Phân tích đa thức thành nhân tử và một số ứng dụng

Phân tích đa thức thành nhân tử và một số ứng dụng
1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
1.1. Các phương pháp đã học.
1.2. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
Ví dụ 1. Phân tích đa thức 3x2 -7x +4 thành nhân tử.
Giải: 3x2 – 7x + 4 = 3x2 – 3x – 4x + 4 = (3x2 – 3x) – ( 4x – 4) = 3x(x – 1) – 4(x – 1)
 = (3x – 4)(x – 1)
Ví dụ 2. Phân tích đa thức 4x2 - 4x - 15 thành nhân tử.
Giải. 4x2 - 4x - 15 = 4x2 - 4x + 1 – 16 = (2x – 1)2 – 16 = [(2x – 1) – 4][(2x – 1) +4]
 = (2x – 5)(2x + 3)
Tổng quát: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c ta thường thực hiện tách b hoặc c sao cho có thể nhóm thành 2 nhóm và xuất hiện hoặc hằng dẳn thức hoặc nhân tử chung rồi phân tích tiếp.
+ Tách b. Viết tích a.c bằng mọi cách có thể, chọn 1 cách sao cho a.c = b1.b2 và thoả mãn b1 + b2 = b. Khi đó viết ax2 + bx + c = ax2 + (b1 + b2 )x + c và phân tích tiếp.
Hạn chế: Phương pháp này chỉ nên áp dụng cho trường hợp đa thức có nghiệm hữu tỉ.
+ Tách c. Tìm 1 số để thêm vào ax2 + bx để xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng (hoặc hiệu) rồi từ đó tách c theo số đó.
Lưu ý: Khi a không phải là số chính phương, ta có thể nhân hoắc chia đa thức cho 1 số để xuất hiện. Ví dụ: 3x2 -7x + 4 = 3(x2 - x + ) = 3(x2 – 2x. + - )
 = 3[(x - )2 - ] = 3[(x - ) - ][(x - ) + ] = 3(x - )(x – 1) = (3x – 4)(x – 1)
1.3. Phương pháp thêm, bớt một hạng tử.
Nhiều khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần thêm, bớt 1 hạng tử để làm xuất hiện hằng đẳng thức và mới phân tích được.
Ví dụ: Phân tích đa thức: x4 + 4 thành nhân tử.
Giải: x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = [(x2 + 2) + 2x][(x2 + 2) – 2x]
 = (x2 + 2x + 2)( x2 – 2x + 2)
2. Một số ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử.
2.1. Giải phương trình bậc lớn hơn 1.
Ví dụ 1. Giải phương trình: 
3x2 -7x + 4 = 0 ú (3x – 4)(x – 1) = 0 ú ú ú 
Ví dụ 2. Giải phương trình: (x + 1)(2x – 3) = - 2.
2.2. Bài toán về số chính phương.
Ví dụ a. CMR: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1 là một số chính phương với mọi x € Z.
b. Phát biểu bài toán bằng lời và tổng quát bài toán.
 (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 là một số chính phương với mọi x € Z, a € N.
2.3. Bài toán về hợp số, số nguyên tố.
Ví dụ 1. a, Tìm số tự nhiên x sao cho x4 + 4 là số nguyên tố.
 b. CMR với mọi số tự nhiên k ta có: k4 + 64 là hợp số
Ví dụ 2. a. Tìm số tự nhiên x sao cho: x7 + x2 + 1 là số nguyên tố
 b. Tìm số tự nhiên x sao cho x2009 + x2008 + 1 là số nguyên tố
2.4. Bài toán về tính chia hết trong Z.
Ví dụ: a. Với mọi p nguyên tố, p > 5. CMR: p2 – 1 24
 b. Với mọi p, q nguyên tố lớn hơn 5. CMR: p2 – q2 24
 c. cho a + b + c = 2010. CMR: a3 + b3 + c3 6