Ôn tập môn Toán 8 - Phần I: Số học

Phần I: SỐ HỌC
MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
1/ nếu a1 ,a2, a3... đều chia hết cho b 
Thì : a/ a1+ a2 + a3 + chia hết cho b
 b/ a1n + a2.n + a3.n  chia hết cho b
Thì a2 b
[
[
[
[
* HỆ QUẢ : a1 b
 a1 + a2 b 
2/ b1\ a1 , b2 \ a2 , b3 \ a3 thì b1.b2 .b3 \ a1.a2.a3 
* HỆ QUẢ: b\ a thì bn \ an và b.c \ a.c ( với mọi n N, c 0 , c Z )
3/ bc\ ac b \ a ( c 0)
 a b.c
[
[
[
[
4/ Nếu a b
 a c
 ( b,c) = 1 
5/ Nhị thức Niu-Tơn: 
a/	 an - bn = ( a-b)(an-1b0 + an-2b + an-3b2++a0bn-1) với n N, và ab
b/ an + bn = ( a+ b)(an-1b0 - an-2b + an-3b2 – an-4b3 +-abn-2 + a0bn-1) với n N, n lẻ và a-b
c/ 	( a+ b+ c)2 = 
d/ 	
6/ Định lý BRu ( mở rộng chia hết trong đa thức ) 
Nếu f(x) có nghiệm là x0 thì f(x) = ( x-x0)g(x) họăc f(x) ( x-x0).
Nói cách khác f(x) (x- a) khi f(a) = 0
CHÚ Ý:a/ Nếu tổng các hệ số của đa thức f(x) bằng 0 thì f(x) có nghiệm bằng 1 . Hay f(x) (x-1)
b/ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì f(x) có nghiệm x = -1 . Hay f(x) (x+1)
7/ CHIA HẾT – CHIA CÓ DƯ :
Ngòai các điều kiện chia hết học ở lớp 6 , ta cần nhớ thêm các điều kiện sau:
+ Mọi số chẵn đều chia hết cho 2
+ ĐK chia hết cho 4 ( họăc 25) : Số có 2 chữ số tận cùng lập thành một số có 2 chữ số chia hết cho 4 (hoặc 25) thì số ấy chia hết cho (4 họăc 25).
+ ĐK chia hết cho 8 ( họăc 125) : số có 3 chữ số tận cùng lập thành một số có 3 chữ số chia hết cho 8 (hoặc 125) thì số ấy chia hết cho 8 (hoặc 125)
+ Tích 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8
+ Với a,b Z ; b 0 luôn tồn tại một cặp số nguyên q, r sao cho < ). Ta gọi r là số dư , q là thương trong phép chia a cho b
+ Định lý BRu mở rộng ( Tham khảo) : Phần dư của phép chia f(x) cho nhị thức 
g(x) = x-a là một hằng số bằng giá trị của f(a) 
 + Lược đồ Hooc-Ne ( Tính hệ sốø của đa thương và dư trong phép chia 
Đa thức f(x) = cho nhị thức 
an
an-1
an-2
a1
a0
bn=an
( Dòng thứ 2 : giá trị ở ô cuối cùng là số dư, giá trị ở mỗi ô còn lại là hệ số của đa thức thương)
+ Tam giác PASSCAN:	 1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1
1	7	21	35	35	21	7	1
1	8	28	56	70	56	28	8	1
( Các số ở mỗi dòng của tam giác ứng với các hệ số trong khai triển các lũy thừa của một tổng 2 số hạng)
8/ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN :
f(x) = 
Nếu cĩ nghiệm hữu tỷ thì : p là ước của an () và q là ước của a0 ()
Nếu cĩ nghiệm nguyên x = a thì a là ước của an 
Nếu f(x) cĩ nghiệm x = a thì (x- a ) là một nhân tử của f(x)
* VD1- Phân tích đa thức: f(x) = x3 – x2 +4 thành nhân tử ( CMR : x3 – x2 +4 chia 
hết cho x2+x+2)
+nghiệm nguyên nếu có của f(x) thì x = 
+ Thử lại ta có x = 2 là nghiệm .
