
IV. Hệ phương trình bậc nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Bài tập 1:Giải hệ phương trình sau:
Giải :Ta xem y là tham số , xét các trường hợp sau phá bỏ giá tri tuyệt đối đưa về hệ bậc nhất hai ẩn rồi giải chúng.
 x - + 
 -2x+3 -2x+3 0 2x-3
 -3x-2 0 3x+2 3x+2
 (1) 
 (2) 2 2 2
 Loại Loại Thuộc phạm vi khoảng xét
Vậy : với ta có: 
Lại có: 
Ta có các hệ sau:
(I)( Nghiêm thoả mãn)
(II)(Nghiệm không thoả mãn)
 (III) (Nghiệm thoả mãn)
(IV)(Nghiệm không thoả mãn)
Vậy: nghiệm của hệ phương trình là: (x=3;y=1) ; ()
Bài 3: 
(I)
Nếu ta có hệ:(Thuộc khoảng đang xét)
Nếu ta có hệ: ( không thuộc khoảng xét)
Nếu ta có hệ: (Thoả mãn)
Tóm lại : Hệ đã cho có nghiệm là:
Bài 3:Giải và biện luận hệ phương trình:
Giải :Từ phương trình (1) ta có 2y= x- m thay vào pt (2) ta có:
m
Nếu ta có phương trình: mx+2x= 2m+1(3)
Khi m=-2 PT (3) ( vô lý ) do đó hệ vô nghiệm.
Khi Để giá trị này là nghiệm của phương trình ta cần có:
 Hoặc m < -2
Nếu x< 0 ta có –mx+2x=2m+1.
 Khi m=2 phương trình (4) 0x=5( vô lý do đó hệ vô nghiệm.)
 Khi Để giá trị này là nghiệm của phương trình ta cần có:
 Hoặc m > 2
Kết luận:
Nếu thì hệ phương trình có nghiệm là: 
Nếu thì hệ phương trình có nghiệm là: 
Nếu thì hệ phương trình vô nghiệm .
 Bài 4: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm.
Giải : Từ phương trình (1) ta có 
Từ (2) ta có (x-y)2-(x-y)+m(x-y-1)=0
Nếu x- y =1 thì từ (3) 
Nếu x- y =- m thì từ (3) 
Vậy: nghiệm của hệ là: .
V.Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của đa thức
có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Phương pháp giải :
Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức và .Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi A.B ( Thường dùng đối với các đa thức có hai dấu GTTĐ)
Cách 2: Lập bảng xét dấu loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi đánh giá giá trị của đa thức trong từng khoảng xét.
Bài tập ví dụ.
Bài 1:Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải: 
Cách 1: 
Vậy : Amin=2 đạt được khi và chỉ khi (x-1)(3-x) 
Cách 2:
Trong khoảng x< 1 thì A=1-x+3-x=4-2x
Do x-2 đo đó 4-2x>2
Trong khoảng thì A=x-1+3-x=2
Trong khoảng x>3 thì A=x-1+x-3=2x-4
Do x > 3 nên 2x – 4 > 2
 So sánh giá trị của A trong các khoảng trên ta thấy giá trị nhỏ nhất của A bằng 2 khi và chỉ khi .
Bài 2: Tìm GTNNcủa 
Giải : Xét các trường hợp:
Nếu x3
Nếu ta có : B = x- 2006 + 2007 – x + 2008 – x =2009-x
Do nên đẳng thức xảy ra khi x=2006
Nếu ta có :B =x-2006+x-2007+2008-x=x-2005
Do nên <3 Đẳng thức xảy ra khi x=2007.
Nếu x>2008 ta có B= x-2006+x-2007+x-2008=3x-6000> 3
So sánh giá trị của B trong các khoảng trên ta thấy giá trị nhỏ nhất cuả B bằng 2 đạt được khi x=2007. 
Bài 3:Cho 
a)Tìm điều kiện của a để C được xác định.
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của C và giá trị tương ứng.
Giải :
ĐKXĐ:
Tacó: : C=
Vậy : MinA=2 đạt được khi và chỉ khi
Các bài tập luyện tập:
Bài 1: GiảI các phương trình :
1) 3) 
2) ) 4)
Bài 2: Cho phương trình với tham số m.
Giải phương trình đã cho.
Phải cho m giá trị nào để có x=36
Tìm những giá trị nguyên của m để có nghiệm x thuộc khoảng (0;8)
Bài 3: Giải các phương trình ;
Bài 4:Giải các hệ phương trình sau:
C. Kết quả và bài học kinh nghiệm
 Qua các buổi phụ đạo, tôi đã cung cấp cho các em học sinh các kiến thức lý thuyết, sau đó đưa ra các bài tập áp dụng cụ thể từng dạng bài và những kinh nghiệm, cách 
nhìn nhận, phán đoán để có phương pháp giải nhanh đối với từng bài, kết quả thu được sau 8 buổi ( tương đương 4 tuần học):
- Học sinh biết phân loại và nắm được phương pháp giải các dạng phương trình , bất phương trình , hệ phương trình và một số bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối .
