Một số chuyên đề Toán 8 - Chuyên đề1: Phép nhân đa thức và các hằng đẳng thức đáng nhớ

Chuyên đề 1: Phép nhân đa thức và các hằng đẳng thức đáng nhớ
I. Nhân đa thức
1. Khái niệm nhân đơn thức với đa thức
2. Khái niệm nhân đa thức với đa thức
3. Khái niệm về đa thức đồng nhât P(x) và Q(x)
P(x) và Q(x) gọi là đồng nhất nếu P(x)=Q(x) với mọi giá trị của x, Kí hiệu 
P(x)Q(x) 
Ví dụ: P(x) = (x+5)(ax2+bx+25) và Q(x)=x3+125
a) Viết đa thức P(x) dưới dạng một đa thức thu gọn theo luỹ thừa giảm dần của x
b) với giá trị nào của a và b thì P(x)=Q(x) với mọi giá trị của x.
Giải
a)P(x)=(x+5)(ax2+bx+25) = ax3 + bx2 + 25x + 5ax2 + 5bx + 125
	 = ax3 + (b+5a)x2 + (25 + 5b)x + 125
b) P = Q với mọi x ax3 + (b+5a)x2 + (25 + 5b)x + 125 = x3+125 với mọi x
Phương pháp: Hai đa thức P(x) và Q(x) đồng nhất nếu khi và chỉ khi mọi hệ số của các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức bằng nhau	
Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức:
A = x4 - 17x3 + 17x2 – 17x + 20 tại x = 16.
Giải: Cách 1: A= x3(x – 16) – x2(x-16) +x(x-16) – (x – 16) + 4
	 = 4 ( vì x = 16 nên x – 16 = 0)
Cách 2: thay 16 = x vào A ta có: A = x4 – (x+1)x3 + (x + 1)x2 – ( x + 1)x + x + 4
	 = x4 – x4 – x3 + x3 + x2 – x2- x + x + 4
	 = 4
Bài tập
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức hợp lí.
Bài 1. 
Dạng 2: Tìm các hệ số của đồng nhất thất thức
II. Các Hằng đẳng thức đáng nhớ
1. ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. ( a – b)2 = a2 – 2ab + b2
3. (a + b)(a – b) = a2 – b2
4. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
5. (a – b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
 = a3 - b3 - 3ab(a - b)
6. a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
7. a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
Nâng cao:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)
an – bn = (a – b)(an-1 + an-2b + .+ bn-1)
an + bn = (a + b)(an-1 – an – 2b + an-3b2 - ...- abn-2 + bn-1) ( với n lẻ)
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức
Ví dụ 1. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca thì a = b = c
Lời Giải
a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0
ú (a2 - 2ab + b2) + (a2 - 2ac + c2) + (b2 - 2bc + c2) = 0
ú (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 = 0
=> a = b = c (đpcm)
Ví dụ 2: cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 3abc
Lời giải: 
Ta có: (a + b)3 = (- c)3
ú a3 + 3ab(a + b) + b3 = -c3
ú a3 - 3abc + b3 + c3 = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc (đpcm)
Bài tập
Bài 1. Chứng minh rằng (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 với x, y khác 0 thì 
Bài 2. cho a2 – b2 = 4c2. Chứng minh rằng:
(5a - 3b + 8c)(5a - 3b - 8c) = (3a - 5b)2
Bài 2. Chứng minh rằng nếu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 với x, y, z khác 0 thì .
Bài 3. Chứng minh rằng:
a) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
b)a3 + b3 + c3- 3abc = (a + b +c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)
Lời giải
a) Ta có (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = a3 + (b + c)3 + 3a(b + c)(a + b + c) - a3 – b3 – c3 = 
3bc(b + c) + 3a(b + c)(a + b + c) = 3(b + c)(bc + a2 + ab + ac) = 3(a + b)(b + c)(c + a).
b) Ta có a3 + b3 + c3- 3abc = (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b) – 3abc = (a + b + c)3 – 3(a + b)c(a + b + c) – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c 2 – ab – ac – bc)
Bài 4. Cho ax + by +cz = 0; bx + cy + az = 0; cx + ay +bz = 0; với x, y, z ≠ 0
Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc
Giải
Từ ax + by +cz = 0; bx + cy + az = 0; cx + ay +bz = 0 ta có:
(a + b + c)(x + y + z) = 0 => a + b + c = 0 => a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài 5. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc. Thì a + b +c = 0 hoặc a = b =c.
