Sáng kiến kinh nghiệm - Đề tài: Một số bài Toán về dãy số viết theo quy luật

 Sáng kiến kinh nghiệm
 ----------ụ&ụ----------
Đề tài:
 Một số bài toỏn về dóy số viết theo quy luật 
 Phòng gd đt can lộc
 Trường thcs thiên lộc
 -----ụ&ụ-----
Sáng kiến kinh nghiệm
Đề tài:
 Một số bài toỏn về dóy số viết theo quy luật 
Người viết: 
 Gv: Bùi Minh Hải
Một số bài toán về dãy số viết theo quy luật
A. Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:
Dãy số viết theo quy luật là một dạng toán điển hình trong các kì thi học sinh giỏi đối với học sinh lớp 6, 7 và một số bài toán khác khó liên quan trong chương trình toán lớp 8 và lớp 9 mà nhiều năm trước lại đây tôi thấy thường gặp nhiều trong các kì thi học sinh giỏi khối THCS cấp huyện và cấp tĩnh, thành phố nhưng số lượng học sinh giải và làm được các dạng bài toán này không nhiều vì các em chưa nắm vững cách và quy luật giải của nó. Nhằm giúp các em nắm được cách giải và quy luật của các dãy số này và biết vận dụng linh hoạt sẽ giúp cho học sinh giải được các dạng toán liên quan tới nó. Điển hình là các dạng bài tập: Tính tổng, so sánh biểu thức, tìm x, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, xét một dãy số có chia hết cho một số nào đó, .... 
 Trong quá trình giảng dạy ở trường THCS Thiên lộc tôi nhận thấy rằng có rất nhiều dạng bài tập liên quan tới dãy số viết theo quy luật.
 Để giúp học sinh có hướng giải đúng, có sự tổng hợp và nắm được các dạng bài tập này, tôi đưa ra một số dạng toán điển hình giúp cho các em có cách nhìn tổng quát hơn.
II. Mục đích chọn đề tài.
 Để góp phần nâng cao chất lượng dạy học tại trường trung học cơ sở một cách toàn diện và hơn thế nữa nhằm bổ sung cho những học sinh khá, giỏi có thể phát triển các kỉ năng giải các bài toán khó trong các kì thi học sinh giỏi cấp huyện cấp tỉnh được tổ chức hàng năm
 III. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu nội dung dạy học tại trường trung học cơ sở
Tìm hiểu mạch kiến thức từ những bài tập đơn giãn đến những bài toán phức tạp hơn được viết theo một quy luật nào đó, sau đó tìm hiểu những bài toán có liên quan .Từ đó phát triễn thành những bài toán khác liên quan đến các dãy số được viết theo một quy luật.
Tìm hiểu mức độ vận dụng làm các bài tập ở trường và trong các kì thi học sinh giỏi cấp tĩnh, cấp huyện của học sinh.
 IV. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
 Đề tài này tôi trực tiếp nghiên cứu tại trường THCS, Đối tượng nghiên cứu là các bài toán bậc trung học cơ sở từ lớp 6 đến lớp 9, với cấp độ từ dễ đến khó từ đó phát triển thành các bài toán có cùng dạng nhưng với các cách hỏi khác nhau ví dụ: tính tổng, tìm x, so sánh,... các bài toán này đều vận dụng dạng toán viết theo một quy luật nào đó, nhằm hướng học sinh vận dụng linh hoạt các cách giải vào giải toán.
 V. Phương pháp nghiên cứu
 + Tìm hiểu thực trạng học sinh tại trường tôi đang dạy và một số trường lân cận qua các lần xem bài thi học sinh giỏi cấp huyện cấp tĩnh
 + Điều tra, phỏng vấn trực tiếp học sinh về việc tiếp thu và làm các bài tập có dạng như trên
 + Phương pháp thực nghiệm sư phạm ra bài kiểm tra học sinh các khối lớp với các dạng bài tập liên quan.