 - Trang bị thêm cho các em những kiến thức về giá trị tuyệt đối mà các em thường mắc sai lầm, vì vậy mà các em không ngại khi gặp các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
 - Học sinh giải thành thạo các bài toán tìm GTLN, GTNN của các biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
 - Xây dựng cho các em niềm đam mê và hứng thú học tập bộ môn toán, phát huy tính tích cực , tự giác, chủ động sáng tạo trong học tập .
 Kết quả khảo sát khảo sát cụ thể như sau:(Khảo sát học sinh lớp 8)
Đề bài: 
Giải phương trình: 
Câu 1: 
Câu 2: 
Câu 3: Giải bất phương trình:
Số HS lớp 8B dự khảo sát: 40em
Làm được hoàn chỉnh trong thời gian khảo sát 15 phút
Làm xong nhưng hết > 15 phút
Không làm được
Trước 10 phút
Từ 11 – 15 phút
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Câu 1
13
32,5
20
50
5
12,5
2
5,0
Câu 2
15
37,5
19
47,5
4
10,0
2
5,0
Câu 3
20
50,0
17
42,5
2
5,0
1
2,5
 Để chất lường dạy –chất lượng học ngày một nâng lên đảm bảo theo yêu cầu của ngành giáo dục, bản thân mỗi thầy cô giáo chúng ta phải chịu khó suy nghĩ trau dồi phương pháp,đúc rút những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, biết chắt lọc ,hệ thống kiến thức theo từng chuyên đề bám sát , nâng cao phù hợp đối tượng học sinh từng lớp.Phải thường xuyên kiểm tra đánh giá kết quả học tập của các em ,kịp thời bổ sung sữa chữa những sai lầm về kiến thức, phương pháp giải đặc biệt là rèn luyện kĩ năng trình bày bài.Giáo viên phải có kế hoạch phân chia kiến thức thành các chuyên đề logíc ,theo hệ thống.Dạy sâu ,dạy chắc kiến thức và phải kết hợp giữa các dạng bài khác nhau.
 Dươi sự chỉ đạo sát sao của Phòng giáo dục và Đào tạo Hậu lộc và trường THCS Lộc tân về việc nâng cao chất lượng đại trà cũng như chất lượng mũi nhọn, bản thân tôi đã tích cực hưởng ứng, tìm tòi nghiên cứu để bổ sung cho mình cả về kiến thức và phương pháp với mục tiêu biết mười dạy một, đẩy mạnh phong trào thi đua dạy tốt .Trong quá trình giảng dạy đặc biệt là công tác bồi dưỡng mũi nhọn tôI đã đúc rút cho mình nhiều kinh nghiệm và đã đạt những hiệu quả khả quan. Trong năm học này tôi mạnh dạn viết một số kinh nghiệm bản thân trong phạm vi một đề tài SKKN,tuy đã cố 
gắng nhưng do khả năng có hạn nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót.Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để tôi rút kinh nghiệm cho những năm học sau.Đề tài tài này không những áp dụng cho học sinh lớp 8 mà còn áp dụng cho học sinh lớp 9.
Hoàn thành được đề tài này , ngoài việc nghiên cứu tài liệu,qua thực tế giảng dạy tôi còn được sự quan tâm giúp đỡ của các đồng nghiệp.
 Tôi xin chân thành cám ơn!
 Lộc Tân , ngày 20 tháng 03 năm 2008
 Người viết
 Mã Thị Diệp
ýkiến đánh giá của hội đồng cấp cơ sở
Tổ ,nhóm bộ môn trường THCS Lộc Tân
2)Hội đồng chấm SKKN trường THCS Lộc Tân.
Hội đồng chấm SKKN phòng giáo dục và đào tạo Huyện Hậu Lộc.
Mục lục:
Phần thứ nhất : Đặt vấn đề . Trang 1
Phần thứ hai : Giải quyết vấn đề
 I.Phương trình bậc nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối 3 
 II. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. 8
 III.Phương trình bậc cao có chứa dấu giá trị tuyệt đối 11
 Phương trình vô tỉ dưa về PT có chứa dấu GTTĐ.
 IV. Hệ phương trình bậc nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 13
 V. Tìm GTLN,GTNN của đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 16
Phần thứ 3 : Kết quả và bài học kinh nghiệm. 18