Ôn tập hè môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013

 ôn tập hẩ toán lớp 8
Năm học 2012- 2013
ĐẠI SỐ
A. đa thức:
I. Nhân đa thức:
1. Nhân đơn thức với đa thức:
+ Nhõn đơn thức với đa thức ta lấy đơn thức, nhõn với từng hạng tử của đa thức.
+ Chú ý: Từng hạng tử của đa thức là các đơn thức do vậy khi nhân lưu ý đến dấu của hệ số các đơn thức.
+ Ví dụ: - 2a2b.( 3ab3 - 4a2b) =-2a2b.3ab3- 2a2b.(- 4a2b) = - 6a3b4 + 8a4b2.
2. Nhõn đa thức với đa thức
 + Nhõn đa thức với đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức này lần lượt với cỏc 
hạng tử của đa thức kia.(rồi thu gọn nếu có thể)
 (A + B)(C - D) = A(C - D) + B(C - D) = AC - AD + BC - BD .
Bài tập áp dụng: Tính:
a/ -x(2x2+1) =  b/ 2x2(5x3 - x - ) =
c/ 6xy(2x2-3y) = d/ (x2y - 2xy)(-3x2y) =
e/ (2x + y)(2x - y) =  f/ (xy - 1)(xy + 5) = 
II. Chia đa thức:
1.Chia hai luỹ thừa cùng cơ số:
Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ.
 am : an = am - n ví dụ: x3: x2 = x
2. Chia đơn cho đơn thức :
+ Chia đơn thức cho đơn thức , ta chia hệ số cho hệ số , chia luỹ thừa cùng cơ số
 với nhau.
+ Ví dụ: 15x3y : (-3x2) = 15: (-3).x3:x2 .y:y0 = - 5x y
3. Chia đa cho đơn thức : 
Chia đa thức cho đơn thức, ta lấy từng hạng tử của đa thức bị chia chia cho đơn thức.
+ Chú ý: Từng hạng tử của đa thức là các đơn thức do vậy khi chia lưu ý đến dấu của hệ số các đơn thức.
+ Ví dụ: (- 2a2b.+ 6ab3 - 4a2b2) : 2ab =- a + 3b - 2ab.
4)Chia đa thức một biến đó sắp xếp: 
+ Chia h/tử bậc cao nhất của đa thức bị chia, cho h/tử bậc cao nhất của đa thức chia
+ Tìm đa thức dư thứ nhất, 
+ Chia h/tử bậc cao nhất của đa thức dư , cho h/tử bậc cao nhất của đa thức chia,
+ Tìm đa thức dư thứ hai,
Dừng lại khi hạng tử bậc cao nhất của đa thức dư có bậc bé hơn bậc của hạng tử bậc 
cao nhất của đa thức chia .
 2x4 - 13x3 + 15x2 + 11x - 3
 2x4- 8x3- 6x2
 - 5x3 + 21x2 + 11x - 3
 - 5x3+ 20x2+10x
 - x2 - 4x - 3
 - x2 - 4x - 3
 0
 x2- 4x - 3
 2x2 - 5 x + 1
5. Hằng đẳng thức đáng nhớ:
 u-BèNH PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG : (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
 v-BèNH PHƯƠNG CỦA MỘT HIỆU : (A - B)2 = A2 - 2AB + B2
 w-HIỆU HAI BèNH PHƯƠNG : A2 - B2 = (A +B)(A- B)
 x-TỔNG HAI LẬP PHƯƠNG : A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
 y-HIỆU HAI LẬP PHƯƠNG : A3 - B3 = (A - B)(A2+ AB + B2)
 z-LẬP PHƯơNG CỦA MỘT TỔNG : (A + B)3 = A3 + 3A 2B + 3AB2 + B3
 { -LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT HIỆU : (A - B)3 = A3 - 3A 2B + 3AB2 - B3
 Bài tập áp dụng: ( hằng đẳng thức)
a/ (x + 4y)2 = b/ (3x + 1)2 = c/ (x + 3y)2 =
d/ (x - 7)2 =  e/ (5 - y)2 = f/ ( 2x - 1)2 = 
g/ x2 - (2y)2 =  h/ x2 - 1 =  i/ 4x2 - 9y2 =
k/ x3 - 1 = l/ 8 + x3 = m/ 8x3 + 27 =
n/ ( x +1)3 = p/ ( x - 2)3 =
6) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử : 
Phương phỏp đặt nhõn tử chung
+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích.
