Giúp học sinh tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính bỏ túi Casio

II.2. chương II: NỘI DUNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
II.2.1. Sơ lược về cách sử dụng máy
II.2.1.1. Các phím chức năng trên máy
II.2.1.1.1. Phím chức năng chung
Phím
Chức năng
On
Mở máy
Shift off
Tắt máy
Di chuyển con trỏ đến vị trí dữ liệu
0; 1; 2; 9
Nhập các số từ 0;;9
.
Nhập dấu ngăn cách phần nguyên, phần phân của số TP
+ ; - ; x ; ÷ ; =
Nhập các phép toán
AC
Xóa hết dữ liệu trên máy tính (không xóa trên bộ nhớ)
DEL
Xóa kí tự nhập
(-)
Nhập dấu trừ của số nguyên âm
CLR
Xóa màn hình
II.2.1.1.2. Khối phím nhớ
Phím
Chức năng
STO
Gán, ghi váo ô nhớ
Gọi số ghi trong ô nhớ
Các ô nhớ
Cộng thêm vào ô nhớ M
Trừ bớt từ ô nhớ
II.2.1.1.3. Khối phím đặc biệt
Phím
Chức năng
Di chuyển sang kênh chữ vàng
Di chuyển sang kênh chữ đỏ
Ấn định kiểu,trạng thái,loại hình tính,loại đơn vị đo
Mở, đóng ngoặc
Nhân với lũy thừa 10 với số mũ nguyên
Nhập số pi
Nhập hoặc đọc độ, phút, giây, chuyển sang chế độ thập phân
Chuyển đổi giữa độ, Radian, grad
Tính tổ hợp chập r của n
Tính chỉnh hợp chập r của n 
II.2.1.1.4. Khối phím hàm
Phím
Chức năng
Tính tỉ số lượng giác của một góc
Tính góc khi biết tỉ số lượng giác
Hàm mũ cơ số 10, cơ số e
Bình phương, lập phương của x
Căn bậc hai, căn bậc 3, căn bậc x
Nghịch đảo của x
Mũ
Tính giai thừa của x
Tính phần trăm
Nhập hoặc đọc phân số, hỗn số, đổi phân số, hỗn số ra số thập phân hoặc ngược lại
Đổi hỗn số ra phân số và ngược lại
Chuyển kết quả ra dạng a.10n với n giảm dần
Chuyển kết quả ra dạng a.10n với n tăng
Nhập số ngẫu nhiên
II.2.1.1.5. Khối phím thống kê
Phím
Chức năng
Nhập dữ liệu xem kết quả
Tính tổng bình phương của các biến lượng
 tổng các biến lượng
 tổng tần số
Tính: giá trị trung bình cộng của các biến lượng 
 độ lệch tiêu chuẩn theo n
 độ lệch tiêu chuẩn theo n-1
Tính giá trị của biểu thức tại các giá trị của biến
II.2.1. 2Các thao tác sử dụng máy
II.2.1.2.1. Thao tác chọn kiểu
Phím
Chức năng
Kiểu Comp: Tính toán cơ bản thông thường
Kiểu SD: Giải bài toán thống kê
Kiểu ENQ: Tìm ẩn số
Unknows? (số ẩn của hệ phương trình)
+ Ấn 2 vào chương trình giải hệ PT bậc nhất 2 ẩn
+ Ấn 3 vào chương trình giải hệ PT bậc nhất 3 ẩn
Degree (số bậc của PT)
+ Ấn 2 vào chương trình giải PT bậc t 2 
+ Ấn 3 vào chương trình giải PT bậc nhất 3 
Kiểu Deg: Trạng thái đơn vị đo góc là độ
Kiểu Rad: Trạng thái đơn vị đo góc là radian
Kiểu Grad: Trạng thái đơn vị đo góc là grad
Kiểu Fix: Chọn chữ số thập phân từ 0 đến 9
Kiểu Sci: Chọn chữ số có nghĩa ghi ở dạng a.10n (0; 1; ;9)
Kiểu Norm: Ấn 1 hoặc 2 thay đổi dạng kết quả thông thường hay khoa học.
Kiểu ab/c; d/c: Hiện kết quả dạng phân số hay hỗn số
Kiểu Dot, Comma: chọn dấu ngăn cách phần nguyên, phần thập phân; ngăn cách phân định nhóm 3 chữ số.
