Giáo án tự chọn môn Toán Lớp 8 - Chủ đề III: Phương pháp diện tích trong chứng minh hình học

 CHỦ ĐỀ III
d & c
PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC
I / MỤC TIÊU CHỦ ĐỀ:
X Kiến thức:
- Ôn lại cho HS các công thức diện tích đã học, vận dụng vào tính toán.
 X Rèn kỹ năng:
- Có kĩ năng vận dụng các công thức về diện tích để giải các bài toán chứng minh hình học. Chứng minh các đẳng thức , bất đẳng thức về quan hệ độ dài , Tập dượt cách vẽ các hình phụ để xuất hiện các yếu tố về diện tích.
 X Giáo dục: Giáo dục HS ý thức trong việc học lý thiết để vận dụng vào bài tập. Đồng thời giáo dục tính chính xác, cẩn thận.
II/ TÀI LIỆU THAM KHẢO:
- SGK Toán 8
 - SGV Toán 8
- Sách bài tập
 - Chủ đề tự chọn Toán học lớp 8
 - Bài tập nâng cao và một số chủ đề Toán 8.
III / THỜI LƯỢNG:
TIẾT
TÊN BÀI
1 + 2
3 + 4
5 + 6
7 + 8
Một số tính chất cơ bản của diện tích
Một số công thức tính diện tích cơ bản
Một số công thức tính diện tích cơ bản (tt)
Một số tính chất suy ra từ diện tích
™˜ & ™˜
Ngày dạy: 
TIẾT:59 + 60
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA DIỆN TÍCH
I / KIẾN THỨC CƠ BẢN:
- Mỗi đa giác có một diện tích xác định và luôn luôn dương.
- Hai đa giác bằng nhau thì diện tích bằng nhau.
- Nếu một đa giác được phân thành một số hữu hạn đa giác thành phần rời nhau thì diện tích đa giác ban đầu bằng tổng diện tích các đa giác thành phần.
II / BÀI TẬP MẪU:
Cho hình bình hành ABCD, phân giác và cắt đường chéo BD tai E và F. Chứng minh rằng hai đa giác ABCFE và ADCFE có diện tích bằng nhau.
6SABCFE = ? (= SABE + SBCF)
6SACDFE = ? (= SCDF + SDAE)
6rABE ? rCDF (bằng nhau)
6Hãy chứng minh điều đó ? (HS tự chứng minh)
6Tương tự chứng minh rBFC = rDEA ?
6Kết hợp (1), (2) và (3) suy ra điều gì ?
Hình bình hành ABCD có:
AE, CF là hai phân giác
AE BD = 
CF BD = 
SABCFE = SADCFE
Chứng minh:
Ta có : SABCFE = SABE + SBCF
 	 (1)
 SACDFE = SCDF + SDAE
Xét rABE và rCDF :
AB = DC (cạnh của hbh)
 (so le trong) rABE = rCDF 
 (=) (g.c.g) (2)
 Chứng minh tương tự: 
 rBFC = rDEA (g.c.g) (3)
 Từ (1), (2) và (3) suy ra: SABCFE = SADCFE (đpcm)
III / BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1:
Một đám đất có diện tích 2,7.106 m2 Tính diện tích đó nếu chọn đơn vị đo là:
a/ km2 b/ hecta.
61 km = ? m
61 km2 = ? m2
61 ha = ? m2
6 106 = ? (= 1000000)
Giải
Ta có: 
1 km = 1000m
 1 km2 = 1000000 m2 = 106 m2
 1 ha = 10000 m2
 a/ Vậy: 2,7.106 m2 = 2,7 km2
 b/ 2,7.106 m2 = 2,7. 1000000 m2 = 270 ha
Bài 2:
Cắt từ một tấm bìa hai tam giác vuông bằng nhau. Hãy ghép hai tam giác đó để tạo thành :
a/ Một tam giác cân
b/ Một hìønh chữ nhật.
c/ Một hình bình hành khác với hình chữ nhật.
6Vì sao diện tích của các hình này bằng nhau ?
Các hình này bằng nhau vì chúng có cùng diện tích của hai tam giác vuông.
Bài 3:
Cho hình chữ nhật ABCD, các đường chéo AC, BD cắt nhau ở O. Chứng minh rằng bốn tam giác : OAB, OBC, OCD, ODA có cùng diện tích .
6Trong hình chữ nhật ABCD, các đường MN, HK gọi là gì ? (trục đối xứng)
6Có nhận xét gì về các tam giác rNOC, rNDO, rHDO, rHAO, rMAO, rMBO, rKBO, rKCO ?
(bằng nhau)
6Theo trường hợp nào ? (c.g.c)
GT
Hình chữ nhật ABCD có:
AC BD = 
KL
SOAB = SOBC = SOCD = SODA
Chứng minh:
Qua O kẻ các đường vuông góc với AB,DC, AD, BC lần lượt cắt các cạnh ấy tại M, N, H, K.