 Vậy ( )
+ x2+x+2 có = -7 < 0 ( VN)
* VD2 phân tích f(x) = 3x3 + 7x2 + 17x -5 thành nhân tử
Nghiệm nguyên nếu có của đa thức thì x 
Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức thì x 
Thử lại ta có là nghiệm . do x2-2x +5 VN
9/ Phương trình bậc hai : 
Cĩ biệt thức : 
* < 0 phương trình vơ nghiệm.
* = 0 tphương trình cĩ nghiệm kép 
* > 0 phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt: 
VD- 3x2 – 8x + 4 = 0
10/ phương pháp chứng minh bằng quy nạp: f(x) = a
* CM f(x) đúng với x = 1
* Giả sử f(x) đúng với x = n 
* Chứng minh f(x) luôn đúng với x = n+1
 VD
 I-PHÉP CHIA HẾT
BÀI 1: 1, Cho biểu thức: A = 
a, Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số.
b, Tìm các số nguyên n để biểu thức A là số nguyên.
2, Tìm x biết:
a, x chia hết cho cả 12; 25; 30 và 0 ≤ x ≤ 500
b, (3x – 24). 73= 2. 74
c, 
3, Bạn Hương đánh số trang sách bằng các số tự nhiên từ 1 đến 145. Hỏi bạn Hương đã dùng bao nhiêu chữ số ? Trong những chữ số đã sử dụng thì cĩ bao nhiêu chữ số 0 ?
BÀI 2: 1, Cho S = 5 + 52 + 53 + . . . . + 596 
a, Chứng minh: S 126
b, Tìm chữ số tận cùng của S
2, Chứng minh A = n(5n + 3) n với mọi n Z
3,Tìm a, b N, biết: a + 2b = 48 
 ƯCLN (a, b) + 3. BCNN (a, b) = 14
BÀI 2 :a. Chứng minh: (n Z) tối giản
b.Bạn Hương đánh 1 cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẵn.
c, Bạn Hương cần bao nhiêu chữ số để đánh hết cuốn sách đĩ ?
d, Trong dãy số trên thì chữ số thứ 300 là chữ số nào ?
e, Tính:
BÀI 3: 1) Rĩt gän 
2) Cho 
Chøng minh: S < 1
3) So s¸nh: vµ 
4) T×m sè nguyªn tè P sao cho c¸c sè P + 2 vµ P +10 lµ sè nguyªn tè
5) T×m gi¸ trÞ nguyªn d­¬ng nhá h¬n 10 cđa x vµ y sao cho 3x - 4y = - 21
6 )Cho ph©n sè: 
 	a) T×m n ®Ĩ A nguyªn. 
 	b) T×m n ®Ĩ A tèi gi¶n . 
BÀI 4
1) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ sè 
a) Chia hÕt cho 15
b) Chia hÕt cho 45
2/ Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 27 (n lµ sè tù nhiªn).
3/ Cho 
a) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 3 víi mäi sè nguyªn n.
b) T×m gi¸ trÞ nguyªn d­¬ng cđa n víi n < 10 ®Ĩ A chia hÕt cho 15.
4/ Trong ®ỵt thi häc sinh giái cÊp tØnh cã kh«ng qu¸ 130 em tham gia. Sau khi chÊm bµi thÊy sè em ®¹t ®iĨm giái chiÕm , ®¹t ®iĨm kh¸ chiÕm , ®¹t ®iĨm yÕu chiÕm tỉng sè thÝ sinh dù thi, cßn l¹i lµ ®¹t ®iĨm trung b×nh. 
TÝnh sè häc sinh mçi lo¹i.
BÀI 5:
1/ Cho 
a) TÝnh tỉng A.
b) Chøng minh r»ng .
c) A cã ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng kh«ng ? V× sao ?
2) T×m n Ỵ Z ®Ĩ 
CHUYÊN ĐỀ TÍNH TỔNG HỮU HẠN
Bài 1: 
a. Cho n là một số nguyên dương. Hãy so sánh:
 và 
b. Tính:
Bài 2: 
Chứng minh rằng:
 với và
VÝ dơ1(SGK-T8.Tr25)
Chøng minh r»ng: nn chia hÕt cho 6 víi mäi sè nguyªn n.
Gi¶i: 
 Ta cã nn =n.(n-1).(n+1). Trong ba sè nguyªn liªn tiÕp n,n-1,n+1 lu«n cãmét sè chia hÕt cho 2 , mét sè chia hÕt cho 3 vµ (2,3)=1 .Do ®ã nn .