II.2.1.2.2. Thao tác nhập xóa biểu thức
Màn hình tối đa 79 kí tự, không quá 36 cặp dấu ngoặc.
Viết biểu thức trên giấy như bấm phím hiện trên màn hình.
Thứ tự thực hiện phép tính:
{ [ ( ) ] } à lũy thừa à Phép toán trong cănà nhân à nhân à chia à cộng à trừ.
II.2.1.2.3. Nhập các biểu thức
Biểu thức dưới dấu căn thì nhập hàm căn trước, biểu thức dưới dấu căn sau
Lũy thừa: Cơ số nhập trước rồi đến kí hiệu lũy thừa.
Đối với các hàm: x2; x3; x-1; ; nhập giá trị đối số trước rồi phím hàm.
Đối với các hàm ;; cx; 10x; sin; cos; tg; sin-1; cos-1; tg-1 nhập hàm trước rồi nhập các giá trị đối số.
Các hằng số: π; e, Ran, ≠ và các biến nhớ sử dụng trực tiếp.
Với hàm nhập chỉ số x trước rồi hàm rồi biểu thức.
VD: 4 20
Có thể nhập: 
VD: Tính Ấn: 4 4 x2 =
Hoặc =>Ấn: 4 ( 1 : 2 ) =
II.2.1.2.4. Thao tác xóa, sửa biểu thức 
- Dùng phím hay để di chuyển con trỏ đến chỗ cần chỉnh.
- Ấn Del để xóa kí tự dạng nhấp nháy (có con trỏ).
- Ấn Shift Ins con trỏ trở thành (trạng thái chèn) và chèn thêm trước kí tự đang nhấp nháy. Khi ấn Del , kí tự trước con trỏ bị xóa.
- Ấn Shift Ins lần nữa hoặc = ta được trạng thái bình thường (thoát trạng thái chèn).
- Hiện lại biểu thức tính:
	+ Sau mỗi lần tính toán máy lưu biểu thức và kết quả vào bộ nhớ. Ấn 
màn hình cũ hiện lại, ấn , màn hình cũ trước hiện lại.
	+ Khi màn hình cũ hiện lại ta dùng hoặc để chỉnh sửa và tính lại.
	+ Ấn , con trỏ hiện ở dòng biểu thức.
	+ Ấn AC màn hình không bị xóa trong bộ nhớ.
	+ Bộ nhớ màn hình bị xóa khi: 
	. Ấn On 
	. Lập lại Mode và cài đặt ban đầu ( Shift Clr 2 = ).
	. Đổi Mode.
	. Tắt máy.
Nối kết nhiều biểu thức 
Dùng dấu “:” ( Anpha : ) để nối hai biểu thức tính.
VD: Tính 2 + 3 và lấy kết quả nhân 4. 
Ấn: 2 + 3 Ans x 4 =
	 =
II.2.1.2.5.Thao tác với phím nhớ.
II.2.1.2.5.1. Gán giá trị vào biểu thức.
Nhập giá trị.
Ấn: Shift STO biến cần gán.
VD: 5 Shift STO A
Cách gọi giá trị từ biến nhớ
+ Cách 1: RCL + Biến nhớ 
+ Cách 2: RCL + Biến nhớ
Có thể sử dụng biến nhớ để tính toán.
VD: Tính giá trị biểu thức x5 + 3x4 + 2x2 +3 với x =35.
Thực hành: Gán 35 vào biến X.
	Ấn 35 Shift STO X
	Anpha X 5 + 3 x Anpha X 4 + 2 x Anpha X 2 + 3
II.2.1.2.5.2. Xóa biến nhớ
0 Shift STO biến nhớ.
II.2.1.2.5.3. Mỗi khi ấn = thì giá trị vừa nhập hay kết quả của biểu thức được tự 
động gán vào phím Ans 
Kết quả sau “=” có thể sử dụng trong phép tính kế tiếp.
Dùng trong các hàm x2, x3, x-1,x!, +,-, 
II.2. 2. Lí thuyết và các dạng bài tập cơ bản
II.2.2.1. Các phép toán trong tập hợp số tự nhiên
II.2.2.1.1. Lí thuyết
	*Phép cộng và phép nhân
	- Ghi y hệt các biểu thức tính vào màn hình và ấn sẽ được kết quả.