Giải
Ta có: a3 + b3 + c3 = 3abc ú (a + b + c)[(a – b)2 + (b – c)2 + (c– a)2] = 0.
= > a + b + c = 0 hoặc a = b =c
Bài 6. Cho . Chứng minh rằng có ít nhất một cặp số đối nhau.
Giải
=> a = -b hoặc b = -c hoặc c = -a.
Bài 7. Cho . Chứng minh rằng Với n lẻ.
Bài 8. Cho a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 (hoặc hoặc ). Chứng minh rằng an + bn + cn = (a + b + c)n vơid n lẻ.
Bài 9. Cho x + y + z = a + b + c; x2 + y2 + z2 = a2 + b2 + c2; x3 + y3 + z3 = a3 + b3 + c3.
Chứng minh rằng: xn + yn + zn = an + bn + cn; 
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức
Vi dụ. Cho x + y = a và xy = b. Tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b.
 a) x2 + y2	b) x3 + y3 	
Lời giải
a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b
b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab
Bài 1. Cho a3 + b3 + c3 = 3abc. Tính 
Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của x2 + 2x + 3
Lời giải:
x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 + 2 = (x + 1)2 + 2 ≥ 2 dấu “=” xảy ra khi x = -2
Vậy giá trị nhỏ nhất là 2 khi x = - 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức –x2 – 5x + 5
Lời giải:
–x2 – 5x + 5 = - (x2 + 5x – 5) = -(x2 + 2.x + - - 5) = 
Dạng 4: Tìm x
Ví dụ: Tìm x biết: x2 – 3x – 4 = 0 
Lời giải:
x2 – 2.x + - - 4 = 0 ú (x - )2 - = 0 ú (x – 4)(x + 1) = 0
=> x = 4 hoặc x = -1;
Chuyên đề 2. Phân tích đa thức thành nhân tử
Phương pháp:
1. Đặt nhân tử chung.
Sử dụng phương pháp này khi các hạng tử có nhân tử chung
2. Sử dụng hằng đẳng thức: 
Khi biểu thức có dạng trong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
3. Nhóm các hạng tử thích hợp làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức
4. Thêm bớt một hạng tử
Ví dụ 1:Phân tích đa thức 4x4 + 81 thành nhân tử 
Giải: 4x4 + 81 = 4x4 +36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2
	= (2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
 64x4 + y4
Giải: 64x4 + 16x2y2 + y4 - 16x2y2 = (8x2 + y)2 – (4xy)2 
 = (8x2 + y -4xy)(8x2 + y +4xy)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử
x4 + x2 + 1 = x4 + x3 + x2 – x3 + 1 
	 = x2(x2 + x +1) – (x – 1)(x2 + x + 1)
	 =(x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
Bài Tập
 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Bài 1. a) x4 + 5x3 + 10x – 4 
 Thêm bớt 2x2 vào biểu thức
 x4 + 2x2 + 5x3 + 10x - 4 - 2x2 
=x2(x2 + 2) + 5x(x2 + 2) – 2(x2 + 2)
=(x2 + 2)(x2+ 5x– 2)
b) x3 + y3 + z3 – 3xyz
Thêm bớt 3xy(x + y)
x3 + y3 + z3 – 3xyz
= x3 + y3 + 3xy(x + y)+ z3 – 3xyz - 3xy(x + y)
= (x + y)3 + z3 – 3xy( x + y + z)
= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 + 2xy - xz - yz) – 3xy(x + y + z)
= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz – yz)
Bài 2. a) x7 + x2 + 1
Thêm bớt x vào biểu thức
x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 