 Qua bµi to¸n trªn ta thÊy nvµ n ®ång d­ khi chia cho c¸c sè 2,3 vµ6 tõ ®ã ta ®Ị xuÊt mét sè bµi to¸n t­¬ng tù nh­ sau.
Bµi1:
 Chøng minh r»ng : 	.
Gi¶i: Tacã 
 Tõ ®ã suy ra ®iỊu ph¶i chøng minh.Tỉng qu¸t ho¸ ta ®­ỵc bµi to¸n sau.
Bµi2: Chøng minh r»ng:
Bµi3: Cho A= Hái A cã chia hÕt cho 6 kh«ng?
H­íng dÈn: §Ỉt S=1+2+3+4+............+98+99. Theo bµi 2 ta cã A-S chia hÕt cho 6,trong ®ã S=. Do ®ã A.
Bµi4:(Thi häc sinh giái T.P-HCM n¨m häc 2003-2004).
Chøng minh r»ng: víi mäi sè nguyªn x,y,z.
Gi¶i: .
Theo VD1 ta thÊy c¸c h¹ng tư cđa VP ®Ịu chia hÕt cho 6, tõ ®ã suy ra ®iỊu ph¶i chøng minh.
Bµi5:
ViÕt sè thµnh tỉng cđa k sè tù nhiªn tuú ý .T×m sè d­ cđa phÐp chia cho3.
Gi¶i: §Ỉt N= vµ .
Ta cã N- ,(VD)
MỈt kh¸c chia cho 3 d­ 1, do ®ã N chia cho 3 d­ 1.
KÕt hỵp víi h»ng ®¼ng thøc ®· häc ®­ỵc ph¸t triĨn thµnh c¸c bµi to¸n thĩ vÞ sau.
Bµi 6:
Cho . Chøng minh r»ng P chia hÕt cho 6 víi mäi sè nguyªn a,b.
Gi¶i:
§Ỉt. Khi ®ã ta cã
P=.
Bµi7: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn x,y th×:
.
Gỵi ý: §Ỉt 
	Ta cã (v× 3 lµ sè nguyªn tè).
Bµi8: Cho c¸c sè nguyªn x, y , z tho¶ m·n : x+y+z=
Chøng minh r»ng: M= chia hÕt cho 6.
Gi¶i:
§Ỉt 
Ta cã: .
Do ®ã M(theo-BT	)
 KÕt hỵp vÝ dơ 1 víi bµi to¸n t×m nghiƯm nguyªn ta cã mét sè bµi to¸n sau.
Bµi 9: T×m nghiƯm nguyªn d­¬ng cđa c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a) (1)
b) (2)
Gi¶i:
a) (3)
DƠ thÊy VT cđa (3) chia hÕt cho 6 (theo-VD1).Nh­ng kh«ng chia hÕt cho 6,do ®ã ph­¬ng tr×nh ®· cho kh«ng cã nghiƯm nguyªn.
b) §Ỉt . Khi ®ã ph­¬ng tr×nh (2) trë thµnh : . V× 189 nªn .Tõ ®ã suy ra p+q lµ sè chÝnh ph­¬ng chia hÕt cho 3.
MỈt kh¸c .Do ®ã p+q chØ cã thĨ b»ng 9, tõ ®ã suy ra ph­¬ng tr×nh cã hai nghiƯm (x,y)=(1,2)hoỈc (2,1). Thư l¹i thÊy tho· m·n.
Bµi 10 trang 14 (S¸ch bµi tËp tãan 9 tËp I ) chøng minh r»ng 
 víi n lµ sè tù nhiªn.
Chøng minh : () 
 Ph¸t biĨu c¸ch kh¸c :
1. Chøng tá víi mäi sè tù nhiªn n th× (vµ ) lµ hai sè nghÞch ®¶o.
2 . (víi n lµ sè tù nhiªn)
Bµi 12: TÝnh 
 a. 
 b. víi n 1
 Gi¶i :
 a. 