	- Máy chỉ đọc được một số có 10 chữ số, nếu ghi dài hơn nữa, máy không hiểu.
	- Dấu nhân liền trước dấu ngoặc có thể bỏ qua.
	- Dấu ngoặc cuối cùng cũng có thể khỏi ấn.
	*Phép trừ và phép chia
	- Ghi y hệt các biểu thức tính vào màn hình và ấn sẽ được kết quả.
	- Phép nhân tắt ưu tiên hơn phép nhân thường, do đó phép nhân tắt ưu tiên hơn phép chia.
II.2.2.1.2. Các dạng bài tập và cách giải
II.2.2.1.2.1. Tìm kết quả của phép nhân có kết quả quá 10 chữ số
Bài 1: 
Tính kết quả đúng của các tích sau:
M = 2222255555 . 2222266666.
N = 20032003 . 20042004.
Giải:
Đặt A = 22222, B = 55555, C = 666666.
Ta có M = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + AB.105 + AC.105 + BC
Tính trên máy:
A2 = 493817284 ; AB = 1234543210 ; AC = 1481451852 ; BC = 3703629630
Tính trên giấy:
A2.1010
4
9
3
8
1
7
2
8
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
AB.105
1
2
3
4
5
4
3
2
1
0
0
0
0
0
0
AC.105
1
4
8
1
4
5
1
8
5
2
0
0
0
0
0
BC
3
7
0
3
6
2
9
6
3
0
M
4
9
3
8
4
4
4
4
4
3
2
0
9
8
2
9
6
3
0
Đặt X = 2003, Y = 2004. Ta có:
N = (X.104 + X) (Y.104 + Y) = XY.108 + 2XY.104 + XY
Tính XY, 2XY trên máy, rồi tính N trên giấy như câu a)
Kết quả: 
M = 4938444443209829630.
N = 401481484254012.
Bài 2: 
Tính chính xác tổng S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16!.
Giải: 
Vì n . n! = (n + 1 – 1).n! = (n + 1)! – n! nên:
S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16! = (2! – 1!) + (3! – 2!) + ... + (17! – 16!)
S = 17! – 1!.
Không thể tính 17 bằng máy tính vì 17! Là một số có nhiều hơn 10 chữ số (tràn màn hình). Nên ta tính theo cách sau:
Ta biểu diễn S dưới dạng : a.10n + b với a, b phù hợp để khi thực hiện phép tính, máy không bị tràn, cho kết quả chính xác.
Ta có : 17! = 13! . 14 . 15 . 16 . 17 = 6227020800 . 57120
Lại có: 13! = 6227020800 = 6227 . 106 + 208 . 102 nên 
S = (6227 . 106 + 208 . 102) . 5712 . 10 – 1 
 = 35568624 . 107 + 1188096 . 103 – 1 = 355687428096000 – 1 
 = 355687428095999.
Bài tập tương tự: 
Tính chính xác các phép tính sau:
A = 20!; 19!
B = 5567866 . 6667766
C = 20092009 . 20102010
14584713
212220032 
II.2.2.1.2.2. Tìm số dư của phép chia
*) Khi đề cho số bé hơn 10 chữ số:
Số bị chia = số chia . thương + số dư (a = bq + r) (0 < r < b)
Suy ra r = a – b . q
Ví dụ : Tìm số dư trong các phép chia sau: 
9124565217 cho 123456
987896854 cho 698521
*) Khi đề cho số lớn hơn 10 chữ số:
 Phương pháp: 
Tìm số dư của A khi chia cho B ( A là số có nhiều hơn 10 chữ số)
Cắt ra thành 2 nhóm , nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái). Tìm số dư phần đầu khi chia cho B.
Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ 9 chữ số) rồi tìm số dư lần hai. Nếu còn nữa tính liên tiếp như vậy.
Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567.
Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567: Được kết quả số dư là : 2203
Tìm tiếp số dư của phép chia 22031234 cho 4567.
Kết quả số dư cuối cùng là 26.
Bài tập: Tìm số dư của các phép chia:
97639875 cho 8604325
903566893265 cho 38769.
1234567890987654321 : 123456
*) Dùng kiến thức về đồng dư để tìm số dư.