= x(x6 – 1) + (x2 + x + 1)
=x(x3+1)(x-1)(x2 + x + 1) +( x2 + x + 1)
=(x2 + x + 1)[x(x3+1)(x-1) + 1]
b) x8 + x + 1
Thêm bớt x2 vào biểu thức
x8 + x + 1 = x8 - x2+ x2 + x + 1 
= x2(x6-1) + (x2 + x + 1)
=(x2 + x + 1)[x2(x3 +1)(x-1) + 1]
Bài 3. a) x5 + x4 + 1
Thêm bớt x3 vào biểu thức
x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + 1
= x3(x2 + x + 1) – (x -1)(x2 + x + 1) 
=(x2 + x + 1)(x3 – x + 1)
b) x10 + x5 + 1
 Thêm bớt x2 + x vào biểu thức
x10 + x5 + 1 = x10 – x + x5 – x2 + x2 + x +1
=x(x3 + 1)(x-1)(x2 + x +1) + x2(x – 1)( x2 + x +1) + ( x2 + x + 1)
= ( x2 + x +1)[x(x3 + 1)(x-1) + x2(x – 1) + 1]
Bài 4. chứng minh rằng: x200 + x100 +1 x4 + x2 + 1
Ta có: x200 + x100 +1 = (x200 – x2 ) + (x100 – x4) + (x4 +x2 + 1)
 = x2( x198 -1) + x4(x96 - 1) + (x4 +x2 + 1)
= x4[(x6)33 - 1] + x2[(x6)16- 1] + (x4 +x2 + 1)
 = x4(x6 - 1)A(x) + x2(x6 - 1)B(x) + (x4 +x2 + 1)
= x4(x2 – 1)(x4 + x2 + 1)A(x) + x2(x2 – 1)(x4 + x2 + 1)B(x) + (x4 +x2 + 1)
= (x4 + x2 + 1)[x4(x2 – 1)A(x) + x2(x2 – 1)B(x) + 1] x4 + x2 + 1 ( đpcm)
Bài 5.a) 4x4 + 1 (Thêm bớt 4x2)
b) x4 + 324 (Thêm bớt 81x2)
c) x5 + x + 1 (Thêm bớt x2)
d) x8 + x7 + 1 (Thêm bớt x2 + x)
e) x5 - x4 – 1 (Thêm bớt x2)
f) x7 + x5 + 1 (Thêm bớt x2 + x)
g) x8 + x4 + 1 (Thêm bớt x2)
g) x3 + 3xy + y3 – 1 (Thêm bớt 3xy(x + y))
Bài 6. Phân tích biểu thức sau thành nhân tử
a) 1 + 2 + 3 + + n	b) 12 + 22 + 32 + +n2
c)13 + 23 + 33 + +n3	d) 14 + 24 + 34 + +n4
e) 12 + 32 + 52 ++ (2n+1)2	e) 22 + 42 + 62 ++ (2n)2
g) 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + n(n + 1) h) 1.2.3 + 2.3.4 + . + n(n+1)(n+2)
Hướng dẫn:b) 12 + 22 + 32 + +n2
Ta có: (n + 1)3= n3 + 3n2 + 3n + 1
 n3	= (n-1)3+ 3(n-1)2 + 3(n-1) + 1
..
..
23	= 13 + 3.12 + 3.1 + 1
Ta có : (n + 1)3 + n3 ++ 23=(n 3 + (n-1)3 ++ 13) + 3(12 + 22 + 32 + +n2) +3(1 + 2 + 3 + + n) + n
3(12 + 22 + 32 + +n2) = (n + 1)3 –(1 +n) – 3.=(n+1)(2n2 + n):2
 = n(n + 1)(2n + 1):2
12 + 22 + 32 + +n2 = n(n + 1)(2n + 1):6
Chú ý: Các đa thức dạng: x3m + 1+ x3n + 2 + 1 đều chứa nhân tử x2 + x + 1
x2n+ xn+ 1 chứa nhân tử x2 + x + 1 nếu n không chia hết cho 3
5. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Một số cách phân tích đa thức ax2 + bx + c thành nhân tử
Cách 1: tách hạng tử thứ 2: b = b1 + b2 sao cho b1b2 = ac 
 Cách 2: tách hạng tử thứ 1,3 làm xuất hiện hằng đẳng thức, hoặc nhân tử chung
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
3x2 – 8x + 4
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2
3x2 – 8x + 4 = 3x2 - 2x – 6x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất
3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2 = (2x – 2)2 – x2 = (x – 2)( 3x – 2)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
4x2 – 4x – 3
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2: 4x2 – 4x – 3 = 4x2 +2x – 6x -3
	 = 2x(2x + 1) – 3(2x + 1)
 = (2x + 1)( 2x – 3) 