+ Tìm nhân tử chung.
+ Viết nhân tử chung ngoài dấu ngoặc,các hạng tử còn lại trong ngoặc là thương của các hạng tử tương ứng với nhân tử chung 
Ví dụ: a/ 12x2- 4x = 4x. 3x - 4x = 4x(3x - 1).
 b/ x(y-1) +3(y-1) = (y - 1)(x +3)
Phương phỏp dựng hằng đẳng thức
 + Dùng các hằng đẳng thức để phân tích theo các dạng sau:
 jDạng 3 hạng tử: A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 
 Ví dụ: x2 + 2x +1 = x2 + 2.x.1 +12 = (x + 1)2
 kDạng hai hạng tử với phép tính trừ, mỗi hạng tử là bình phương của một biểu thức:
 A2 - B2 = (A +B)(A- B)
 Ví dụ: x2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
lDạng hai hạng tử với phép tính cộng, mỗi hạng tử là lập phương của một biểu thức 
 A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
 Chú ý: “Bình bình phương thiếu của hiệu”
 Ví dụ: x3 + 1 = (x +1)(x2 - x +1)
mDạng hai hạng tử với phép tính trừ, mỗi hạng tử là lập phương của một biểu thức
 A3 - B3 = (A - B)(A2+ AB + B2)
Ví dụ: x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1). 
Phương phỏp nhúm nhiều hạng tử
 (Thường dùng cho loại đa thức có bốn hạng tử trở lên)
 + Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm
 + áp dụng liên tiếp phương pháp đặt nhân tử chung.hoặc hằng đẳng thức.
 Ví dụ: 2x3 - 3x2 + 2x - 3 = ( 2x3 + 2x) - (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) - 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x - 3)
 4. Phối hợp nhiều phương phỏp
+ Trước hết nghĩ đến phương pháp đặt nhân tử chung.
+ Tuỳ đó để sử phương pháp hằng dẳng thức hoặc nhóm hạng tử
+ Có thể đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
 Ví dụ: 3xy2 - 12xy + 12x = 3x(y2 - 4y + 4) = 3x(y - 2)2 = 3xy( x -1 - y - a)(x - 1 + y + a)
Bài tập áp dụng: phân tích đa thức thành nhân tử:
1/ 2x2- 5xy 2/ x3 – 1 3/ -3xy3- 6x2y2+18y2x 4/ 18(a- b) - 15a(b - a) 5/ 12x - 9- 4x2 6/ 1- 2y + y2 7/ x2- 4 8/ 10x-25 - x2 9/ x2 +2x+1- y 10/ 2xy- x2- y2+16 11/ 25x – x3 12/ 10x2 + x3 + 25x 13/ x2+7x + 6 14/ x2 + 8x – 9 	 15/ x3 +1.
B. phân thức:
1. Khái niệm:
+ Phân thức có dạng: ; trong đú A, B là những đa thức và B khỏc đa thức 0 .
+ Tập xác định: Là những giá trị của biến làm cho mẫu khác 0.
Để tìm tập xác định (TXĐ) ta giải bài toán dạng tìm x biết, rồi loại bỏ giá trị đó trên tập R
Ví dụ: 
* Tìm TXĐ của : Ta giải bài toán: Tìm x biết 
Rồi loại bỏ giá trị trong tập R, ta được TXĐ: hoặc viết gọn TXĐ:
2. Tính chât cơ bản:
* Tớnh chất cơ bản của phõn thức : = => A ã D = B ã C
 = ( M 0 ) ; = (N là nhõn tử chung)
 * Qui tắc đổi dấu:
+ Đổi dấu cả tử và mẫu: = 
+ Đổi dấu phân thức và đổi dấu tử: = 
+ Đổi dấu phân thức và đổi dấu mẫu: 
3. Rút gọn phân thức: Phương pháp:
+ Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử.( tìm nhân tử chung)
+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Ví dụ: Rút gọn phân thức:
* 
4. Quy đồng mẫu thức: Phương pháp:
žTìm mẫu chung:
+ Phân tích: - Phần hệ số thành thừa số nguyên tố.
- Phần biến thành nhân tử.
+ Mẫu chung: - Phần hệ số là BCNN của các hệ số của các mẫu.
- Phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
 žTìm nhân tử phụ:
+ Lấy MC chia cho từng mẫu ( đã phân tích thành nhân tử)
 žNhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ tương ứng. Ta được các phân thức mới có mẫu giống nhau.
Ví dụ: Quy đồng mẫu các phân thức sau:
 và 
Giải: 
MC: 
 và 
5. Cộng Trừ phân thức: Phương pháp:
 — Quy đồng mẫu.
 — Cộng (hoặc) Trừ tử với tử; mẫu chung giữ nguyên.
 — Bỏ ngoăc bằng phương pháp nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.
 — Thu gọn ( cộng trừ các hạng tử đồng dạng)
 — Phân tích tử thành nhân tử (nếu có thể). 
Ví dụ: +
6. Nhân phân thức: Phương pháp:
+ Lấy Tử nhân tử; Mẫu nhân mẫu. Rồi rút gọn nếu có thể. 
Ví dụ: 
7. Chia phân thức:
1. Phân thức nghịch đảo: Nghịch đảo của là .
2. Chia phân thức: . Rồi rút gọn nếu cóthể.
Ví dụ: .
Bài tập áp dụng: 
1. Tìm tập xác định của các phân thức sau: 
a/ b/ c/ d/ e/ 
 2. rút gọn biểu thức:
j k l 
m n o
3. Tính:
j + k - l 
m n o p q r 
C.Phương trình 
I . Phương trình bậc nhất một ẩn:
1. ẹũnh nghúa:
 Phửụng trỡnh baọc nhaỏt moọt aồn laứ phửụng trỡnh coự daùng ax + b = 0 , vụựi a vaứ b laứ hai soỏ ủaừ cho vaứ a 0 , Vớ duù : 2x – 1 = 0 (a = 2; b = - 1)
2.Caựch giaỷi phửụng trỡnh baọc nhaỏt moọt aồn:
Bửụực 1: Chuyeồn haùng tửỷ tửù do veà veỏ phaỷi.
Bửụực 2: Chia hai veỏ cho heọ soỏ cuỷa aồn
( Chuự y:ự Khi chuyeồn veỏ haùng tửỷ thỡ phaỷi ủoồi daỏu soỏ haùng ủoự)
II Phương trình đưa về phương trình bậc nhất:
Cách giải: 
Bửụực 1 : Quy ủoàng maóu roài khửỷ maóu hai veỏ
Bửụực 2:Boỷ ngoaởc baống caựch nhaõn ủa thửực; hoaởc duứng quy taộc daỏu ngoaởc.
Bửụực 3:Chuyeồn veỏ: Chuyeồn caực haùng tửỷ chửựa aồn qua veỏ traựi; caực haùng tửỷ tửù do qua veỏ phaỷi.( Chuự y:ự Khi chuyeồn veỏ haùng tửỷ thỡ phaỷi ủoồi daỏu soỏ haùng ủoự)
Bửụực4: Thu goùn baống caựch coọng trửứ caực haùng tửỷ ủoàng daùng
Bửụực 5: Chia hai veỏ cho heọ soỏ cuỷa aồn
‚Ví dụ: Giải phương trình
 Mẫu chung: 6
Vậy nghiệm của phương trình là 
ƒBai tập luyện tập: 
Bài 1 Giaỷi phửụng trỡnh
3x-2 = 2x – 3 
2x+3 = 5x + 9 
5-2x = 7
10x + 3 -5x = 4x +12
11x + 42 -2x = 100 -9x -22 
2x –(3 -5x) = 4(x+3)
x(x+2) = x(x+3)
2(x-3)+5x(x-1) =5x2 
Baứi 2: Giaỷi phửụng trỡnh
a/ 	c/ 	
 b/ 	d/ 	
III. Phương trình tích và cách giải:
Phương trình tích: 
 Phửụng trỡnh tớch: Coự daùng: A(x).B(x)C(x).D(x) = 0 Trong ủoự A(x).B(x)C(x).D(x) laứ caực nhaõn tửỷ.