 Phép đồng dư: 
+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu 
+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+
Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 126 cho 19
Giải:
Vậy số dư của phép chia 126 cho 19 là 1
Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975
Giải:
Biết 376 = 62 . 6 + 4
Ta có:
Vậy 
Kết quả: Số dư của phép chia 2004376 cho 1975 là 246
Bài tập tương tự:
Tìm số dư của phép chia :
158 cho 29
2514 cho 63
201038 cho 2001.
20099 cho 2007
715 cho 2005
II.2.2.1.2.3. Tìm chữ số hang đơn vị, hàng chục, hàng trăm ... của một lũy thừa.
Bài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị của số 172002
Giải: 
Vậy . Chữ số tận cùng của 172002 là 9
Bài 2: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 232005.
Giải
+ Tìm chữ số hàng chục của số 232005
Do đó: 
Vậy chữ số hàng chục của số 232005 là 4 (hai chữ số tận cùng của số 232005 là 43)
+ Tìm chữ số hàng trăm của số 232005
Vậy chữ số hàng trăm của số 232005 là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 232005 là số 343)
Bài tập vận dụng:
1.Tìm chữ số cuối của: 72010; 354; 2713; 4931.
2.Tìm chữ số hang chục của: 252009; 372002; 192001.
3.Tìm hai chữ số cuối của: 22001 + 22002 + 22003 + 22005.
II.2.2.1.2.4. Tìm BCNN, UCLN
II.2.2.1.2.4.1. Cách làm
 Máy tính cài sẵn chương trình rút gọn phân số thành phân số tối giản 
Ta áp dụng chương trình này để tìm UCLN, BCNN như sau:
 + UCLN (A; B) = A : a
 + BCNN (A; B) = A . b
II.2.2.1.2.4.2. Ví dụ
Ví dụ 1: Tìm UCLN và BCNN của 2419580247 và 3802197531
HD: Ghi vào màn hình : và ấn =, màn hình hiện 
UCLN: 2419580247 : 7 = 345654321
BCNN: 2419580247 . 11 = 2.661538272 . 1010 (tràn màn hình)
Cách tính đúng: Đưa con trỏ lên dòng biểu thức xoá số 2 để chỉ còn 419580247 . 11
Kết quả : BCNN: 4615382717 + 2.109 . 11 = 26615382717
Ví dụ 2: Tìm UCLN của 40096920 ; 9474372 và 51135438
Giải: Ấn 9474372 ¿ 40096920 = ta được : 6987¿ 29570.
UCLN của 9474372 và 40096920 là 9474372 : 6987 = 1356.
Ta đã biết UCLN(a; b; c) = UCLN(UCLN(a ; b); c)
Do đó chỉ cần tìm UCLN(1356 ; 51135438).
Thực hiện như trên ta tìm được: 
UCLN của 40096920 ; 9474372 và 51135438 là : 678
Bài tập áp dụng:
Cho 3 số 1939938; 68102034; 510510.
Hãy tìm UCLN của 1939938; 68102034.
Hãy tìm  ... rªn:
BÊm lÇn l­ît c¸c phÝm: 
	2). TÝnh tõ trªn xuèng d­íi:
BÊm lÇn l­ît c¸c phÝm: 
VÝ dô1: TÝnh gi¸ trÞ cña: 
	 Gi¶i: 
Qui tr×nh bÊm trªn m¸y fx-500MS 
*C¸ch 1: BÊm c¸c phÝm: 
*C¸ch 2: BÊm c¸c phÝm: 
VÝ dô 2: BiÕt trong ®ã a vµ b lµ c¸c sè d­¬ng. T×m a,b?
	Gi¶i:
Ta cã: . VËy a = 7, b = 2.
Bµi tËp vËn dông:
Bµi 1: TÝnh vµ viÕt kÕt qu¶ d­íi d¹ng ph©n sè:
Bµi 2: 
 T×m c¸c sè tù nhiªn a vµ b biÕt: 
Bµi 3: T×m gi¸ trÞ cña x, y cña c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a. 	b. 
Bµi 6: Cho 
H·y viÕt l¹i A d­íi d¹ng ?
4.D·y sè: 
1. LËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng D·y sè cho bëi c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t:
un = f(n), n Î N* 
d·y sè (un) cho bëi 
 trong ®ã f(n) lµ biÓu thøc cña n cho tr­íc.