 + Phương pháp trinh bày lý thuyết, giải một số bài toán áp dụng, hướng dẫn áp dụng, nhận dạng bài toán, phát triển bài toán, đưa ra một số bài tập
+ Tham khảo các tài liệu, sách giáo khoa, sách bài tập, toán tuổi thơ và một số tài liệu khác
B. Nội dung
Chương I
Cơ sỡ lí luận và thực tiễn
 Hiện nay theo yêu cầu và mục tiêu của bộ giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài thì việc dạy học tại các trường THCS củng phải đảm bảo được một phần của mục tiêu đó, sách giáo khoa là một dụng cụ, phương tiện để giúp các giáo viên truyền thụ lại các kiến thức mà các nhà biên tập sách đã đề ra, nhưng trong sgk để giảng dạy trong nhà trường với thời lượng hạn chế không thể đáp ứng được nhu cầu cần thiết của tất cả đối tượng học sinh, vì vậy vấn đề đặt ra là cần thiết có thêm những tài liệu bổ trợ cho nhu cầu cần thiết của đa dạng học sinh, giáo viên và phụ huynh.
 Bài toán viết theo quy luật là những bài toán được bắt nguồn từ những bài toán rất đơn giản có từ cấp dưới, song khi đến cấp THCS thì yêu cầu về kiến thức cần được nâng lên về cả lượng và khả năng sáng tạo. Trong sách giáo khoa cấp THCS củng đã đưa ra một số bài toán dạng dãy số viết theo quy luật như tính tổng một cách hợp lí, so sánh tổng này với một số,Nhưng khi giảng dạy trên lớp phần lớn các giáo viên chưa đưa ra được phương pháp cụ thể nào để học sinh học hỏi tham khảo và hơn nữa giáo viên củng chưa yêu cầu cao về việc giải các bài tập dạng này. Điều tra qua thực trạng ở một số trường về việc học và dạy của học sinh, giáo viên và các kì thi, tôi thấy phần lớn học sinh chưa có kỷ năng giải các dạng bài tập này mà chỉ học lướt qua, đây không phải là do giáo viên hay ở học sinh mà vì một phần yêu cầu của sách giáo khoa với thời lượng hạn chế. Nên tôi thiết nghĩ cần nghiên cứu kỷ đề tài này nhằm giúp các em học sinh có thể nâng cao hơn nữa kiến thức của mình và sáng tạo hơn trong việc giải các bài toán về dãy số viết theo quy luật.
Chương II.
Một số bài toán về dãy số viết theo quy luật và định hướng cách giải
1.Cơ sở lý thuyết
Người học cần nắm được các cơ sở lý thuyết sau:
a) Dãy n số tự nhiên liên tiếp.
1, 2, 3, 4, 5, ......, n,...
b) Dãy số lẽ:	1, 3, 5, 7, ........, 2p + 1
c) Dãy số chẵn:	2, 4, 6, 8, ........., 2q..
d) Dãy các số chia cho 3 dư 1:
1, 4, 7, 10, ...........,3t+1...
e) Tính tổng các số tự nhiên liên tiếp cách đều .
 Ta dùng công thức: S = 
Trong đó: 	a: số đầu
b: Số cuối
n: Số số hạng
Tính số số hạng ta dùng công thức: n = (số cuối - số đầu) : khoảng cách + 1
f) Nếu mỗi số hạng của tổng có dạng: 
Ta sử dụng công thức: = 
g) Nếu mỗi số hạng của tổng có dạng: 	
Ta sử dụng công thức:
2. Các bài toán:
Các bài toán tính tổng:
Bài toán 1: Tính tổng n số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1:
1 + 2 + 3 + ........ + n
Hướng dẫn giải:
Đây là một bài toán đơn giản có thể yêu cầu những HS trung bình nhận dạng: dãy số trên được viết theo quy luật nào? đây là bài toán với yêu cầu gì? số đầu là bao nhiêu, số cuối là số nào? vậy ta áp dụng theo công thức nào?
Giải: Sử dụng công thức tính tổng các số tự nhiên liên tiếp:
1 + 2 + 3 + ......... + n = 
Ví dụ cụ thể: Tính tổng sau một cách hợp lý nhất
1 + 2 + 3 + + 2008+ 2009 = (1+ 2009) + (2 + 2008) +.+ (1004 +1006) + 1005 = = .