‚Cách giải: A(x).B(x)C(x).D(x) = 0 
ƒVí dụ: Giải phương trình:
Vậy:
„Bài tập luyện tập Giải các phương trình sau
1/ (2x+1)(x-1) = 0 2/ (x +)(x-) = 0 
3/ (3x-1)(2x-3)(2x-3)(x+5) = 0 4/ 3x-15 = 2x(x-5)
5/ x2 – x = 0 6/ x2 – 2x = 0 
7/ x2 – 3x = 0 8/ (x+1)(x+4) =(2-x)(x+2)
IV.Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Cách giải: 
Bửụực 1 :Phân tích mẫu thành nhân tử
Bửụực 2: Tỡm ẹKXẹ cuỷa phửụng trỡnh 
Tỡm ẹKXẹ cuỷa phửụng trỡnh :Laứ tỡm taỏt caỷ caực giaự trũ laứm cho caực maóu khaực 0 
( hoaởc tỡm caực giaự trũ laứm cho maóu baống 0 roài loaùi trửứ caực giaự trũ ủoự ủi)
Bửụực 3:Quy ủoàng maóu roài khửỷ maóu hai veỏ .
Bửụực 4: Boỷ ngoaởc.
Bửụực 5: Chuyeồn veỏ (ủoồi daỏu)
Bửục 6: Thu goùn. 
+ Sau khi thu goùn maứ ta ủửụùc: Phửụng trỡnh baọc nhaỏt thỡ giaỷi theo quy taộc giaỷi phửụng trỡnh baọc nhaỏt
+ Sau khi thu goùn maứ ta ủửụùc: Phửụng trỡnh baọc hai thỡ ta chuyeồn taỏt caỷự haùng tửỷ qua veỏ traựi; phaõn tớch ủa thửực veỏ traựi thaứnh nhaõn tửỷ roài giaỷi theo quy taộc giaỷi phửụng trỡnh tớch.
Bửụực 4: ẹoỏi chieỏu ẹKXẹ ủeồ traỷ lụứi. 
‚Ví dụ: Œ/ Giải phươngh trình: 
Giải:
 (1)
ĐKXĐ: 
Phương trình (1) 
 (tmđk) Vây nghiệm của phương trình là x = 8.
/ Giải phương trình: 
Giải :
 (2)
ĐKXĐ:
Phương trình (2) 
Vậy phương trình có nghiệm x =1; x = 5.
ƒbài tập luyện tập 
Bài 1: Giải các phương trình sau: 
a)	 b) 	
c) 	 d) 
Bài 2: Giải các phương trình sau: 
 a) 	 b) 
 c) 	 d) 
IV.phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Caàn nhụự : Khi a 0 thỡ 
 Khi a < 0 thỡ 
bài tập luyện tập 
Giái phương trình:
a/ b/ 
D.giảI bài toán bằng cáh lập phương trình. 
1.Phửụng phaựp: 
Bửụực1: Choùn aồn soỏ:
+ ẹoùc thaọt kú baứi toaựn ủeồ tỡm ủửụùc caực ủaùi lửụùng, caực ủoỏi tửụùng tham gia trong baứi toaựn
+ Tỡm caực giaự trũ cuỷa caực ủaùi lửụùng ủaừ bieỏt vaứ chửa bieỏt 
+ Tỡm moỏi quan heọọ giửừa caực giaự trũ chửa bieỏt cuỷa caực ủaùi lửụùng
+ Choùn moọt giaự trũ chửa bieỏt laứm aồn (thửụứng laứ giaự trũ baứi toaựn yeõu caàu tỡm) laứm aồn soỏ ; 
ủaởt ủieàu kieọn cho aồn 
Bửụực2: Laọp phửụng trỡnh
+ Thoõng qua caực moỏi quan heọ neõu treõn ủeồ bieồu dieón caực ủaùi lửụùng chửa bieỏt khaực qua aồn
Bửụực3: Giaỷi phửụng trỡnh
Giaỷi phửụng trỡnh , choùn nghieọm vaứ keỏt luaọn 
bài tập luyện tập 
Baứi 1 Hai thử vieọn coự caỷ thaỷy 20000 cuoỏn saựch .Neỏu chuyeồn tửứ thử vieọn thửự nhaỏt sang thử vieọn thửự hai 2000 cuoỏn saựch thỡ soỏ saựch cuỷa hai thử vieọn baống nhau .Tớnh soỏ saựch luực ủaàu ụỷ moói thử vieọn .