C¸ch lËp quy tr×nh:
- Ghi gi¸ trÞ n = 1 vµo « nhí : 1 
- LËp c«ng thøc tÝnh f(A) vµ g¸n gi¸ trÞ « nhí 1
- LÆp dÊu b»ng: ... ...
Gi¶i thÝch: 
1 : ghi gi¸ trÞ n = 1 vµo « nhí 
 1 : tÝnh un = f(n) t¹i gi¸ trÞ (khi bÊm dÊu b»ng thø lÇn nhÊt) vµ thùc hiÖn g¸n gi¸ trÞ « nhí thªm 1 ®¬n vÞ:1 (khi bÊm dÊu b»ng lÇn thø hai).
* C«ng thøc ®­îc lÆp l¹i mçi khi Ên dÊu 
VÝ dô 1: TÝnh 10 sè h¹ng ®Çu cña d·y sè (un) cho bëi:
Gi¶i:
- Ta lËp quy tr×nh tÝnh un nh­ sau:
 1 
 1 5 1 5 2 1 5 2 1
- LÆp l¹i phÝm: ... ...
 kÕt qu¶: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, u9 = 34, u10 = 55.
2. LËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi d¹ng:
d·y sè (un) cho bëi 
 trong ®ã f(un) lµ biÓu thøc cña 
 un cho tr­íc.
C¸ch lËp quy tr×nh:
- NhËp gi¸ trÞ cña sè h¹ng u1: a 
- NhËp biÓu thøc cña un+1 = f(un) : ( trong biÓu thøc cña un+1 chç nµo cã un ta nhËp b»ng )
- LÆp dÊu b»ng: 
Gi¶i thÝch:
- Khi bÊm: a mµn h×nh hiÖn u1 = a vµ l­u kÕt qu¶ nµy 
- Khi nhËp biÓu thøc f(un) bëi phÝm , bÊm dÊu lÇn thø nhÊt m¸y sÏ thùc hiÖn tÝnh u2 = f(u1) vµ l¹i l­u kÕt qu¶ nµy.
- TiÕp tôc bÊm dÊu ta lÇn l­ît ®­îc c¸c sè h¹ng cña d·y sè u3, u4...
VÝ dô 1: T×m 20 sè h¹ng ®Çu cña d·y sè (un) cho bëi:
Gi¶i:
- LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh c¸c sè h¹ng cña d·y sè nh­ sau:
1 (u1)
 2 1 (u2)
 ... 
- Ta ®­îc c¸c gi¸ trÞ gÇn ®óng víi 9 ch÷ sè thËp ph©n sau dÊu ph¶y:
u1 = 1 u8 = 1,414215686
u2 = 1,5 u9 = 1,414213198
u3 = 1,4 u10 = 1,414213625
u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552
u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564
u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562
u7 = 1,414201183 u14 =...= u20 = 1,414213562
VÝ dô 2: Cho d·y sè ®­îc x¸c ®Þnh bëi:
T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt ®Ó un lµ sè nguyªn.
Gi¶i:
- LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh c¸c sè h¹ng cña d·y sè nh­ sau:
 3 (u1)
 3 (u2)
 (u4 = 3)
VËy n = 4 lµ sè tù nhiªn nhá nhÊt ®Ó u4 = 3 lµ sè nguyªn.
3. LËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi d¹ng:
 D·y sè (un) cho bëi 
C¸ch lËp quy tr×nh:
* C¸ch 1:
 BÊm phÝm: b A B a C 
 Vµ lÆp l¹i d·y phÝm:
 A B C 
 A B C 
Gi¶i thÝch: Sau khi thùc hiÖn
 b A B a C 
trong « nhí lµ u2 = b, m¸y tÝnh tæng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C vµ ®Èy vµo trong « nhí , trªn mµn h×nh lµ: u3 : = Au2 + Bu1 + C
Sau khi thùc hiÖn: A B C m¸y tÝnh tæng u4 := Au3 + Bu2 + C vµ ®­a vµo « nhí . Nh­ vËy khi ®ã ta cã u4 trªn mµn h×nh vµ trong « nhí (trong « nhí vÉn lµ u3).
Sau khi thùc hiÖn: A B C m¸y tÝnh tæng u5 := Au4 + Bu3 + C vµ ®­a vµo « nhí . Nh­ vËy khi ®ã ta cã u5 trªn mµn h×nh vµ trong « nhí (trong « nhí vÉn lµ u4).