Bài toán 2: Tính tổng
a) A = 1 + 3 + 5 + 7 + ...... + (2n + 1)
b) B = 2 + 4 + 6 + ............. + 2n 
Tương tự cho HS nhận dạng, áp dụng công thức nào? Hãy lấy ví dụ 
Giải: 
Số số hạng: [(2n + 1) - 1] : 2 + 1 = 2n : 2 + 1 = n + 1 (số)
Tổng: A = = = (n + 1)2.
b) Số số hạng: (2n - 2) : 2 + 1 = 2.(n - 1) : 2 + 1 = n (số)
B = = n (n + 1)
Bài toán 3:Tình tổng:
S1 = 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 +............+ n . (n + 1 )
S2 = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 4 + 3 . 4 . 5 +...............n (n + 1) ( n + 2 )
Với bài toán này ta có thể đặt câu hỏi: em hảy cho biết nó thuộc dạng nào?(với mỗi câu)
Giải:
S1 = 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 +............+ n . (n + 1 )
3S1 = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 3 + 3 . 4 . 3 +..............+ n . (n + 1 ).3
 Ta có: 1.2.3 = 1.2.3 - 0.1.2
 2.3.3 = 2.3.4 - 1.2.3
 3.4.3 = 3.4.5 - 2.3.4
 ................................
 n (n + 1).3 = n (n+1) (n + 2) - (n - 1). n . ( n + 1 )
 Cộng từng vế n đẳng thức trên ta được:
3 S1 = n (n + 1) (n + 2)
ị S1 = .
S2 = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 4 + 3 . 4 . 5 +...............n (n + 1) ( n + 2 )
b) 4S2 = 1. 2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4. 5.4 + .......... + n . (n + 1) (n + 2).4
Ta có: 	1.2.3.4 = 1.2.3.4 - 0.1.2.3
2.3.4.4 = 2.3.4.5 - 1.2.3.4
3.4.5.4 = 3.4.5.6 - 2.3.4.5
n(n + 1) (n + 2) . 4 = n.(n + 1) (n + 2) (n + 3) - (n - 1). n . (n + 1) (n + 2)
Cộng từng vế n đẳng thức trên ta được:
4S2 = n . (n + 1) (n + 2) (n + 3)
ị S2 = 
Bài toán 4: Tính tổng:
B = 12 + 22 + 32 + ............ + 1002
Giải:
B = 12 + 22 + 32 + ............ + 1002.
B = 1(2 - 1) + 2(3 - 1) + 3(4 - 1) + ........... + 100 (101 - 1)
B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + ...... + 100.101) - (1 + 2 + 3 + ...... + 100)
B = 
B = 338350
Từ đó ta có bài toán tổng quát sau:
Bài toán 5: Tính tổng 
N = 12 + 22 + 32 + ......... + n2
N = 
N = 
Bài toán 6: Tính các tổng sau bằng phương pháp hợp lí nhất.
a) A = 
b) A = 
c) B = 
d) C = 
Giải:
Đây là những bài toán mà mỗi số hạng có dạng 
ta phân tích = 
áp dụng:
a) A = 
A = 
A = 1 - 
A = 
b)	A = 
A = 
A = 
A = 
c) Để làm bài này chỉ cần hướng dẫn hs phân tích mỗi mẫu thành tích ta có ngay dạng trên	
 B = 
B = 
B = 
B = 
B = 
d) Bài này các mẫu đã có dạng tích của hai số cách đều ta chỉ cần đặt 3 làm thừa số chung là có ngay dạng trên.
	C = 
C = 3 . 
C = 3 . 
C = 3 . 
C = 
 Bài toán 7: 
 Tính tổng(mỡ rộng với mỗi mẫu là tích của ba số tự nhiên liên tiếp)
A = 
Tổng quát :
B = 
Giải:
A = 
A = 
A = 
A = 
Tổng quát:
B = 
2B = 
2B = 
B = : 2
Ta củng có thể mỡ rộng với các bài toán khó hơn cho hs lớp 9 ví dụ
Bài toán 8: Tính tổng A = a1 + a2 +........+a2009, Biết:
Lời giải: Ta có. 
Vậy A = a1 + a2 +........+a2009 = 
Từ các bài toán này ta mở ra hàng loạt các bài toán tương tự khác.
 Bài toán 1: Tính tổng
S = 1.2.3.4.5 + 2.3.4.5.6 + ..... + n.(n + 1).(n + 2).(n + 3).(n + 4)
Bài toán 2: Tính tổng
M = 	
Bài toán 3: Tính tổng
13 + 23 + ...... + n3
Bài toán 4: Tính tổng
1.3 + 3.5 + 5.7 + ..... + (2n - 1) (2n + 1)
Bài toán 5: Tính tổng
1.2 + 2.5 + 3.8 + ..... + n . (3n - 1)
2. Các bài toán tìm x:
Bài toán 1: Tìm x, biết rằng.
