Một số chuyên đề Toán - Chuyên đề Bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Câu 1:
Chứng minh 2(a4 + b4) > ab3 + a3b + 2a2b2 với mọi a, b.
Chứng minh > a, với a > b > 0.
Bài giải:
Ta có 2(a4 + b4) > ab3 + a3b + 2a2b2
	 4(a4 + b4) > 2ab3 + 2a3b + 4a2b2
	 ( b4 – 2ab3 + a2b2) + (a4 – 2a3b + a2b2) + (3a4 + 3b4 – 6a2b2) 0
 	 (b2 – ab)2 + (a2 – ab)2 + 3(a2 – b2)2 0 (đúng)
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng.
Với a > b > 0 thì > a
	 (a2 - b2) + (2ab – b2) + 2 > a2
 2b(a - b) + 2 > 0 (đúng)
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng.
Câu 2:
Cho a > c, b > c, c > 0. Chứng minh: + 
Cho a > 0, b > 0. Chứng minh: 
Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:
Điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra 
 b) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:
Suy ra 
Câu 3: 
Cho x> 0, y > 0 và x + y 1. Chứng minh: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 
Bài giải:
Nhận xét rằng nếu a, b là số dương thì 
Từ đó ta có:
Vì x, y > 0 và x + y 1 nên 
Từ (*) suy ra: 
Điều kiện: 
Ta có: 
Do đó: A= 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là , đạt được khi x = 1.
Câu 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
 a) với mọi a, b, c.
 b) (a > 0, b > 0, c > 0)
 c) với mọi a, b, c, d, e.
Bài giải:
 a) 
Do đó là bất đẳng thức đúng.
 b) Áp dụng câu a) ta có:
a8 + b8 + c8 a4b4 + b4c 4 + c4a4 = (a2b2)2 + (b2c 2)2 + (c2a2)2 
 (a2b2) (b2c 2) + (b2c 2)(c2a2) + (c2a2)(a2b2) = a2b2c 2(a2 + b2 + c2)
 a2b2c 2(ab +bc + ca)
Do đó
a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d +e)
 a2 + b2 + c2 + d2 + e2 – a(b + c + d +e) 0
 a2 + b2 + c2 + d2 + e2 – ab – ac – ad – ae 0
 (Bất đẳng thức đúng)
 Do đó a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d +e) là bất đẳng thức đúng.
Câu 5: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh ta luôn có bất đẳng thức:
.
Bài giải:
Với m nguyên dương, ta có: 
Thay m lần lượt bởi 1; 2; ...; m. Ta có:
Do đó: 
Câu 6: Tìm tất cả các số thực x thỏa:
Bài giải:
Điều kiện:
Áp dung bất đẳng thức Cối cho 2 số không âm, ta có:
Do đó: 
Vậy là giá trị cần tìm.
Câu 7: Với a > 0, b> 0, c > 0, hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) b) 
c) 
Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:
b) (theo câu a)
Chứng minh tương tự câu a) ta có: ; 
Do đó: 
 .
c)Với a, b > 0. Ta có:
Tương tự ta có: 
Do đó:
Câu 8: Chứng minh
Trong đó A, a, B, b, C, c, d là các số dương.
Bài giải:
Bài toán phụ: Cho 0 0. Chứng minh rằng: 
Vì 0 0 
Áp dụng bài toán phụ ta có: 
Tương tự: 
Mà
Do đó:
Câu 9:
Giải bất phương trình: 
Bài giải:
Điều kiện x # 0.
- Với x > 0. Nhân 2 vế bất phương trình với x ta được:
 (1)
Theo bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có:
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra để bất phương trình có nghiệm, dấu đẳng thức phải xảy ra ở bất đẳng thức (2), lúc đó: 
- Với x < 0. Nhân 2 vế với x ta có: 
Bất phương trình trên đúng với mọi x < 0.
Câu 10: Cho x, y là 2 số thực khác 0. Chứng minh:
Bài giải:
Đặt 
Mà (bất đẳng thức Côsi)
Suy ra 
Khi đó Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
 ( *)
(*) đúng vì 
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng(đpcm).
Câu 11: Chứng minh rằng 
Bài giải:
Đặt a = x + y với x = y = .
Dễ thấy: x3 + y3 = 6 và x.y = 1
Suy ra: (Vì x > 1, y > 0 nên a > 1).
Do đó 
Vậy : 
Câu 12: Tìm các số nguyên a, b, c thỏa mãn: 
Bài giải:
Theo giả thiết a, b, c nguyên nên suy ra:
Suy ra Hay a = 1; b = 2; c = 1.
Câu 13: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 
abc = ab + bc + ca thì:
Bài giải:
Từ điều kiện abc = ab + bc + ca, ta có:(1)
Mặt khác với mọi x, y > 0, ta có: (2)
Dấu “=” xảy ra 
Áp dụng (2) ta có:
Dấu “=” xảy ra tức là khi và chỉ khi c = 0 (trái với giả thiết).
Vậy 
Tương tự ta có:
Từ các bất đẳng thức trên và kết hợp với (1) ta được:
Câu 14: Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng: 
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
Nhận xét rằng: Với mọi x > 1 ta có: 
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =4.
Câu 15: Cho 3 số dương x, y, z có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Bài giải:
Ta chứng minh (1)
 (1) 
Do đó (1) đúng.
Tương tự ta có: (1)
 (2)
Từ (1), (2), (3) suy ra: 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y =z = .
Câu 16: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1.
Chứng minh rằng:
Bài giải:
Nhận xét rằng:
Vì x, y > 0 suy ra 
Tương tự ta có: 
Cộng ba bất đẳng thức trên ta được:
Do x + y + z = 1. Suy ra:
Câu 17: Cho hai số dương a, b. Chứng minh rằng:
 Khi nào xảy ra đẳng thức?
Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:
Xét hiệu:
Suy ra: 
Dấu “=” xảy ra 
Bài 18: Với 4 số a, b, c, d thỏa mãn các điều kiện
 a2 + b2 = 2 và (a – d)(b – c) = 1
Chứng minh rằng: 
Khi nào dấu “=” xảy ra?
Bài giải:
 (1)
 (1) 
 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) đúng.
Dấu “=” xảy ra khi 
Câu 19: Cho a, b, c là các số thực lớn hơn hay bằng 1 chứng minh rằng:
 a) 
 b) 
Bài giải:
 a) 
Vì a, b nên tử số (đpcm).
Áp dụng kết quả trên ta có:
Do đó:
(đpcm).
Câu 20: Chứng minh: 
Bài giải:
Xét hiệu 
Vì ()