 = 
 b. víi n 1
 = 
Bµi 13: TÝnh
 a. A = 
 b. B = 
§Þnh h­íng : hay 
Gi¶i : 
a. A = 
 = 
 = 
 = 
 b. B = 
 B = 
 = 
 = 
 ëBµi 71, thay 1 = x N ta cã bµi to¸n 3
 Bµi 14 Chøng minh: Víi x>0,n
 Ta cã: 
Bµi15 TÝnh
 a. C = 
 b. D = 
Víi k lµ sè tù nhiªn 1
Gi¶i
a. ¸p dơng bµi 3 vµo bµi bµi 4 a. ( )-= 3 , ë ®©y x = 3
Ta cã:
 C = +
 = 
 =
b. ¸p dơng bµi3vµo bµi bµi 4b ()- () = 2, ë ®©y x = 2 
Do ®ã ta ®­a vỊ d¹ng bµi to¸n 4a nh­ thÕ nµo ? ( Nh©n 2 vµo 2 vÕ )
 2D = 
 2D = 
 2D = D = 
 Bµi 16: TÝnh
 a. E = 
 §Þnh h­íng : = ? 
 = . = 
 = 
 E = 
 = 1- 
Ta cã
===
Bµi 17: Kh«ng dïng m¸y tÝnh h·y so s¸nh 
 A = vµ B = 
Gi¶i : 
 ap dơng bµi 71
 A = 
 B = 
 A < B do 
Bµi 18: Tỉng qu¸t tõ bµi 6 ta cã : 
 víi n 1
¸p dơng bµi 71 (bµi tËp to¸n 9 tËp I) ta cã ®iỊu ph¶i chøng minh.
Bµi 8 : Thay 1 = x ë bµi 7 ta cã : Víi >1
 A = 
 B = 
 ta cã : A < B 
 tõ bµi to¸n 6 ta cã bµi to¸n sau:
Bµi 19: So s¸nh C vµ D 
 C = 
 D = 
Víi m > n > 0 ,p > 0
 Ta cã 
 C = 
 D = 
 V× m > n C < D
*ap dơng bµi 71 chøng minh bÊt ®¼ng thøc
 Bµi 20 : Chøng minh
 a. (Víi n 1)
 b. (víi n> x 0) 
 Chøng minh
 a. 
BÊt ®¼ng thøc nµy ®· chøng minh ë bµi 7
b. 
 §· chøng minh ë bµi 8
Bµi 21 : Chøng minh : víi m -1
 Chøng minh: Víi n = 2 m +1, thay vµo bµi 10a th× ta ®­ỵc :
Bµi 12:Kh«ng dïng m¸y tÝnh vµ b¶ng sè h·y chøng tá 
 Gi¶i 
V× 0 < ( Suy ra tõ bµi 10a )
Bµi 22: a. Chøng minh r»ng víi mäi nN*
 b. Chøng minh: 
 Gi¶i
a. 
 ( Ap dơng bµi 71 trang 14 )
2> + (hiĨn nhiªn ®ĩng ) 
 b. 
 * Chøng minh : 2 (- ) <
 0 < < 
 + > 2 
 > 
 BÊt ®¼ng thøc nµy hiĨn nhiªn ®ĩng
 * Chøng minh
 0 < < 
 2> +
 > 
 BÊt ®¼ng thøc nµy hiĨn nhiªn ®ĩng
 BÊt ®¼ng thøc ®· cho ®­ỵc chøng minh
 Bµi 23 : Cho S = 1+ + 
 Chøng minh
 18 < S < 19
 Chøng minh
Áp dơng bµi 13b ta cã : 
 Thay n = 2,3,4,......100 ta cã:
 2 ( ) < < 2 ()
 2 ( ) < < 2 ()
2 ( 
 .
 2( )
 Céng vÕ víi vÕ ta cã 
1 + 2 ( )< S < 1 + 2( ++ + )
1+2 () < S < 1+2 ( )
 1+2 ( 10 -1,5 ) < S < 1+2 (10-1)
 VËy ta cã : 18 < S < 19
 Chĩ ý : Cịng cã thĨ thay ®ỉi néi dung bµi nµy nh­ sau :
 C¸ch 1: Chøng minh S kh«ng ph¶i lµ sè tù nhiªn 
 C¸ch 2: T×m phÇn nguyªn cđa S
Bµi 24 So s¸nh A vµ B 
A = 2 ( ; B = 2 ( 
Áp dơng bµi 11 . víi m -1
 Cho m = 0 , 1, 2 , ,1003 ta cã:
 ..
 ..
 ..