a) 
b) 1 + 
Giải:
a) 
ị 	x + 3 = 308
x = 308 - 3
x = 305
b) 
1 - 
ị x + 1 = 2009
x = 2009 - 1	
x = 2008
Bài toán 2: Tìm x, biết:
x - 
Giải:
x - 
x - 
x - 10.
x - 10.
x - 10.
x - 10 . = 
x - = 
x = + 
x = 
x = 1	
 Một dạng khác
 Bài toán: Cho số tự nhiên N = 20032004. Viết N thành tổng của k số tự nhiên nào đó n1, n2, ....,nk S = n13+ n23 +... + nk3. Tìm số dư của phép chía S cho 6
Lời giải:
Vì a3 – a = a.(a2 – 1) = (a- 1).a.(a+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên a3- a chia hết cho 6 với mọi số nguyên a.
 Đặt N = n1+ n2+...+ nk ta có:
S - N = n13+ n23 +... + nk3- (n1+ n2+...+ nk)= n13-n1)+ (n23-n2)+...+ (nk3 - nk)chia hết cho 6 => S và N có cùng số dư khi cha cho 6.
Mặt khác, 2003 chia cho 6 dư 5 => 20032chia cho 6 dư 1 => N = 20032004=(20032)1002chia cho 6 dư 1. Vậy S chia cho 6 dư 1.
( Các bài toán tương tự)
Bài toán 1: Tìm x ẻ N biết
Bài toán 2: Tìm x ẻ N biết
Bài toán 3: Tìm x, biết:
Bài toán 4: Tìm x, biết:
x + 
Bài toán 5: Tìm x, biết:
3. Các bài toán so sánh:
Bài toán 1: Với mọi số tự nhiên x ³ 2, hãy so sánh:
A = với 1
Giải:
Do với mọi n ³ 2
Nên: A < C = 
Mặt khác: C = 
C = 1 - < 1
Vậy: A < 1
Bài toán 2: Với mọi số tự nhiên n ³ 2, hãy so sánh.
P = với 
Giải: P < Q = 
Mặt khác: 
Nên: 2Q = 
2Q = 
2Q = 1 - < 1
Q < 
Suy ra: P < 
Bài toán 3: Hãy so sánh.
a) A = với 
 ... nh:
A = 
Và B = 
Ta có: 
A = 
A = 
A = 
A = 
A = 
B = 
B = 
B = 
B = 
B = 
Mà: 
ị 
Vậy: A < B
Các bài tập tương tự:
Bài toán 1: Với mọi số tự nhiên n ³ 2, hãy so sánh.
M = với 1
Bài toán 2: Với mọi số tự nhiên n ³ 2, hãy so sánh.
N = với 
Bài toán 3: Với mọi số tự nhiên n ³ 3, hãy so sánh
P = với 1
Bài toán 4: Hãy so sánh
A = với 
Bài toán 5: Cho A = 1 + 2 + 22 + ...... + 22002 và B = 22003.
So sánh A và B
Ta có thể phát triển bài toán sau thành bài toán khó hơn cho học sinh lớp 9 trong các kì thi học sinh giỏi hoặc thi vào các lớp chuyên toán.
Bài toán 6:
Cho các số a1,a2,....,a2009. Biết rằng;
Với mọi k = 1,2,3....,2009.
Tính tổng a1+a2+....+a2009.
Bài toán 7:
 Tính tổng: A = 
Bài toán này ta có thể giải một cách dễ dàng theo trên và có kết quả sau:
Bài toán trên ta có thể phân tích như sau:
A = 
Mà ta có thể chứng minh được:
= = = 
Tương tự: = , = ,..
 .., = 
Vậy ta có thể ra một bài tập như sau:
Tính tổng +++...+ .
Như vậy để giải bài tập này chúng ta cần chứng minh đẵng thức = với a + b + c = 0 và mọi a,b,c ≠ 0.
Chương III
Thực nghiệm sư phạm
Bài soạn: Bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán 
Vận dụng công thức tổng quát để giải các bài toán liên quan
đến dạng toán về dãy số viết theo một quy luật
I. Mục tiêu:
 Qua bài học này học sinh cần nắm được các công thức tổng quát về các dạng toán được viết theo quy luật nào đó.
 Có kỷ năng vận dụng các công thức đó vào các bài tập, có tư duy sáng tạo trong các trường hợp đặc biệt
 Có kỷ năng nhận dạng các bài toán một cách nhanh chóng.