Ta có: MN, HK là hai trục đối xứng của hình chữ nhật . Nên các tam giác:
 rNOC = rNDO = rHDO = rHAO = rMAO = 
= rMBO = rKBO = rKCO ( c.g.c)
 Vậy: SOAB = SOBC = SOCD =SODA (= 2SNOC)
Tính các cạnh của một hình chữ nhật, biết tỉ số các cạnh là và diện tích của nó là 144 cm2 .
Bài 4:
6 Gọi a, b là các kích thước của hình chữ nhật thì diện tích hình chữ nhật được tính như thế nào ? (S = a.b)
6Theo đề bài ta có ()
6Suy ra a = ? ()
6S = a.b = ? (= 144)
6Thay (1) vào (2) để tìm b ?
6Hãy tìm a ?
Giải
Ta có: Diện tích hình chữ nhật là: S = a.b
Gọi a, b là các kích thước của hình chữ nhật a, b > 0
Theo đề bài ta có: a = (1)
 Vàø S = a.b = 144 (2)
 Thay (1) vào (2) ta được:
 b2 = 144 : 
 b = 18 (cm)
Do đó: a = (cm)
 Vậy các kích thước của hình chữ nhật là: 8cm và 18cm.
IV / CỦNG CỐ:
 - Nhắc lại các kiến thức cơ bản như phần I
V / HƯỚNG DẪN HS TỰ HỌC Ở NHÀ:
- Xem và làm lại các BT đã giải
- Ôn lại các công thức tính diện tích tam giác , hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi.
 * RÚT KINH NGHIỆM:	
Ngày dạy: 
TIẾ : 61 + 62
MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH CƠ BẢN
I / KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1 / Diện tích hình thang:
2/ Diện tích hình bình hành:
S = a.h
3/ Diện tích hình chữ nhật:
S = a.b
4/ Diện tích hình vuông:
S = a2
5/ Diện tích hình tam giác:
6/ Diện tích hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
7 / Diện tích hình thoi:
II / BÀI TẬP MẪU:
* Bài 1:
Chứng minh rằng trung tuyến của một tam giác chia tam giác đó thành hai hình có diện tích bằng nhau.
6Hãy vẽ hình và ghi GT – KL ?
- GV: Gợi ý HS phân tích sơ đồ chứng minh.
SABM = SMAC
SABM = BM = MC SAMC = 
 (AM : trung tuyến)
GT
rABC có:
AM: trung tuyến
KL
SABM = SMAC
Chứng minh:
Kẻ AH BC
Ta có: SABM = (1)
 SAMC = (2)
Mà: BM = MC (vì AM là trung tuyến) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
SABM = SMAC 
* Bài 2:
Cho tam giác ABC (không có góc tù) với ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: 
- GV: Gọi diện tích tam giác ABC là S.
6Có nhận xét gì về các cạnh của hai tam giác HBC và ABC ? (Chung cạnh đáy BC)
6Tỉ số hai đường cao như thế nào với tỉ số hai diện tích ? (bằng nhau)
6Vậy ta có được tỉ lệ thức nào ? 
- GV: Tương tự đới với tỉ số đường cao và diện tích của hai tam giác HAC và HAB.
GT
rABC có:
H: trực tâm ;
AA’BC ; BB’AC CC’AB
KL
Chứng minh:
Gọi diện tích của rABC là S. 
Các tam giác HBC và ABC có chung đáy BC
Nên tỉ số hai đường cao bằng tỉ số hai diện tích :
Tương tự ta có: 
Do đó: 
III / BÀI TẬP ÁP DỤNG:
* Bài 1:
Hai đường chéo của một hình thang vuông góc với nhau và có độ dài bằng 5,6dm và 6dm. Tính diện tích hình thang.
GT
ABCD là hình thang có: ACBD
AC = 3,6dm ; BD = 6dm
KL
SABCD = ?
Giải:
Xét hình thang ABCD (AB // CD) có:
ACBD ; AC = 3,6dm ; BD = 6dm
Ta có: SABCD = SABC + SADC
 Cho tam giác ABC vuông góc tại A, đường cao AH.
 Chứng minh rằng: AH.BC = AB.AC.
Bài 2:
Hai đường chéo của một hình thang vuông góc với nhau và có độ dài bằng 5,6dm và 6dm. Tính diện tích hình thang.
GT
rABC có: 
AHBC
KL
AH.BC = AB.AC.
Chứng minh:
Ta có: SABC = 
SABC = 
 = 
Hay: AH.BC = AB.AC.
Bài 3:
Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. 
Chứng minh rằng: 
GT
rABC có: 
AD: phân giác 
KL
Chứng minh:
Kẻ DK AB ; DH AC
Ta có: SABD = 
 SADC = 
Suy ra:
Bài 4:
Cho hình bình hành ABCD có diện tích 30 cm2 . M là điểm nằm trong hình bình hành.Tính tổng diện tích của tam giác MABvà MCD.
Cho hình bình hành ABCD có diện tích 30 cm2 . M là điểm nằm trong hình bình hành.Tính tổng diện tích của tam giác MABvà MCD.
GT
ABCD là hình bình hành có: 
SABCD = 30 cm2
M nằm trong
KL
SAMB + SDMC = ?