Baứi 2 :Soỏ luựa ụỷ kho thửự nhaỏt gaỏp ủoõi soỏ luựa ụỷ kho thửự hai .Neỏu bụựt ụỷ kho thửự nhaỏt ủi 750 taù vaứ theõm vaứo kho thửự hai 350 taù thỡ soỏ luựa ụỷ trong hai kho seừ baống nhau .Tớnh xem luực ủaàu moói kho coự bao nhieõu luựa .
Baứi 3 : Maóu soỏ cuỷa moọt phaõn soỏ lụựn hụn tửỷ soỏ cuỷa noự l ... phương trình 
ÔBaỏt phửụng trỡnh daùng ax + b 0, ax + b 0, ax + b 0) vụựi a vaứ b laứ hai soỏ ủaừ cho vaứ a 0 , ủửụùc goùi laứbaỏt phửụng trỡnh baọc nhaỏt moọt aồn .
Vớ duù : 2x – 3 > 0; 5x – 8 0 ; 3x + 1 < 0; 2x – 5 0
Ô Caựch giaỷi baỏt phửụng trỡnh baọc nhaỏt moọt aồn :
Tửụng tửù nhử caựch giaỷi phửụng trỡnh ủửa veà baọc nhaỏt.rồi biểu diễn nghiệm trên trục số.
ÔChuự yự : 
Khi chuyeồn veỏ haùng tửỷ thỡ phaỷi ủoồi daỏu soỏ haùng ủoự.
Khi chia caỷ hai veà cuỷa baỏt phửụng trỡnh cho soỏ aõm phaỷi ủoồi chieàu baỏt phửụng trỡnh
bài tập luyện tập 
Bài 1: 
a/ 2x+2 > 4 b/ 3x +2 > -5 c/ 10- 2x > 2 d/ 1- 2x < 3
Bài 2:
a/ 10x + 3 – 5x 14x +12 b/ (3x-1)< 2x + 4 
c/ 4x – 8 3(2x-1) – 2x + 1 d/ x2 – x(x+2) > 3x – 1 
e/ e/ 
 Hình Học:
HèNH THANG CÂN: 
PHƯƠNG PHÁP: 
Chứng minh tứ giỏc là hỡnh thang.
Hai gúc kề một đỏy bằng nhau hoặc hai đường chộo bằng nhau.
BÀI TẬP: 
BÀI 1: Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn tia đối của tia AC lấy điểm D, trờn tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AD = AE. Tứ giỏc DECB là hỡnh gớ? Vỡ sao?
BÀI 2: Tứ giỏc ABCD cú AB = BC = AD, . Chứng minh rằng: 
a, DB là tia phõn giỏc của gúc D.
b, ABCD là hỡnh thang cõn.
HèNH BèNH HÀNH: 
PHƯƠNG PHÁP:
- Thường sử dụng cỏc dấu hiệu nhận biết hỡnh bỡnh hành về cạnh đối hoặc về đường chộo. 
BÀI TẬP: 
BÀI 1: Cho tam giỏc ABC, cỏc đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Vẽ cỏc điểm M, N sao cho D là trung điểm của GM, E là trung điờm của GN. Chứng minh rằngBNMC là hỡnh bỡnh hành.
BÀI 2: Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn cạnh AB lấy điểm D, trờn cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = CE. Gọi O là trung điểm của DE, gọi K là giao điểm của AO và BC. Chứng minh rằng ADKE là hỡnh bỡnh hành.
BÀI 3: Cho tam giỏc ABC cú . Ở phớa ngoài tam giỏc ABC, vẽ cỏc tam giỏc đều ABD và ACE. Trờn nửa mặt phẳng bờ BC cú chứa A, vẽ tam giỏc đều BCK. Chứng minh rằng ADKE là hỡnh bỡnh hành.
HèNH CHỮ NHẬT: 
PHƯƠNG PHÁP: sử dụng cỏc dấu hiệu nhận biết hỡnh chữ nhật.
BÀI TẬP: 
Bài 1: Chứng minh rằng cỏc tia phõn giỏc cỏc gúc của hỡnh bỡnh hành cắt nhau tạo thành một hỡnh chữ nhật và đường chộo của hỡnh chữ nhật này song song với cạnh của hỡnh bỡnh hành.
Bài 2: Tứ giỏc ABCD cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm cỏc cạnh AB. BC. CD, DA. Tứ giỏc EFGH là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, cỏc đường trung tuyến BM, CN, cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giỏc BEDC là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
Bài 4: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, AC = 4cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chõn cỏc đường vuụng gúc kẻ từ M đến AB, AC.