TiÕp tôc vßng lÆp ta ®­îc d·y sè un+2 = Aun+1 + Bun + C
*NhËn xÐt: Trong c¸ch lËp quy tr×nh trªn, ta cã thÓ sö dông chøc n¨ng ®Ó lËp l¹i d·y lÆp bëi quy tr×nh sau (gi¶m ®­îc 10 lÇn bÊm phÝm mçi khi t×m mét sè h¹ng cña d·y sè), thùc hiÖn quy tr×nh sau:
BÊm phÝm: b A B a C 
 A B C 
 A B C 
LÆp dÊu b»ng: ... ...
* C¸ch 2: Sö dông c¸ch lËp c«ng thøc
BÊm phÝm: a b 
 A B C
LÆp dÊu b»ng: ... ...
VÝ dô : Cho d·y sè ®­îc x¸c ®Þnh bëi:
H·y lËp quy tr×nh tÝnh un.
Gi¶i:
- Thùc hiÖn quy tr×nh:
2 3 4 1 5 
 3 4 5 
 3 4 5 
 ... ...
ta ®­îc d·y: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671...
HoÆc cã thÓ thùc hiÖn quy tr×nh:
1 2 
 3 4 5
 ... ...
ta còng ®­îc kÕt qu¶ nh­ trªn.
4.D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi víi hÖ sè biÕn thiªn d¹ng:
 Trong ®ã lµ kÝ hiÖu cña biÓu thøc un+1 tÝnh theo un vµ n.
 D·y sè (un) cho bëi 
* ThuËt to¸n ®Ó lËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña d·y:
- Sö dông 3 « nhí: : chøa gi¸ trÞ cña n
 : chøa gi¸ trÞ cña un
 : chøa gi¸ trÞ cña un+1
- LËp c«ng thøc tÝnh un+1 thùc hiÖn g¸n = + 1 vµ := ®Ó tÝnh sè h¹ng tiÕp theo cña d·y
- LÆp phÝm : 
VÝ dô : Cho d·y sè ®­îc x¸c ®Þnh bëi:
H·y lËp quy tr×nh tÝnh un.
Gi¶i:
- Thùc hiÖn quy tr×nh:
 1 0 
 1 
 1 
 1 
 ... ... ta ®­îc d·y: 
5. LËp c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t:
Ph­¬ng ph¸p gi¶i:
- LËp quy tr×nh trªn MTCT ®Ó tÝnh mét sè sè h¹ng cña d·y sè
- T×m quy luËt cho d·y sè, dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t
- Chøng minh c«ng thøc t×m ®­îc b»ng quy n¹p
VÝ dô 1: T×m a2004 biÕt: 
Gi¶i:
- Tr­íc hÕt ta tÝnh mét sè sè h¹ng ®Çu cña d·y (an), quy tr×nh sau:
1 0 
 1 
 2 3 
 1 
1 
- Ta ®­îc d·y: 
- Tõ ®ã ph©n tÝch c¸c sè h¹ng ®Ó t×m quy luËt cho d·y trªn: 
a1 = 0
a2 = Þ dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t:
(1)
a3 = 
víi mäi n Î N* b»ng quy n¹p.
a4 = * DÔ dµng chøng minh c«ng thøc (1) ®óng
... 
 Þ 
VÝ dô 2: XÐt d·y sè: 
Chøng minh r»ng sè A = 4an.an+2 + 1 lµ sè chÝnh ph­¬ng.
Gi¶i:
- Ta co sè sè h¹ng ®Çu cña d·y (an) b»ng quy tr×nh:
- Ta ®­îc d·y: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,...
- T×m quy luËt cho d·y sè:
 Þ dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t:
(1)
®óng víi mäi n Î N*
 * Ta hoµn toµn chøng minh c«ng thøc (1) 
... 
Tõ ®ã: A = 4an.an+2 + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2.
Þ A lµ mét sè chÝnh ph­¬ng.