Cách 2: Tách hạng tử thứ ba:4x2 – 4x – 3 = 4x2 – 4x + 1 – 4 = (2x -1)2 - 22
	 = (2x + 1)( 2x – 3) 
Trong tam thức bậc 2: cách phân tích tổng quát là sử dụng cách tách hạng tử thứ 3 làm xuất hiện hằng đẳng thức
Phân tích đa thức bậc n thành nhân tử
( Phương pháp dễ dàng áp dụng đối với đa thức có nghiệm nguyên hoặcphân số)
F(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +  + an
-Nếu x = a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) thì
+ f(x) có nhân tử chung là x – a
+ a là ước của an
Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
F(x) = x3 – x2 – 4
Giải: Xét các ước của -4 là 1, 2, 4, -1, -2, -4 thấy f(2) = 0 vậy x – 2 là một nhân tử của f(x)
x3 – x2 – 4 = x3 - 2x2 + x2 – 4 = x2 ( x -2) + (x – 2)(x + 2) = (x – 2)(x2 + x + 2)
- Nếu là nghiệm của F(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +  + an thì f(x) có nhân tử chung là qx – p( q là ươc của a0, p là ước của an)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
3x3 - 7x2 + 17x – 5
Dùng phương pháp nhẩm nghiệm thấy 1, -1, 5, -5 không phải là nghiệm của đa thức trên. xét ta thấy là nghiệm của đa thức do dó 3x – 1 là một nhân tử chung:
3x3 - 7x2 + 17x – 5 = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) 
 = x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5x(3x – 1)
 = (3x – 1)( x2 – 2x + 5)
Bài tập
Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Bài 1
a) 6x2 – 11x + 3 
b) 2x2 + 3x – 27 
c) 2x2 – 5xy +- 3y2
Bài 2
a) x3 + 2x – 3 
d) x3 – 9x2 + 6x + 16
b) x3 + 7x – 6 
e) x3 – x2 – x – 2 
c) x3 + 5x2 + 8x + 4
f) x3 + x2 – x + 2
Bài 3
a) x3 – 7x – 6
b) 27x3 – 27x2 + 18x – 4
c) 2x3 - x2 + 5x + 3
d) (x2 – 3)2 + 16
e) 6x2 + 7xy + 2y2
f) 9x2 – 9xy – 4y2
g) x2 – y2 + 10x - 6y + 16
h) x3y3 + x2y2 + 4
i) x3 + 3x2y – 9xy2 + 5y3
j) x4 + x3 + 6x2 + 5x + 5
k)x4– x3 – 2x2 +12x + 36
l)x8y8 + x4y4 + 1
m)3x4 + 11x3 – 7x2 – 2x + 1
m) x4 + y4 + (x + y)4 ( Thêm bớt 2x2y2) 
6. Phương pháp đổi biến
Một số dạng quen thuộc
Dạng 1: (x + a)(x + b)(x + c)(x +d) + q có a + b = c + d
Viết [x2 + (a + b)x + ab][x2 + (c +d)x + cd) + q = [x2 + (a + b)x + ab][x2 + (a +b)x + cd) + q 
đặt = y
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
(x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24
Giải: (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) – 23 = (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) – 24
Đặt y = x2 + 7x + 11 ta có: (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) – 12 = (t – 1)(t + 1) – 24
= t2 – 25 = (t – 5)(t + 5) =(x2 + 7x + 6)(x2 + 7x + 16)	
Dạng 2: Đa thức bậc bốn có hệ số đối xứng
 F(x) = ax4 + bx3 + cx2 + bx + a
 = x2(ax2 + bx + c + b/x + a/x2) =x2 [a(x2 +1/x2) + b(x + 1/x) + c] 
 = x2[a(x + 1/x)2 + b(x + 1/x) +c -2a]
đặt y = x + 1/x và phân tích a(x + 1/x)2 + b(x + 1/x) +c -2a = ay2 + by + c – 2a Thành nhân tử.