Tứ giỏc ADME là hỡnh gỡ? Vỡ sao? Tớnh chu vi của tứ giỏc đú.
Điểm M ở v trớ nào trờn cạnh BC thỡ đoạn thẳng DE cú độ dài nhỏ nhất?
HèNH THOI: 
PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng cỏc dấu hiệu nhận biết hỡnh thoi.
BÀI TẬP: 
Bài 1: Chứng minh rằng trung điểm cỏc cạnh của một hỡnh thang cõn là cỏc đỉnh của một hỡnh thoi.
Bài 2: Cho tam giỏc ABC. Qua điểm D thuộc cạnh BC, kẻ cỏc đường thẳng song song với AB và AC, cắt AC và AB theo thứ tự ở E và F.
 a, Tứ giỏc AEDF là hỡnh gỡ? Vỡ sao? 
 b, Điểm D ở vị trớ nào trờn BC thỡ AEDF là hỡnh thoi?
Bài 3: Cho tứ giỏc ABCD cú , cỏc tia DA và CB cắt nhau tại E, cỏc tia AB và DC cắt nhau tại F. 
 a, Chứng minh rằng .
 b, Tia phõn giỏc của gúc E cắt AB, CD theo thứ tự ở I và K. Chứng minh rằng GKHI là hỡnh thoi.
Bài 4: Cho tam giỏc đều ABC. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC. Gọi E, F là chõn đương vuụng gúc kẻ từ M đến AB, AC. Gọi I là trung điểm AM, D là trung điểm của BC.
 a, Tớnh số đo cỏc gúc DIE và DIF.
 b, Chứng minh rằng DEIF là hỡnh thoi.
HèNH VUễNG: 
PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng dấu hiệu nhận biết
Cỏch 1: Chứng minh tứ giỏc là hỡnh chữ nhật cú thờm một trong cỏc dấu hiệu: hai cạnh kề bằng nhau, hai đường chộo vuụng gúc, một đường chộo là dường phõn giỏc của một gúc.
Cỏch 2: Chứng minh tứ giỏc là hỡnh thoi cú thờm một trong cỏc dấu hiệu: một gúc vuụng, hai đường chộo bằng nhau.
BÀI TẬP: 
Bài 1: Cho hỡnh thoi ABCD, O là giao điểm hai đường chộo. Cỏc tia phõn giỏc của bốn gúc đỉnh O cắt cỏc cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự ở E, F, G, H. Chứng minh rằng EFGH là hỡnh vuụng.
Bài 2: Cho đoạn thẳng AM. Trờn đường vuụng gúc với AM tại M, lấy điểm K sao cho . Kẻ MB vuụng gúc với AK (B AK). Gọi C là điểm đối xứng với B qua M. Đường vuụng gúc với AB tại A và vuụng gúc với BC tại C cắt nhau ở D. Chứng minh rằng ABCD là hỡnh vuụng.
Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường phõn giỏc AD. Gọi M, N theo thứ tự là chõn cỏc đường vuụng gúc kẻ từ D đến AB, AC. Chứng minh rằng tứ giỏc AMDN là hỡnh vuụng.
Bài 4: Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn cỏc cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự cỏc điểm E, K, P, Q sao cho À = BK = CP = DQ. Tứ giỏc EKPQ là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
Bài 5: Hỡnh chữ nhật ABCD cú AB = 2AD. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi H là giao điểm của AQ và DP, K là giao điểm của CP và BQ. Chứng minh rằng PHQK là hỡnh vuụng.
Bài 6: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Trờn cạnh BC lấy cỏc điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ cỏc đường vuụng gúc với BC, chỳng cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F. Tứ giỏc EFGH là hỡnh gỡ? Vỡ sao? 
Bài 7: Cho hỡnh vuụng DEBC. Trờn cạnh CD lấy điểm A, trờn tia đối của tia DC lấy điểm K, trờn tia đối của tia ED lấy điểm M sao cho CA = DK = EM. Vẽ hỡnh vuụng DKIH ( H thuộc cạnh DE). Chứng minh rằnh ABMI là hỡnh vuụng.
BÀI TẬP TỔNG HỢP: 
Bài 1: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú BC = 2AB, . gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I là điểm đối xứng với A qua B.