C¸ch gi¶i kh¸c: Tõ kÕt qu¶ t×m ®­îc mét sè sè h¹ng ®Çu cña d·y,ta thÊy:
- Víi n = 1 th× A = 4a1.a3 + 1 = 4.1.6 + 1 = 25 = (2a2 - 1)2
- Víi n = 2 th× A = 4a2.a4 + 1 = 4.3.10 + 1 = 121 = (2a3 - 1)2
- Víi n = 3 th× A = 4a3.a5 + 1 = 4.6.15 + 1 = 361 = (2a4 - 1)2
Tõ ®ã ta chøng minh A = 4an.an+2 + 1 = (2an+1 - 1)2 (*)
B»ng ph­¬ng ph¸p quy n¹p ta còng dÔ dµng chøng minh ®­îc (*).
Bµi tËp ¸p dông 
Bµi 1: Cho d·y sè (un), (n = 0, 1, 2,...): 
a) Chøng minh un nguyªn víi mäi n tù nhiªn.
b) T×m tÊt c¶ n nguyªn ®Ó un chia hÕt cho 3.
Bµi 2: Cho d·y sè (an) ®­îc x¸c ®Þnh bëi:
a) X¸c ®Þnh c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t an.
b) Chøng minh r»ng sè: biÓu diÔn ®­îc d­íi d¹ng tæng b×nh ph­¬ng cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp víi mäi n ³ 1.
Bµi 3: Cho d·y sè (un) x¸c ®Þnh bëi:
T×m tÊt c¶ sè tù nhiªn n sao cho un lµ sè nguyªn tè.
Bµi 4: Cho d·y sè (an) x¸c ®Þnh bëi:
Chøng minh r»ng:
a) D·y sè trªn cã v« sè sè d­¬ng, sè ©m.
b) a2002 chia hÕt cho 11.
Bµi 5: Cho d·y sè (an) x¸c ®Þnh bëi:
Chøng minh an nguyªn víi mäi n tù nhiªn.
Bµi 6: D·y sè (an) ®­îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc:
; (kÝ hiÖu lµ phÇn nguyªn cña sè).
Chøng minh r»ng d·y (an) lµ d·y c¸c sè nguyªn lÎ.
5.H×nh Häc: 
1/. Gi¶i tam gi¸c:
* Mét sè c«ng thøc:	1/. C¸c hÖ thøc trong tam gi¸c vu«ng:
	2/. TØ sè l­îng gi¸c cña gãc nhän:
	3/ C¸c c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c: 
	* C¸c d¹ng to¸n:
VÝ dô 1: TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC, biÕt:
AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415
HD: Ta cã : S = 
Tõ ®ã ta cã: ; ; 
Bµi 2: TÝnh c¹nh BC, gãc B , gãc C cña tam gi¸c ABC, biÕt: 
AB = 11,52 ; AC = 19,67 vµ gãc 54o35’12’’
§¸p sè: BC = ; ; 
Bµi 3: TÝnh c¹nh AB, AC, gãc C cña tam gi¸c ABC, biÕt: 
BC = 4,38 ; 54o35’12’’ ; 101o15’7’’
§¸p sè: AB= ; AC = ; 
Bµi 4: Tam gi¸c ABC cã ba c¹nh: AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415
§iÓm M n»m trªn c¹nh BC sao cho: BM = 2,142
1) TÝnh ®é dµi AM?
2) TÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABM
3) TÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ACM.
§¸p sè: 1) AM = 2) R = 3) r =
Bµi 5: Tam gi¸c ABC cã: 49o27’ ; 73o52’ vµ c¹nh BC = 18,53.
TÝnh diÖn tÝch S cña tam gi¸c ?
§¸p sè: S = 
Bµi 6: Tam gi¸c ABC cã chu vi 58 (cm) ; 57o18’ vµ 82o35’
TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh AB, BC, CA ?
§¸p sè: AB = ; BC = ; CA =
Bµi 7: Tam gi¸c ABC cã 90o < < 180o vµ sinA = 0,6153 ; AB = 17,2 ; AC = 14,6.
TÝnh: 1) §é dµi c¹nh BC ? Trung tuyÕn AM ?
 2) Gãc ?
 3) DiÖn tÝch tam gi¸c S = ?
§¸p sè: BC = ; AM = ; ; S =
Bµi 8: Tam gi¸c ABC cã 90o ; AB = 7 (cm) ; AC = 5 (cm).
TÝnh ®é dµi ®­êng ph©n gi¸c trong AD vµ ph©n gi¸c ngoµi AE ?