Céng vÕ víi vÕ ta cã: 
)
A < B
Bµi 25 : Chøng minh r»ng : 
 1+ 	
Chøng minh : Tõ bµi 13 b ta cịng cã : 
LÇn l­ỵt cho n = 0 , 1 , 2 , 3, 2499 ta cã
1 < 2
..
Céng vÕ víi vÕ ta cã:
1+
 ( §iỊu ph¶i chøng minh )
C. Khai th¸c øng dơng cđa bµi 71 trong gi¶i ph­¬ng tr×nh
Bµi 26 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
 víi x 
 Gi¶i:
Bµi 27: Gi¶i ph­¬ng tr×nh :
 = 9 ( 18 )
 ( Cã 2007 sè 2 )
Gi¶i :
 Víi x -1 ta cã :
 ( T­¬ng tù bµi 7 ) 
Ta cã : 2 + 
Ph­¬ng tr×nh (18) 
Bµi 28 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh :
 ( ( 19 )
Gi¶i : 
 §Ỉt y = ( 
 Ph­¬ng tr×nh (19) 
Thay l¹i Èn x ta cã :
VËy ph­¬ng tr×mh ®· cho cã nghiƯm
 x = ± 2
Bµi 29 :Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
 (20)
Gi¶i: 
§Ỉt y = 
=> 
 ... t sè hƯ c¬ b¶n.
3.VÊn ®Ị quan hƯ gi÷a c¸c yÕu tè trong nghiƯm cđa hƯ : 
*CÇn ®Ị cËp ®Õn 2 d¹ng to¸n c¬ b¶n 
 - T×m ®iỊu kiƯn ®Ĩ biĨu thøc gi÷a (x, y) lµ nghiƯm cđa hƯ tho¶ m·n ®iỊu kiƯn cho tr­íc.
 - Chøng minh biĨu thøc gi÷a (x, y) lµ nghiƯm cđa hƯ tho¶ m·n §K cho tr­íc.
*CÇn l­u ý ®Õn c¸c khÝa c¹nh bÊt ®¼ng thøc, cùc trÞ, sè häc trong c¸c §K trªn. 
4.VÊn ®Ị quan hƯ gi÷a c¸c hƯ ph­¬ng tr×nh : 
 - Gi¶i quyÕt quan hƯ t­¬ng ®­¬ng vµ quan hƯ nghiƯm chung
II C¸c d¹ng to¸n ®iĨm h×nh
Bµi 1 : T×m sè nghiƯm cđa c¸c hƯ sau theo tham sè 
Bµi 2 : Gi¶i c¸c hƯ PT sau : 
	x - = 1	
Bµi 3 : Cho hƯ PT : 
a ) T×m m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm tháa m·n xy lín nhÊt (nhá nhÊt ) nÕu cã
T×m m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm nguyªn (x, y)
T×m m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm (x, y) mµ 
Bµi 4 : T×m gi¸ trÞ cđa tham sè ®Ĩ : 
a > vµ t­¬ng ®­¬ng
b > vµ cã nghiƯm chung
PHƯƠNG TRÌNH 
Phương trình vơ tỷ
Phương pháp nâng lên lũy thừa
Dạng chứa căn bậc hai: Ta bình phương hai vế của phương trình sau khi đã tìm điều kiện cĩ nghĩa của các căn thức và của phương trình
Thí dụ 1: Giải phương trình = 0
Giải: Điều kiện: 
	2y – 1 = y – 2 
	y = – 1 (khơng thỏa ĐK)
Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm ( hay S = )
Thí dụ 2: Giải phương trình: 
Giải: Điều kiện: 
Bình phương hai vế phương trình ta cĩ
2x – 1 = (x – 2 )2 
	2x – 1 = x2 – 4x + 4
	x2 – 6x + 5 = 0
	(x – 1)(x – 5) = 0
Vậy phương trình cĩ nghiệm là x = 5
Thí dụ 3: Giải phương trình 
Áp dụng hằng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Lập phương hai vế ta cĩ:
x + 1 + 7 – x + 3.
	(x + 1)(7 – x) = 0
	 , thỏa mãn phương trình đã cho
Vậy phương trình cĩ hai nghiệm x = – 1 , x = 7
Phương pháp đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Áp dụng hằng đẳng thức biến đổi về dạng bình phương và đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (chú ý xét điều kiện để khai triển các dấu giá trị tuyệt đối)
Phương pháp đặt ẩn phụ:
Thí dụ: giải phương trình:
3x2 + 21x + 18 + 2 (1)
Giải: Đk: 0
Đặt = y x2 + 7x + 7= y2
(1)	3y2 – 3 + 2y = 2
	3y2 + 2y – 5 = 0. . . .