Tứ giỏc ABEF là hỡnh gỡ? Vỡ sao? 
Tứ giỏc AIEF là hỡnh gỡ? Vỡ sao? 
Tứ giỏc BICD là hỡnh gỡ? Vỡ sao? 
Tớnh số đo gúc AED.
Bài 2: Cho hỡnh thang ABCD(AB // CD). Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi O là trung điểm của EF. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở M và N.
Tứ giỏc EMFN là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
Hỡnh thang ABCD cú thờm điều kiện gỡ thỡ EMFN là hỡnh thoi?
Hỡnh thang ABCD cú thờm điều kiện gỡ thỡ EMFN là hỡnh vuụng?
Bài 3: Cho tam giỏc ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, AF, EF, ED.
 a, Tứ giỏc MNPQ là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
 b, Tam giỏc ABC cú điều kiện gỡ thỡ MNPQ là hỡnh chữ nhật?
 c, Tam giỏc ABC cú điều kiện gỡ thỡ MNPQ là hỡnh thoi?
Bài 4: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường trung tuyến AM. Gọi H là điểm đối xứng với M qua AB, E là giao điểm của MH và AB. Gọi K là điểm đối xứng với M qua AC, F là giao điểm của MK và AC. 
 a, Xỏc định dạng của cỏc tứ giỏc AEMF, AMBH, AMCK.
 b, Chứng minh rằng H đối xứng với K qua A.
 c, Tam giỏc vuụng ABC cú thờm điều kiện gỡ thỡ AEMF là hỡnh vuụng?
Bài 5: Cho tam giỏc ABC cõn tại A, đường cao AD. Gọi E là điểm đối xứng với D qua trung điểm M của AC.
 a, Tứ giỏc ADCE là hỡnh gỡ? Vỡ sao? 
 b, Tứ giỏc ABDM là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
 c, Tam giỏc ABC cú thờm điều kiện gỡ thỡ ADCE là hỡnh vuụng?
 d, Tam giỏc ABC cú thờm điều kiện gỡ thỡ ABDM là hỡnh thang cõn?
 ẹũnh lớ TaLet trong tam giaực
1. ẹũnh lớ TaLet trong tam giaực : 
Neỏu moọt ủửụứng thaỳng caột hai caùnh cuỷa moọt tam giaực vaứ song song vụựi caùnh coứn laùi thỡ noự ủũnh ra treõn hai caùnh ủoự nhửừng ủoaùn thaỳng tửụng ửựng tổ leọ .
 rABC, B’C’ //BC 
GT B’ AB
KL;;
 rABC ; B’ AB;C’ AC
GT 
KL B’C’ //BC
2. ẹũnh lớ ủaỷo cuỷa ủũnh lớ TaLet :Neỏu moọt ủửụứng thaờỷng caột hai caùnh cuỷa moọt tam giaực vaứ ủũnh ra treõn hai caùnh naứy nhửừng ủaùon thaỳng tửụng ửựng tổ leọ thỡ ủửụứng thaờỷng ủoự song song vụựi caùnh coứn laùi .
3.Heọ quaỷ cuỷa ủũnh lớ TaLet : Neỏu moọt ủửụứng thaờỷng caột hai caùnh cuỷa moọt tam giaực vaứ song song vụựi caùnh coứn laùi thỡ noự taùo thaứnh moọt tam giaực mụựi coự ba caùnh tửụng ửựng tổ leọ vụựi ba caùnh cuỷa tam giaực ủaừ cho 
GT
rABC : B’C’ // BC;
(B’ AB ; C’ AC)
 KL
4. Tớnh chaỏt ủửụứng phaõn giaực trong tam giaực :Trong tam giaực , ủửụứng phaõn giaực cuỷa moọt goực chia caùnh ủoỏi dieọn thaứnh hai ủoaùn thaỳng tổ leọ vụựi 2 caùnh keà hai ủoaùn aỏy .
