Kỳ thi chọn học sinh giỏi huyện Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD & ĐT Văn Bàn

 PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO VĂN BÀN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: TOÁN 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (6,0 điểm). 
	a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì không chia hết cho 3.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho là một số chính phương.
Câu 2 (3,0 điểm)
 	Giải phương trình: 
Câu 3 (3,0 điểm). 
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 4 (6,0 điểm)
	Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB trên tia đối của tia AB lấy điểm P. Vẽ cát tuyến PMN (M nằm giữa P và N). Vẽ AD và BC vuông góc với MN; BC cắt nửa đường tròn tại I. Chứng minh rằng:
Tứ giác AICD là hình chữ nhật
 DN = CM
AD.BC = CM.CN
BC2 + CD2+DA2-AB2 = 2AD.BC
Câu 5 (2,0 điểm).
Biết các cạnh của tam giác ABC Là: BC = a ; AC= b; AB= c
Chứng minh rằng: nếu thì a2 = b2 + bc
- - - Hết - - -
Họ và tên thí sinh:.................................................. Số báo danh: .....................................
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO VĂN BÀN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2012 - 2013
ĐÁP ÁN Môn thi: TOÁN 
(Gồm 3 trang)
----------
Câu:
Nội dung
Điểm
1.
6đ
a,
(3,0)
*) Nếu 
0,5
nên (1)
0,5
*) Nếu 
0,5
	 (2)
0,5
Từ (1) và (2) thì 
1,0
b, (3,0)
Đặt 
0,5
	 =17.1
0,5
Do m + n > m - n
0,5
1,0
Vậy với n = 8 ta có 
0,5
2.
3,0
(3,0)
 Giải phương trình (1)
Điều kiện: 
0,25
(1) 
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
	 thỏa mãn điều kiện 
0,25
3.
3,0
(3,0)
Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Ta có: 
1,0
1,0
Dấu "=" xảy ra 
0,5
Vậy khi x = -2
0,5
4.
6,0
a, (2,5)
Chứng minh:
 Ta có OA = OB = OI (Đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy). Suy ra 
Mặt khác: (gt)
Nên Tứ giác AICD là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông)
Vẽ (cùng vuông góc với MN)
Ta lại có: ED=EC (t/c của hai đường thẳng song song cách đều)
Mà EM = EN (Đường kính vuông góc với dây)
Nên DM = NC (Hiệu của 2 cặp đoạn thẳng bằng nhau)
Ta có OA = ON = OB Nên 
 (g.g) 
Hay AD.BC = DN.NC = CM.NC
 Ta có
1,0
1,5
1,5
1,0
1,0
5
2,0
Kẻ đường phân giác AD của góc A
 và 
(g.g)
Nên ta có Hay 
Vì AD là tia phân giác của hay 
Thay vào(1) ta có: Hay a2 = b2 + b.c
0,5
1,0
0,5
- - Hết - - -