II. Chuẩn bị
 - GV Giáo án
 - HS nắm chắc các phép tính về cộng, trừ, nhân phân số, số nguyên
III. Nội dung bài giảng
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh
Hoạt động1. Nhận dạng dạng bài toán
 Em hãy lấy ví dụ về bài toán được viết theo quy luật ?
 Cho hs thảo luận xem các ví dụ lấy ra đã đúng là dạng toán được viết theo một quy luật nào đó chưa?
GV có thể bổ sung thêm các dạng khác
 - Với các phân số ta thường có các dãy số sau cùng với các phép tính cộng trừ tạo ra các bài toán về dãy số viết theo quy luật
Đặt vấn đề:
Vậy để giải những dạng bài tập này ta làm thế nào? có những bài toán nào liên quan?
Học sinh lấy mỗi em ít nhất hai ví dụ
Hs thảo luận và nhận dạng ra các bài toán như thế nào là dạng toán được viết theo quy luật
- Với số nguyên ta thường có các dãy số sau cùng với các phép tính cộng trừ tạo ra các bài toán về dãy số viết theo quy luật
1, Dãy n số tự nhiên liên tiếp.
 1, 2, 3, 4, 5, ...... n
2, Dãy số lẽ:	
 1, 3, 5, 7, ........, 2n + 1
3, Dãy số chẵn:	
 2, 4, 6, 8, ........., 2n
4, Dãy các số chia cho 3 dư 1:
 1, 4, 7, 10, ............
Hoạt động 2. Tìm quy luật cho cách giải các dạng bài toán trên
Lý thuyết:
Dạng 1: Tính tổng n số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1:
1 + 2 + 3 + ........ + n
Phương pháp: Sử dụng công thức tính tổng các số tự nhiên liên tiếp:
1 + 2 + 3 + ......... + n = 
Dạng 2. áp dụng cho dãy số lẽ liên tiếp
 A = 1 + 3 + 5 + 7 + ...... +(2n + 1)
Phương pháp: tìm số hạng và áp dụng công thức tổng quát
? Tổng trên có bao nhiêu số hạng? Cách tìm như thế nào?
Khoảng cách giữa hai số hạng là bao nhiêu?
(số cuối trừ số đầu rồi chia đôi sau đó cộng với 1)
Số số hạng: [(2n + 1) - 1] : 2 + 1 = 2n : 2 + 1 = n + 1 (số)
? Ta có cách tính như thế nào là nhanh nhất?
(lấy số đầu cộng số cuối rồi nhân với số cặp)
? vậy ta có công thức tổng quát 
Tổng: A = = = (n + 1)2.
Dạng 3: Đối với dãy số chẵn liên tiếp
B = 2 + 4 + 6 + ............. + 2n 
Phương pháp: Tìm số hạng và áp dụng công thức tổng quát
Tương tự cách hỏi như trên
Số số hạng: (2n - 2) : 2 + 1 = 2.(n - 1) : 2 + 1 = n (số)
B = = n (n + 1)
Dạng 4: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp
S1 = 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 +............+ n . (n + 1 )
Phương pháp : Tìm tích của ba lần tổng đó để tìm quy luật chung
Gv hướng dẫn học sinh cách làm
 3S1 = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 3 + 3 . 4 . 3 +..............+ n . (n + 1 ).3
 Ta có thể đặt câu hỏi : tích của ba số tự nhiên đó có thể phân tích của hiệu hai tích ba số tự nhiên liên tiếp nào?
 Ta có: 1.2.3 = 1.2.3 - 0.1.2
 2.3.3 = 2.3.4 - 1.2.3
 3.4.3 = 3.4.5 - 2.3.4
 ................................