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 
Giải:
x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = x2(x2 + 6x + 7 + 6/x + 1/x2) = x2[(x +1/x)2 + 6(x + 1/x) + 5]
đặt y = x + 1/x ta có x4 + 6x2 + 7x2 + 6x +1 = x2(y2 + 6x + 5) = x2(y + 1)(y + 5)
= x2(x + 1/x + 1)( x + 1/x + 5) = ( x2 + x +1)(x2 + 5x + 1)
Bài tập
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) x2 – 2xy + y2 + 3x – 3y - 4 
Giải: x2 – 2xy + y2 + 3x – 3y – 4 
= (x – y)2 + 3(x – y) – 4 
đặt t = x – y ta có :
(x – y)2 + 3(x – y) – 4 = t2 + 3t – 4 
= (t – 1)( t + 4) =(x – y – 1)(x – y + 4)
b) (12x2 – 12xy + 3y2) – 10(2x – 3y) + 8
=3(2x – y)2 – 10(2x – y) + 8
Đặt t = 2x – y ta có:
3(2x – y)2 – 10(2x – y) + 8 =3t2 – 10t + 8
=(3t2 – 4t) – (6t – 8) = t(3t – 4) – 2(3t – 4) =(3t – 4)(t – 2) = (6x – 3y – 4)(2x – y –2
Bài 2: a) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3
Đặt x = a – b; y = b – c; z = c – a
Ta có: (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = x3 + y3 + z3 và x + y + z = 0
Vậy x3 + y3 + z3 = 3xyz
c) B = (a + b –2c)3 + (a + c –2b)3 + (b + c – 2a)3
Đặt x = (a + b –2c)3; y = (a + c –2b)3 ; z =(b + c – 2a)3 ta có: x + y +z = 0
B = 3(a + b –2c)(a + c –2b)(b + c – 2a)
Bài 3. Chứng minh rằng: 
a)(x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = 3(x + y)(y + z)(z + x)
Biến đổi vế trái:
(x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = (x + y)3 + z3 + 3(x + y)z(x + y + z) – x3 – y3 – z3 = x3 + y3 + z3 + 3xy(x + y) 3(x + y)z(x + y + z) – x3 – y3 – z3 =3(x + y)(xy + xz + yz + z2)
= 3(x + y)(x + z)(y + z)
b)Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (a + b + c)3 + (a – b - c)3+ (b – c – a)3 + (c – a – b)3
Đặt x = a – b – c; y = b – c – a; z =c – a – b ta có : x + y + z = -(a + b + c)
A = -(x + y + z )3 + x3 + y3 + z3
áp dụng tương tự phần a) A = -3(x + y)(y + z)(z + x)
Bài 4. a) (x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – 6
b)(x2 + 4x -3)2 – 5x(x2 + 4x -3) +6x2 (đặt y = x2 + 4x -3)
c)(x2 + x + 4)2 + 8x(x2 + x + 4) + 15x2
d) x4 – 6x3 + 11x2 – 6x + 1
Bài 5. 2(x2 – 6x + 1) + 5(x2 – 6x + 1)(x2 + 1) + (x2 + 1)2
Bài 6. Chứng minh rằng: M = 4(x – 2)(x – 1)(x + 4)(x + 8) + 25x2 Không âm.
M = 4(x2 + 2x – 8)(x2 + 7x – 8) + 25x2 =
Đặt a = x2 + 2x – 8 ta có: M = 4a(a + 5x) + 25x2 = (2a + 5x)2 ≥0 (đpcm)
7. Phương pháp hệ số bất định(Phương pháp đồng nhất hệ số)
Đây là phương pháp thường được áp dụng cho một số đa thức đưa được về đa thức bậc bốn có các hệ số nguyên
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
Lời Giải: Thấy ± 1, ±3 không phải là nghiệm của đa thức. Đa thức trên phân tích được thành nhân tử có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x2 + (ac + b + d)x2 + (bc + da)x + bd
Ta có: lấy b =1, d =3 =>c =-2, a = - 4
Vậy x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 – 4x + 1)(x2 – 2x + 3)
Bài Tập
Phân tích đa thức sau thành nhân tử theo phương pháp đồng nhất hệ số:
A = 3x4 + 11x3 – 7x2 – 2x + 1
B = x4 – 6x3 + 11x2 – 6x + 1
C = x4 – x3 + 2x2 – 11x – 5
D = 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1
8. Phương pháp xét giá trị riêng
Phương pháp xét giá trị riêng là phương pháp xét giá trị của biến làm cho giá trị của biểu thức bằng 0. Từ đó xác định các nhân tử chung bằng cách thay các giá trị bất kì vào đẳng thức được xác định hoặc dựa vào đó để tách, thêm bớt nhóm thích hợp.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)
ta thấy với y = z hoặc x = y hoặc x = z thì x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = 0. vậy ta có y –z, x – y, z - x là nhân tử chung của biểu thức trên.