Phương pháp bất đẳng thức
Chứng tỏ tập giá trị của hai vế khác nhau khi đĩ phương trình vơ nghiệm.
Thí dụ: Giải phương trình (*)
Giải:
Điều kiện: 
Với điều kiện này ta cĩ 1 < 5 nên x < 5x do đĩ nên vế trái của (*) là số âm.
Ta lại cĩ 2 > 1 nên 2x – 1 > 0 nên vế phải của (*) là số dương. Vậy phương trình vơ nghiệm.
Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế
Thí dụ: Giải phương trình 
Giải:
Điều kiện 
Ta luơn cĩ: x2 – 6x + 11 = (x – 3)2 + 2 2
Áp dụng bất đẳng thức vào vế trái ta được .
Dấu “ = ” xảy ra khi x – 2 = 4 – x x = 3
Vậy hai vế bằng nhau và bằng 2 khi x = 3
Giá trị x = 3 thỏa mãn điều kiện .
Vậy phương trình cĩ một nghiệm x = 3
Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “ = ” ở bất đẳng thức:
Thí dụ: Giải phương trình : 
Giải:
Điều kiện x + 2 0 x – 2 (*)
Ta cĩ bất đẳng thức với a, b > 0 dấu “ = ” xảy ra khi a = b
Do đĩ phương trình tương đương 
Điều kiện x > 0 (**)
Bình phương hai vế ta cĩ:
x + 2 = x2 x2 – x – 2 = 0 
Kết hợp với điều kiện (*) và (**) phương trình đã cho cĩ nghiệm x = 2
Bài tập:
Giải các phương trình 
Giải các phương trình 
Giải phương trình 	
Giải phương trình 	
Giải phương trình 	
BÀI TỐN CỰC TRỊ
A – ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC
Tìm giá trị nhỏ nhất: Đưa về dạng M = A2 + B B Min M = B A= 0
Áp Dụng: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
A = 9x2 + 12x + 8
B = x(x + 1)(x2 + x – 4)
C = (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7)
D = 
E = 
F = 
M = x4 – 6x2 + 10
N = x6 – 2x3 + x2 – 2x + 2
P = x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 5
Q = 2x2 + 2xy + y2 – 2x – 2y + 2
T = 4x2 + y2 + 9z2 – 12x + 2y – 6z + 13
Tìm giá trị lớn nhất: Đưa về dạng M = - A2 + B B Max M = B A= 0
Áp Dụng: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
A = 3 – 4x – 4x2
B = 1 – x4 – 4x3 – 4x2
C = 2x2(6 – 2x2)
D = - 5 + 
E = 
F = -2x2 – y2 – 2xy + 4x + 2y + 2
I = -x2 – 4y2 – z2 + 2x + 12y + 6z – 18 
B - XỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CĨ DẠNG
Dấu “=” xảy ra 
Áp Dụng: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
M = 
III-GIẢI CÁC BÀI TỐN CĨ LỜI VĂN
BÀI 1:
 Hiện nay tuổi mẹ bằng 2,4 lần tuổi con. Mười năm về trước tuổi mẹ gấp 5,2 lần tuổi con . Hỏi sau bao nhiêu năm nữa tuổi mẹ chỉ còn gấp đôi tuổi con?
HD:
 Tuổi con là x, tuổi mẹ hiện nay là 2,4x . ta có 2,4x- 10 = 5,2( x-10) x= 15
Vậy tuổi con là 15, tuổi mẹ là 36.
 Ta lại có 36+y = 2( 15+y) y = 6. Vậy 6 năm nữa tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con
BÀI 2:Năm nay tôi 27 tuổi. Năm mà tôi bằng tuổi bạn hiện nay thì bạn chỉ bằng nửa tuổi tôi . vậy hiện nay bạn bao nhiêu tuổi?
HD: x là tuổi hiện nay của bạn . Trước đây ( 27-x) năm ta có:
 x-(27-x) = x = 18
Bài 3: Hai anh em hiện nay có tuổi cộng lại bằng 63 .Tuổi người anh hiện nay gấp đôi tuổi người em lúc người anh bằng tuổi của em hiện nay . hỏi tuổi hiện nay của mỗi người.