 n (n + 1).3 = n (n+1) (n + 2) - (n - 1). n . ( n + 1 )
 Cộng từng vế n đẳng thức trên ta được:
3 S1 = n (n + 1) (n + 2)
ị S1 = 
Dạng 5: tựơng tự với tích ba số tự nhiên liên tiếp 
S2 = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 4 + 3 . 4 . 5 +...............n (n + 1) ( n + 2 )
Phương pháp: Tìm tích của bốn tổng đó sau đó phân tích như dạng trên
 4S2 = 1. 2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4. 5.4 + .......... + n . (n + 1) (n + 2).4
Ta có: 	1.2.3.4 = 1.2.3.4 - 0.1.2.3
2.3.4.4 = 2.3.4.5 - 1.2.3.4
3.4.5.4 = 3.4.5.6 - 2.3.4.5
n(n + 1) (n + 2) . 4 = n.(n + 1) (n + 2) (n + 3) - (n - 1). n . (n + 1) (n + 2)
Cộng từng vế n đẳng thức trên ta được:
4S2 = n . (n + 1) (n + 2) (n + 3)
ị S2 = 
B = = n (n + 1)
Từ hai dạng trên ta yêu cầu học sinh tìm dạng tổng quát cho dãy có dạng tương tự
Dạng 6: Tính tổng các bình phương các số tự nhiên liên tiếp
C = 12 + 22 + 32 + ......... + n2
Phương pháp: phân tích tìm công thức tổng quát
C = 
C = 
Dạng 7: Nếu mỗi số hạng của tổng có dạng: 
Phương pháp: hướng dẫn học sinh phân tích dạng trên thành hiệu hai phân số
Ta sử dụng công thức: = 
Dạng 8: Nếu mỗi số hạng của tổng có dạng:	
Phương pháp: Tương tự dạng trên
Ta sử dụng công thức:
Bài tập áp dụng:
 Bài 1: Tính tổng sau một cách hợp lí nhất
 A = 1 + 2 + 3 + + 2007 + 2008
Gv cho học sinh tự vận dụng tìm cách làm, sau đó gọi một học sinh lên trình bày
Kết quả: A = 
Bài 2: Tính nhanh các tổng sau: 
a) A = 1 + 3 + 5 + 7 + ...... + 2009 
Yêu cầu học sinh tự làm và lên bảng trình bày, học sinh cả lớp thoả luận, nhận xét
 Kết quả: A = = = (n + 1)2= 10052
B = 2 + 4 + 6 + ............. + 2008
Tương tự cách làm trên
 Số số hạng: (2n - 2) : 2 + 1 = 2.(n - 1) : 2 + 1 = n (số)
Kết quả: B = = n (n + 1) = 1004.1005
Bài 3: Hãy so sánh.
a) A = với 
b) B = với 3
? để giải các bài toán trên ta cần làm gì?
? Nó thuộc dạng nào trong phần lý thuyết trên?
? Vậy cách làm như thế nào?
Kết quả
a) 	A = . 
A = . 
A = . 
Vậy: A < 
b) B = 9 . 
B = 9 . 
B = 9 . 
Vậy: B < 3
Bài 4: 
So sánh hai biểu thức A và B
A = 
 B = 
Đặt câu hỏi tương tự như bài 3
?Để so sánh hai biểu thức A và B ta cần làm gì?
Gv gợi ý: các tích ở mẫu cách nhau bao nhiêu đơn vị? Ta cần làm gì để áp dụng được công thức đã học phần lý thuyết
Cho cả lớp thảo luận tìm lời giải, sau đó gọi một bạn lên trình bày
Gv nhận xét, bổ sung
Ta có: 
A = 
A = 
A = 
A = 
B = 
B = 
B = 
B = 
B = 
Mà: 
ị 
Vậy: A < B
Bài 5: Với mọi số tự nhiên n ³ 2, hãy so sánh.
M = với 1
Hướng dẫn giải:
Với bài này có thể có những cách khác nhau
Cách 1: Do với mọi n2 2 nên 
M < N =
Mặt khác 
 N == 
 =
Vậy M < 1
Cách 2: Do với mọi n2 2 nên 
 M < Q = 
Mặt khác 
 Q =
Vậy M < 1 
Bài 6: Với mọi số tự nhiên n 2,
Hãy so sánh P = với 1/2
Tương tự cách làm trên yêu cầu các nhóm học sinh thảo luận vận dụng làm bài
Sau đó gọi một học sinh lên trình bày, gv kiểm tra học sinh cả lớp mức độ vận dụng như thế nào.
Hoạt động 3 Củng cố, kiểm tra 
Gv nếu lại các dãy số được viết theo một quy luật và các bài toán thường gặp trong các sách tham khảo và các bài thi HSG cấp tỉnh, huyện.
Yêu cầu học sinh nhắc lại công thức tổng quát của mỗi dãy được viết theo quy luật, cách tính
Yêu cầu kiểm tra ở nhà:
Làm các bài tập sau:
Bài tập 1: Với mọi số tự nhiên n ³ 2, hãy so sánh.
