Kỳ thi vào Lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn năm học 2010-2011 môn Toán - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa

Sở giáo dục và đào tạo
THANH HóA
 Đề chính thức
Đề thi gồm có 01 trang
kỳ thi vào lớp 10 thpt chuyên lam sơn
NĂM HọC: 2010 - 2011
Môn: Toán 
(Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 20 tháng 6 năm 2010
Câu 1: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: .
2. Không dùng máy tính, tính giá trị biểu thức: .
Câu 2: (2,5 điểm)
1. Cho parabol (P): và đường thẳng (d): y = -1. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc (P). Tìm trên trục tung tất cả các điểm sao cho khoảng cách từ M đến điểm đó bằng khoảng cách từ M đến đường thẳng (d).
2. Cho ba số không âm a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: b + c 16abc. Chỉ rõ dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 3: (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình sau (với x > 0, y < 0): 
Câu4: (3,0 điểm)
Tam giác ABC có , đường trung tuyến BM và đường phân giác trong CD cắt nhau tại K sao cho KB = KC. Gọi H là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC.
Chứng minh rằng: HA = HB.
Tính số đo các góc và .
Câu 5: (1,0 điểm)
Ký hiệu [x] là phần nguyên của số thực x. Tìm các số thực x thoả mãn:
.
------------------------------- Hết -------------------------------
Họ và tên thí sinh: .................................................................................................. Số báo danh: .................................................
Chữ ký giám thị 1: ..................................................................... Chữ ký giám thị 2: ................................................
Sở giáo dục và đào tạo
Thanh hoá
kỳ thi vào lớp 10 thpt chuyên lam sơn
năm học: 2010 - 2011
ĐáP áN Đề THI CHíNH THứC
Môn: Toán 
(Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Ngày thi: 20 tháng 6 năm 2010
Đáp án này gồm có 04 trang
Hướng dẫn chung:
* Lời giải nêu trong đáp án, nói chung, là lời giải vắn tắt. Khi làm bài, học sinh phải nêu đầy đủ và chính xác các suy luận thì mới được điểm.
* Các câu hình học: Nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm. Nếu học sinh thừa nhận kết quả của ý trên để giải ý dưới thì không chấm điểm ý dưới.
* Các cách giải khác với cách nêu trong đáp án này mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa của phần (câu) tương ứng.
* Điểm của toàn bài không làm tròn.
Câu
ý
Nội dung
Điểm
I
(2,0đ)
1
(1,0đ)
0,5
 (Vì ).
0,25
Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất: x = 5.
0,25
2
(1,0đ)
Với ta có:
0,5
Do đó P là nghiệm của phương trình: .
Theo ý 1, phương trình trên có nghiệm duy nhất: 
0,25
Vậy .
0,25
2
(2,5đ)
1
(1,5đ)
Giả sử E(0; y0) là một điểm trên trục tung.
Do M ẻ (P) nên và khoảng cách từ M đến (d) là: ; độ dài (dùng pitago để tính).
0,5
Từ đó: với "x.
0,25
 với "x.
 với "x.
0,25
Yêu cầu bài toán được thoả mãn khi: 
Vậy có duy nhất một điểm E thoả mãn bài toán: E(0; 1).
0,5
2
(1,0đ)
Trước hết chứng minh: (x + y)2 ≥ 4xy với mọi x, y.
Đẳng thức xảy ra khi: x = y
0,25
áp dụng ta có: (a + b + c)2 = [a +(b + c)]2 ≥ 4a(b + c). Đẳng thức xảy ra khi: a = b + c Û 	(*)
Do a + b + c = 1 nên bất đẳng thức trên suy ra: 1 ≥ 4a(b + c)
Û b + c ≥ 4a(b + c)2 (do b + c không âm)
0,5
Nhưng lại có (b + c)2 ≥ 4bc. Đẳng thức xảy ra khi: b = c	(**)
Suy ra: b + c ≥ 16abc.
Từ (*) và (**) có: đẳng thức xảy ra khi .
0,25
3
(1,5đ)
Ta có: và 
Suy ra: .
0,25
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: 
Do đó, hệ đã cho tương đương với: 
0,25
Từ (1) và (2) ta có: 	(*)
0,25
Từ (2) có: 
	(**)
0,25
Từ (*) và (**) suy ra: .
0,25
Từ đó, hệ đã cho có 2 nghiệm: và .
0,25
4
(3,0đ)
1
(2,0đ)
Nối HM khi đó MH = MA = MC suy ra:
	.
0,25
Theo giả thiết: .
Do vậy: 	(1).
0,25
Mặt khác: 	(2). 
Từ (1) và (2) có: ị cân tại H ị MH = HB.
0,5
Giả sử khi đó và . 
Vì nên .
0,5
Tam giác AMH cân tại M nên .
Do đó (mâu thuẫn).
0,25
Tương tự, nếu HA < HB ta cũng gặp điều mâu thuẫn.
Vậy: HA = HB.
0,25
2
(1,0đ)
Từ kết quả ý 1 suy ra vuông cân tại H ị .
0,5
ị .
0,25
Vậy: .
0,25
5
(1,0đ)
Đặt ta có: .
0,25
Mặt khác: 
0,25
Đặt .
0,25
Từ đó ta có: 
0,25