§¸p sè: AD = ; AE =
R
O
a
A
a
2. §a gi¸c, h×nh trßn:
 1/. §a gi¸c ®Òu n c¹nh, ®é dµi c¹nh lµ a:
+ Gãc ë t©m: (rad), hoÆc: (®é)
+ Gãc ë ®Ønh: (rad), hoÆc (®é)
+ DiÖn tÝch: 
 .
O
 2/. H×nh trßn vµ c¸c phÇn h×nh trßn:
+ H×nh trßn b¸n kÝnh R:
- Chu vi: C = 2pR
- DiÖn tÝch: S = pR2
r
R
 .
O
+ H×nh vµnh kh¨n:
d
- DiÖn tÝch: S = p(R2 - r2) = p(2r + d)d
+ H×nh qu¹t:
- §é dµi cung: l = aR ; (a: rad)
R
 .
O
- DiÖn tÝch: (a: rad)
 (a: ®é)
Bµi 9: Ba ®­êng trßn cã cïng b¸n kÝnh 3 cm ®«i mét tiªp xóc ngoµi (H×nh vÏ)
TÝnh diÖn tÝch phÇn xen gi÷a ba ®­êng trßn ®ã ?
H.DÉn: 
 O1
 O2
S D
 C
 B
 A
Bµi 10: Cho h×nh vu«ng ABCD, c¹nh a = 5,35. Dùng c¸c ®­êng trßn t©m A, B, C, D cã b¸n kÝnh R = . TÝnh diÖn tÝch xen gi÷a 4 ®­êng trßn ®ã.
H.DÉn: Sg¹ch = SABCD - 4Squ¹t
 Squ¹t = SH.trßn = pR2
 Þ Sg¹ch = a2 - 4. pR2 = a2 - pa2 
 = a2(1 - p) 6,142441068
Bµi 11: Cho ®­êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R = 3,15 cm. Tõ mét ®iÓm A ë ngoµi ®­êng trßn vÏ hai tiÕp tuyÕn AB vµ AC (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm thuéc (O) ). TÝnh diÖn tÝch phÇn giíi h¹n bëi hai tiÕp tuyÕn vµ cung trßn nhá BC. BiÕt OA = a = 7,85 cm.
H.DÉn:
 B
- TÝnh a: 
 A
 a
Þ 
 O
 C
SOBAC = 2SOBA = aRsina
Squ¹t = 
Sg¹ch = SOBAC - Squ¹t = aRsina - 11,16 (cm2)
Bµi 12: TÝnh diÖn tÝch phÇn ®­îc t« ®Ëm trong h×nh trßn ®¬n vÞ (R = 1) (Xem h×nh 1)
§¸p sè: 
Bµi 13: TÝnh tû lÖ diÖn tÝch cña phÇn ®­îc t« ®Ëm vµ diÖn tÝch phÇn cßn l¹i trong h×nh trßn ®¬n vÞ (Xem h×nh 2)
§¸p sè:
H×nh 1
H×nh 2
Khái niệm số chính phương
 Số chính phương hay còn gọi là số hình vuông là số nguyên có căn bậc 2 là một số nguyên, hay nói cách khác, số chính phương là bình phương (lũy thừa bậc 2) của một số nguyên khác.
Ví dụ: 4 = 2² 
 9 = 3²
 1.000.000 = 1.000²
Số chính phương hiển thị diện tích của một hình vuông có chiều dài cạnh bằng số nguyên kia.
Số chính phương chẵn và lẻ
Một số chính phương được gọi là số chính phương chẵn nếu nó là bình phương của một số chẵn, là số chính phương lẻ nếu nó là bình phương của một số lẻ. (Nói một cách khác, bình phương của một số chẵn là một số chẵn, bình phương của một số lẻ là một số lẻ)
Đặc điểm
Số chính phương không bao giờ tận cùng là 2, 3, 7, 8. Khi phân tích 1 số chính phương ra thừa số nguyên tố ta được các thừa số là lũy thừa của số nguyên tố với số mũ chẵn. Số chính phương chia cho 4 hoặc 3 không bao giờ có số dư là 2;số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1. Điều này được sử dụng nhiều trong việc giải các bài tập. Ngoài ra, công thức để tính hiệu của hai số chính phương: a^2-b^2=(a+b)x(a-b). Số ước của số chính phương là một số lẻ. Số chính phương chia hết cho p thì chia hết cho p^2(p là số nguyên tố)