N = với 
Bài tập 2: Với mọi số tự nhiên n ³ 3, hãy so sánh
P = với 1
Bài tập 3: Hãy so sánh
A = với 
Bài tập4: Tính tổng
S = 1.2.3.4.5 + 2.3.4.5.6 + ..... + n. (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)
Bài tập 5: Tính tổng
M= 
Bài tập 6: Tính tổng
13 + 23 + ...... + n3
Bài tập 7: Tính tổng
1.3 + 3.5 + 5.7 + ..... + (2n - 1) (2n + 1)
Bài tập 8: Tính tổng
1.2 + 2.5 + 3.8 + ..... + n . (3n - 1)
Bài tập 9: Tìm x, biết rằng.
a) 
b) 1 + .
Hs xem lại các nội dung đã học, đặc biệt nắm chắc công thức tổng quát cảu các dãy đó, nhận dạng chính xác quy luật của từng dãy
Hs chuẩn bị làm các bài tập đã giao về nhà hôm sau nộp cho gv
IV. Kết quả thực nghiệm kiểm tra
 Qua việc kiểm tra 12 em học sinh giỏi khối lớp 7 trong một thời gian học của học trò có kết quả như sau:
 - Loại khá có 6 em đạt từ 7 đến 8 điểm chiếm 50%
 - Loại giỏi có 1 em đạt 8,5 chiếm 12,5%
 - Loại TB có 3 em đạt từ 5 đến 6 điểm chiếm 25%
 - Loại yếu có1 em đạt dưới 5 điểm chiếm 12,5%
Nhìn chung là tỷ lệ có tăng rất nhiều so với đầu năm.
C. kết luận:
Trên đây là một số bài toán về dãy số viết theo quy luật thường gặp trong các sách bài tập, sách tham khảo, trong các kì thi học sinh giỏi cấp tĩnh cấp huyện mà tôi đã lượm lặt chọn lọc ra các bài toán điển hình, nêu ra các phương pháp, công thức tổng quát và đặc biệt là quy luật của dạng những bài toán như thế này. từ cơ sở thực tiễn,cơ sở lí thuyết đến những bài tập làm mẫu,các phương pháp giải và cách nhận dạng các bài tập này nhằm giúp học sinh rèn luyện những phẩm chất của trí tuệ như: độc lập sáng tạo, linh hoạt, độc đáo trong tư duy, làm tiền đề cho sự phát triển tư duy của học sinh trong học tập môn toán, tạo điều kiện xây dựng cho bản thân phương pháp làm toán, phương pháp học tập một cách có hiệu quả. Từ đó học sinh áp dụng vào những bài tập cụ thể, để củng cố từng dạng trong phương pháp đó.
Tuy nhiên do khả năng cú hạn chế, kinh nghiệm giảng dạy còn non ít thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên trình bày còn nhiều thiếu sót, lúng túng chưa mạch lạc trong khi triển khai đề tài này. Qua việc nghiên cứu đề tài này tôi cảm thấy mình kiến thức thật vô vàn nhưng mình cần học hỏi nhiều, và cần cố gắng hơn nữa, tuy vậy tôi cảm thấy tự hào khi hoàn thành được đề tài này một phần nó giúp ích rất nhiều trong việc giảng daỵ và bồi dưỡng và mạnh dạn hơn nhiều,say sưa và cảm thấy càng yêu nghề hơn, mặt khác có thể giúp cho người đọc, các em học sinh đọc đề tài này củng thu nhận được một phần kiến thức nào đó.
Còn do nhiều yếu tố khách quan và chủ quan nên có thể đề tài cuả tôi chưa thành công lắm rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô, bạn bè đồng nghiệp để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm !
Tài liệu tham khảo
Sách giáo khoa, sách bài tập khối 6,7,8,9 hiện hành
Toán chọn lọc cấp II của Lê Hải Châu
Chuyên đề số học của Võ Đại Mau
400 bài toán chọn lọc lớp 6
500 bài toán chọn lọc lớp 7
1001 bài toán số học chon lọc
Tập san toán tuổi trẻ
Tạp chí toán tuổi thơ
Chuyên đề bồi dưỡng toán 6,7
Mục lục
A. mỡ đầutrang 1
B. Nội dung
Chương I :Cơ sỡ lí luận và thực tiển.3
Chương II: Một số bài toán về dãy số viết theo quy luật..4
Chương III: Thực nghiệm sư phạm
Giáo án dạy bồi dưỡng toán khối lớp7..16
Kết luận25
Tài kiệu tham khảo...27
Mục lục.29.