HD: x là tuổi hiện nay của anh tuổi em hiện nay là 63 – x.
Khi anh bằng tuổi em hiện nay ,tức là trước đây x – ( 63 – x) năm , ta có tuổi em lúc ấy là : 63 – x – [ x –( 63 – x ) ] = 126 – 3x x = 36
Bài 4 Khối 9 có tất cả 264 học sinh gồm 1 lớp chọn dành cho học sinh khá và các lớp thường . Nếu chuyển a học sinh lớp thường sang lớp chọn , rồi lại tuyển thêm ở ngòai cho lớp chọn từng ấy học sinh nữa thì bấy giờ số học sinh lớp chọn sẽ bằng 65% số học sinh lớp thường . Hỏi lúc đầu số học sinh lớp thường là bao nhiêu?
HD: x là số HS lớp thường ( ĐK)
( x – a).65% = 264 – x + 2a x = 213
Bài 5 : Một cửa hàng có 472 lít dầu chứa trong 2 thùng chứa lớn. Nhưng người ta phát hiện ra thùng thứ I có lỗ thủng ở phía trên , nên liền lấy bớt ở thừng thứ I ra 50 lít và đổ vào thùng thứ II . lúc bấy giờ thùng thứ II chứa nhiều hơn thùng thứ I 24 lít . Tính xem lúc đầu mỗi thùng đựng bao nhiêu lít dầu ?
ĐS:Th I = 274 lít
Bài 6: (dạng tìm số)
Một số A có 2 chữ số . Nếu ta viết thêm số 1 vào trước số đó thì ta được một số có 3 chữ số , nếu thêm chữ số 1 vào sau số đó ta cũng được một số có 3 chữ số . Biết rằng số viết lần sau hơn số viết lần trước là 36 đơn vị. Tìm số A
HD: 100 +10a + b +36 = 100a +10b +1 10a + b = 15 b chia hết cho 5 
b = 0 a = 1,5 ( lọai) 
b = 5 a = 1 . A = 15
 Bài 7: Có 3 xe I, II , III Phải chuyển 1560 tấn hàng đến 3 địa điểm cách kho hàng là 30 km , 45 km , 60 km . người ta giao cho mỗi xe chuyển số hàng tỉ lệ nghịch với khỏang cách cần vận chuyển . Hỏi mỗi xe cần phải chở bao nhiêu tấn hàng?
HD: Số hàng tỉ lệ nghịch với 30,45,60 tức tỉ lệ thuận với . Nhân cả 3 phân số này với BCNN( 30,45,60) = 180 .
Vậy số hàng vận chuyển tỉ lệ thuận với 5,4,3 . Gọi x,y,z là số hàng vận chuyển của xe I, II,III ta có: 
Câu 5: Lớp 9A cĩ 56 bạn, trong đĩ cĩ 32 bạn nam. Cơ giáo chủ nhiệm dự kiến chia lớp thành các tổ học tập:
Mỗi tổ gồm cĩ các bạn nam, các bạn nữ.
Số các bạn bạn nam, các bạn nữ được chia đều vào các tổ.
Số người trong mỗi tổ khơng quá 15 người nhưng cũng khơng ít hơn chín người.
Em hãy tính xem cơ giáo cĩ thể sắp xếp như thế nào và cĩ tất cả mấy tổ ?
* Gọi số bạn nam được chia vào tổ là x,
 số bạn nam được chia vào tổ là y,
 x, y nguyên dương.
Theo đề ra ta cĩ hệ: (1) 
 9 x + y 15 (2)
Từ (1) ta cĩ: 3x – 4y = 0 => 
Đặt y = 3t, t > 0 và t z, ta cĩ: x = 4t
Từ (2), ta cĩ: 9 3t + 4t 15 hay 9 7t 15
 => 
Vì t z nên giá trị t cần tìm là t = 2, ta tính ra x = 8; y = 6
Như vậy, mỗi tổ cĩ 8 bạn nam, 6 bạn nữ.