x2(y – z) + y2z – y2x + z2x – z2y = K.(x – y)(y – z)(z –x)
vì (x – y)(y – z)(z –x) là đa thức bậc 3 nên K là hằng số
thay x= 0, y = 1, z =2 vào đẳng thức trên ta được:
-2 = K.2 => K = -1
Vậy x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = - (x – y)(y – z)(z –x) =(x – y)(y – z)(x - z)
Ví dụ 2: Xác định a, b sao cho x4 + ax + b = x2 – 1
C1: Thực hiện phép chia rồi cho số dư = 0
C2: viết x4 + ax + b = (x2 – 1).q(x)
Tại x = -1, x =1 ta có:
1 + a + b = 0 và 1 – a + b = 0
=> b = - 1, a = 0 
Bài Tập
Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
M = xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz
Bài 2. M = a(b + c – a)2 +b(c + a – b)2 + c(a + b – c)2 + (a + b – c)(b + c –a)(c + a – b)
(xét a = 0)
Bài 3. (x + y + z)(xy + yz + zx) – xyz (xét x = - y,..)
Chuyên đề 3. Xác định đa thức
Chuyên đề 3. Số chính Phương
I. Tính chất Số chính phương 
Số chính phương chia cho 3, 4 dư 1 hoặc dư 0
số chính phương chia hết cho p2k+1 thì chia hết cho p2k+2( Với p là số nguyên tố)
Giữa hai số chính phương liên tiếp không tồn tại số chính phương
Chữ số tận cùng của số chính phương không thể là 2,3,7,8
II. Phương pháp chứng minh
a) chứng minh một số là số chính phương
- biểu diễn một biểu thức được dưới dạng bình phương của một số
- Hai số nguyên tố cùng nhau a và b có tích là số chính phương thì a và b là những số chính phương
b) Chứng minh một số không là số chính phương:
- Chứng minh số đó nằm giữa hai số chính phương liên tiếp.
- Chứng minh sự phân tích có chứa luỹ thừa lẻ của một số nguyên tố
- Xét số dư của nó khi chia cho 3,4,5
- Chứng minh chữ số tận cùng của nó là 2,3,7,8
c) Tìm điều kiện để một biểu thức là số chính phương.
III. Một số bài toán
Dạng 1. Chứng minh một biểu thức là số chính phương.
Bài 1. Cho A = là số chính phương
Lời giải:
A = 
Đặt a = => 9a + 1 = 10n
A = a(9a + 1) - 7a + 1 = 9a2 - 6a + 1 =(3a + 1)2 ( đpcm)
Dạng 2: Tìm điều kiện để một biểu thức là số chính phương
Ví dụ: Tìm điều kiện để a(a + 3) là số chính phương
Lời giải:
Để a(a + 3) là số chính phương thì a(a + 3) = k2
ú a2 + 3a = k2 ú 4a2 + 12a = 4k2 (2a + 3)2 = 4k2 + 9 
 (2a + 3 – k)(2a + 3 + k) = 9
Dạng 3: Chứng minh một biểu thức không thể là một số chính phương theo điều kiện
Bài 1. Cho số tự nhiên n thuộc N*, d là ước của 2n2. Chứng minh rằng n2 + d Không thể là số chính phương.
Lời giải
Cách 1: giả sử n2 + d =m2 n2 + = m2 kn2 + = km2 
Cách 2: ta có 2n2 + 2d
Chuyên đề 4. Bất đẳng thức
Chuyên đề 5. Giải phương trình nghiệm nguyên
	Chuyên đề 6. Số nguyên tố	
Chuyên đề 7. Đồng dư thức
Hình Học
Chuyên đề 1: Định lí talet - Tam giác đồng dạng
Chuyên đề 2: Phương pháp diện tích