GT
rABC,ADlaứphaõngiaựccuỷa 
KL
5. Caực caựch chửựng minh hai tam giaực ủoàng daùng :
Œ Neỏu moọt ủửụứng thaờỷng caột hai caùnh cuỷa moọt tam giaực vaứ song song vụựi caùnh coứn laùi thỡ noự taùo thaứnh moọt tam giaực mụựi ủoàng daùng vụựi tam giaực ủaừ cho 
Neỏu ba caùnh cuỷa tam giaực naứy tổ leọ vụựi ba caùnh cuỷa tam giaực kia thỡ hai tam giaực ủoự ủoàng daùng .(caùnh – caùnh – caùnh) 
ŽNeỏu hai caùnh cuỷa tam giaực naứy tổ leọ vụựi 2 caùnh cuỷa tam giaực kia vaứ hai goực taùo ù bụỷi caực caởp caùnh ủoự baống nhau , thỡ hai tam giaực ủoự ủoàng daùng (caùnh – goực – caùnh)
Neỏu hai goực cuỷa tam giaực naứy laàn lửụùt baống hai goực cuỷa tam giaực kia thỡ hai tam giaực ủoự ủoàng daùng vụựi nhau .(goực – goực)
6. Caực caựch chửựng minh hai tam giaực vuoõng ủoàng daùng :
ŒTam giaực vuoõng naứy coự moọt goực nhoùn baống goực nhoùn cuỷa tam giaực vuoõng kia(g-g)
Tam giaực vuoõng naứy coự hai caùnh goực vuoõng tổ leọ vụựi hai caùnh goực vuoõng cuỷa tam giaực vuoõng kia. (Caùnh - goực - caùnh)
7.Tyỷ soỏ 2 ủửụứng cao , tyỷ soỏ dieọn tớch cuỷa hai tam giaực ủoàng daùng :
ÊTổ soỏ hai ủửụứng cao tửụng ửựng cuỷa hai tam giaực ủoàng daùng baống tyỷ soỏ ủoàng daùng
ÊTyỷ soỏ dieọn tớch cuỷa hai tam giaực ủoàng daùng baống bỡnh phửụng tyỷ soỏ ủoàng daùng = k2
Bài tập luyện tập 
Baứi 1: Cho hỡnh chửừ nhaọt ABCD coự AB = 8cm , BC = 6cm .Veừ ủửụứng cao AH cuỷa ADB . a) Tớnh DB
b) Chửựng minh ADH ~ADB 
c) Chửựng minh AD2= DH.DB
d) Chửựng minh AHB ~BCD
e) Tớnh ủoọ daứi ủoaùn thaỳng DH , AH .
Baứi 2 : Cho ABC vuoõng ụỷ A , coự AB = 6cm , AC = 8cm .Veừ ủửụứng cao AH .
Tớnh BC 
Chửựng minh ABC ~AHB
Chửựng minh AB2 = BH.BC .Tớnh BH , HC 
Veừ phaõn giaực AD cuỷa goực A ( D BC) .Tớnh DB
Baứi 3 : Cho hỡnh thanh caõn ABCD coự AB // DC vaứ AB< DC , ủửụứng cheựo BD vuoõng goực vụựi caùnh beõn BC .Veừ ủửụứng cao BH , AK .
Chửựng minh BDC ~HBC
Chửựng minh BC2 = HC .DC
Chửựng minh AKD ~BHC
Cho BC = 15cm , DC = 25 cm .Tớnh HC , HD .
Tớnh dieọn tớch hỡnh thang ABCD.
Baứi 4 Cho ABC , caực ủửụứng cao BD , CE caột nhau taùi H .ẹửụứng vuoõng goực vụựi AB taùi B vaứ ủửụứng vuoõng goực vụựi AC taùi C caột nhau ụỷ K .Goùi M laứ trung ủieồm cuỷa BC .
Chửựng minh ADB ~AEC
Chửựng minh HE.HC = HD.HB 
Chửựng minh HS , K , M thaỳng haứng 
ABC phaỷi coự ủieàu kieọn gỡ thỡ tửự giaực BHCK laứ hỡnh thoi ? Hỡnh chửừ nhaọt ? 
Baứi 5 : Cho tam giaực caõn ABC (AB = AC) .Veừ caực ủửụứng cao BH , CK , AI .
Chửựng minh BK = CH
Chửựng minh HC.AC = IC.BC
Chửựng minh KH //BC
Cho bieỏt BC = a , AB = AC = b .Tớnh ủoọ daứi ủoaùn thaỳng HK theo a vaứ b .
 Baứi 6 : Cho hỡnh thang vuoõng ABCD () coự AC caột BD taùi O .
Chửựng minh OAB~OCD, tửứ ủoự suy ra 
Chửựng minh AC2 – BD2 = DC2 – AB2