Số tổ được chia là: tổ 
Cách 2 ( ƯCLN)
IV- HÀM SỐ
Cho hàm số f(x) đồng biến trong khoảng (0; 1) và f() = 0
Chứng minh rằng và 
Xác định a, b để hàm số y = a(x + 1)2 + b(x +2)2 là hàm số bậc nhất
Vẽ tứ giác ABCD trên mặt phẳng tọa độ, biết A(4; 2), B(2; – 1), C( – 4; – 1) và D( – 2; 2). Tứ giác đĩ là hình gì? Vì sao?
Tình khoảng cách từ các đỉnh của tứ giác đến gốc tọa độ.
Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD
Cho các đường thẳng (d1) : y = x + 2, (d2) : y = – 2x + 5, (d3) : y = 3x
(d) : y = mx + m – 5 trong cùng hệ trục tọa độ.
Chứng minh : (d1); (d2); (d3) đồng quy.
Tìm m để (d1); (d2); (d3) và (d) đồng quy.
Vẽ đồ thị các hàm số sau:
y = 
y = – 2 
y = 
Cho hàm số y = (2m – 3)x – 1 
Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = – 5x + 3
Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm A( – 1; 0)
Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho và các đường thẳng y = 1 và y = 2x – 5 đồng quy tại một điểm.
Cho hàm số y = (m – 1)x + m (1) 
xác định giá trị của m để đường thẳng (1) đi qua gốc tọa độ? Cắt trục tung tại điểm cĩ tung độ bằng 1 – 
xác định giá trị của m để đường thẳng (1) song song với đường thẳng y = – 5x + 1.
với giá trị nào của m thì gĩc tạo bởi đường thẳng (1) với tia Ox là gĩc tù? Gĩc 450 ?
Cho hệ phương trình 
Giải hệ phương trình với a = 
Chứng minh rằng hệ đã cho luơn cĩ nghiệm với mọi a
Tìm a để hệ phương trình cĩ nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện 
Cho hệ phương trình hai ẩn x và y: 
Tìm m để hệ cĩ nghiệm duy nhất (x; y) thỏa: P = xy đạt giá trị lớn nhất
Giải hệ phương trình : 
Tìm giá trị của m để phương trình sau cĩ nghiệm :
(m2 – 1)x2 + 2(m + 1)x + 1 = 0
Chứng minh rằng phương trình sau cĩ nghiệm với mọi giá trị của a, b, c:
3x2 – 2(a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0
Tìm nghiệm của phương trình : (m – 1)x2 + ( m + 1)x + 2 = 0
Tìm giá trị của m để phương trình sau cĩ hai nghiệm trái dấu:
x2 – 5mx + 2m – 1 = 0
Khơng giải phương trình, hãy tính : 
(x1 – x2)2	
Tìm giá trị của m để phương trình sau cĩ hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1:
3x2 – (m – 1)x – m = 0
Cho phương trình : x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0
Tìm giá trị của m để phương trình sau cĩ một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1
Tìm giá trị của m để phương trình sau cĩ hai nghiệm nhỏ hơn 2
Cho phương trình : x2 – mx + (m2 + 1) = 0 . Tìm giá trị của m để các nghiệm x1 , x2 của phương trình trên thỏa mãn cĩ giá trị lớn nhất.
V- GIẢI VÀ BIỆN LUẬN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Bµi 1: 
Cho ph­¬ng tr×nh .
T×m c¸c gi¸ trÞ cđa ®Ĩ ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiƯm d­¬ng ph©n biƯt.
T×m c¸c gi¸ trÞ cđa ®Ĩ ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt vµ tho¶ m·n hƯ thøc .
Gi¶ sư ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiƯm kh«ng ©m. T×m gi¸ trÞ cđa ®Ĩ nghiƯm d­¬ng cđa ph­¬ng tr×nh ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
Ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiƯm ph©n biƯt (*)
Ta cã: 
 vµ 
VËy: Cã 2 gi¸ trÞ cđa m tho¶ ®iỊu kiƯn bµi to¸n: 
Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiƯm kh«ng ©m khi vµ chØ khi:
Khi ®ã 2 nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh lµ: 
Hai nghiƯm nµy kh«ng thĨ ®ång thêi b»ng 0, nªn nghiƯm d­¬ng cđa ph­¬ng tr×nh lµ . Suy ra: 
Theo bÊt ®¼ng thøc C«-si: 
Suy ra: .
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi: .
VËy nghiƯm d­¬ng cđa ph­¬ng tr×nh ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt lµ