Khảo sát năng khiếu học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD & ĐT Quỳnh Lưu

PHềNG GD&ĐT QUỲNH LƯU 
KHẢO SÁT NĂNG KHIẾU HỌC SINH LỚP 8
NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi mụn: Toỏn
Thời gian: 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
Cõu 1 (2,0 điểm). 
 a) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: .
 b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để giỏ trị của biểu thức sau là số nguyờn 
P = .
Cõu 2 (2,0 điểm).
Giải cỏc phương trỡnh: 
a) (x2 – x)2 + 8x + 12 = 8x2.
b) 
Cõu 3 (2,0 điểm).
 a) Cho cỏc số thực x, y thỏa món:
 x2 + y2 + xy – x + y + 1 = 0.
 Tớnh giỏ trị của biờủ thức: M = x2013 + y2013 + 2013x + y.
	b) Cho cỏc số nguyờn x, y thỏa món x + y = 5. 
Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A = xy.
Cõu 4 (3,0 điểm). 
 Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD (CD < 2AB). Qua A kẻ đường thẳng AK song song với BC, qua B kẻ đường thẳng BI song song với AD (K và I thuộc đoạn DC). BI cắt AC ở F, AK cắt BD ở E. Chứng minh: 
	a) CI = DK.
 	a) EF // AB.
 	b) AB2 = CD.EF.
Cõu 5 (1,0 điểm).
Tỡm tất cả cỏc tam giỏc vuụng mà số đo cỏc cạnh là cỏc số nguyờn dương và 
số đo diện tớch bằng số đo chu vi.
------ Hết ------
Họ và tờn thớ sinh: ...................................................................... 	SBD: ............................................
HƯỚNG DẪN CHẤM MễN: TOÁN
Cõu 1
Nội dung
2,0 điểm
a) 1,0
x2 – x – 2 = (x + 1)(x – 2)
1,0
b) 1,0
ĐKXĐ: x 2;3
P = = 1 + 
P nguyờn nờn 2
x – 3 = 1 x = 4(thỏa món ĐKXĐ).
x – 3 = -1 x = 2 (loại).
x – 3 = 2 x = 5 (thỏa món ĐKXĐ).
x – 3 = -2 x = 1(thỏa món ĐKXD).
Vậy x = 1; 4; 5
0,25
0,25
0,25
0,25
Cõu 2
2,0
điểm
a)
1,0
 (x2 – x)2 + 8x + 12 = 8x2 (x2 – x)2 - 8(x2 – x) + 12 = 0 
 (x2 – x - 2) (x2 – x - 6) = 0
 (x + 1)(x – 2) (x + 2)(x – 3) =0
 S = {-2 ; -1 ; 2 ; 3}
0,25
0,25
0,25
0,25
b)
1,0
Với 
Ta cú: (loại)
Với 
Ta cú (thỏa món x < 2).
Vậy S = {1}
0,25
0,25
0,25
0,25
Cõu 3
2,0
điểm
a)
1,0
Biến đổi x2 + y2 + xy – x + y + 1 = 0
 2(x2 + y2 + xy – x + y + 1) = 0
 (x + y)2 + (x – 1)2 + (y + 1)2 = 0
 => x = 1 ; y = -1
 => M = x2013 + y2013 + 2013x + y = 1
0,25
0,25
0,25
0,25
b)
1,0
Khụng mất tớnh tổng quỏt giả sử 
Từ x + y = 5y = 5 – x
 A = xy = x(5 – x) = 
Vỡ x 3 x - 
A 
Vậy GTLN của A = 6 khi x = 3, y = 2 hoặc x = 2, y = 3
0,25
0,25
0,25
0,25
Cõu 4
3,0
điểm
a)
1,0
A
B
C
I
K
D
E
F
 Cỏc tứ giỏc ABID, ABCK là cỏc hỡnh bỡnh hành
 DI = CK = AB 
mà KD = DC - CK , CI = DC - DI 
Suy ra KD = CI
1,0
b)
1,0
 Ta cú AB//DK
Tương tự
 Theo c/m trờn: KD = CI
 EF // KC
 Vậy EF // AB
0,25
0,25
0,5
c)
1,0
Ta cú
 (vỡ AB = KC)
 (1)
Do EF // DI (2)
Từ (1) và (2) AB2 = DC.EF 
0,25
0,25
0,25
0,25
5
(1đ)
 Gọi số đo các cạnh của tam giác vuông là x, y, z (x < y < z; x, y, z là các số nguyên dương).
 Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2)	 
 Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy, thay (1) vào ta có :
 z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
 z2 + 4z = (x + y)2 - 4(x + y)
 z2 + 4z + 4 =(x + y)2 - 4(x + y) + 4
 (z + 2)2 = (x + y - 2)2, suy ra z + 2 = x + y - 2 (do x, y, z nguyên dương) 
 z=x+y-4; thay vào (1) ta được:
 xy=2(x+y+x+y-4)
 xy-4x-4y=-8
 (x-4)(y-4) = 8	 
 Từ đó ta tìm được các giá trị của x, y, z là:
 (x=5,y=12,z=13); (x=6,y=8,z=10)	 
0,25
0,25
0,25
0,25