Chứng minh:
Kẻ MH AB; MK DC
Ta có: SAMB = 
SMDC = 
Mà AB = DC (Vì ABCD là hình bình hành)
 SAMB + SMDC = + 
Cho tứ giác ABCD có diện tích là S. Điểm M là trung diểm của AC. Chứng minh : SABMD = .
Bài 5:
GT
Tứ giác ABCD có: 
Diện tích S
AM = MC
KL
SABMD = 
Chứng minh:
Vì AM = MC BM là trung tuyến của rABC
Nên: SABM = SABC
Tương tự DM là trung tuyến của rADC
Nên: SADM = SADC
 SABM + SADM = 
Hay: SABMD = 
IV / CỦNG CỐ:
 - Nhắc lại các công thức cơ bản như phần I
V / HƯỚNG DẪN HS TỰ HỌC Ở NHÀ:
- Xem và làm lại các BT đã giải
- Ôn lại các công thức tính diện tích tam giác.
- Tiết sau tìm hiểu tiếp nội dung “một số công thức khác để tính diện tích về tam giác” .
 * RÚT KINH NGHIỆM:	
Ngày dạy:
TIẾT : 
MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH CƠ BẢN (TT)
I / KIẾN THỨC CƠ BẢN:
 v CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH KHÁC VỀ TAM GIÁC
Ø Công thức 1:
S = p.r
 Trong đó: + r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
 + p là nữa chu vi.
Ø Công thức 2:
S = 
Trong đó: a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.
II / BÀI TẬP MẪU:
Cho tam giác đều ABC. Từ một điểm O ở trong tam giác ta vẽ OH AB ; 
OI BC ; OK CA. 
Chứng minh rằng: Khi O di động trong tam giác thì tổng OH + OI + OK không đổi.
GT
rABC có :
AB = BC = CA
OH AB; OI BC
OK CA.
KL
Khi O di động trong tam giác thì tổng OH + OI + OK không đổi.
Chứng minh:
Gọi độ dài mỗi cạnh của tam giác là a, chiều cao là h.
Ta có: SOAB + SOBC + SOCA = SABC
Hay: OH.a + OI.a + OK.a = a.h
 a.(OH + OI + OK) = a.h
Suy ra: OH + OI + OK = h (không đổi)
Vậy: Khi O di động trong tam giác thì tổng OH + OI + OK không đổi.
III / BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập 1:
Cho tam giác ABC cân tại A, điểm M thuộc đáy BC. Gọi BD là đường cao của tam giác ABC. H, K là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Dùng công thức tính diện tích để chứng minh MH + MK = BD
GT
rABC có :
AB = BC , M BC
MH AB; MK AC
BD AC.
KL
MH + MK = BD
Chứng minh:
Đặt AB = AC = a
Ta có: SAMB + SAMC = SABC
Hay: a.MH + a. MK = a.BD
Suy ra: a.(MH + MK) = a. BD
 MH + MK = BD
Bài 2:
Cho tam giác ABC = 60cm, chiều cao tương ứng là 40cm. Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Tính diện tích tứ giác BDEC.
GT
rABC có :
BC = 60cm; AH = 40cm
AH BC; DB = DB
EA = EC
KL
SBDEC = ?
Giải
Vì AD = BD (gt)
 AE là đường trung bình 
 AE = EC (gt)	 rABC
Nên DE // BC
Do đó:Tứ giác BDEC là hình thang.
 DE = BC = .60 = 30 (cm)
Xét rADH có:
 AD = BD (gt)
 AI = IH 
 DI // BC (Vì I DE )
 AI = IH = HA = .40 = 20 (cm)
Vậy : 
Bài 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Phân giác AD vẽ DH AB. Dặt DH = d, AB = c, AC = . Chứng minh rằng 
GT
rABC có :
BD là tia phân giác
DH AB; DH = d
AB = c; AC = b
KL
Chứng minh
Vẽ DK AC
Ta có tứ giác AHDK là hình vuông vì có 3 góc vuông và có 1 đường chéo là phân giác của góc A.
Nên: DH = DK = d
Ta có: SABD + SADC = SABC
Hay: dc + db = bc
Suy ra: dc + db = bc
Chia cả 2 vế với bcd ta được:
Hay: (đpcm)
Bài 4:
Cho tam giác ABC và ba điểm A’, B’, C’ lần lược nằm trên ba cạnh BC, CA, AB sao cho AA’, BB’, CC’ đồng quy (A’, B’, C’ không trùng với các đỉnh của tam giác.)
Chứng minh rằng: 
GT
rABC có :
A’ BC, B’ AC, C’ AB
AA’ BB’ CC’= 
KL
Chứng minh
Kẻ BHAA’ ; CKAA’
rAA’B và rAA’C có cùng chiều cao hạ từ A và có hai đáy tương ứng là BA’ và AC’
Nên: (1)
Tương tự: AA’B và AA’C có chung cạnh AA’ và có chiều cao tương ứng là BH và CK
Nên (2)
AOB và AOC có chung cạnh AO và các chiều cao tương ứng là BH và CK 
Nên: (3)
Từ (1) , (2) và (3) suy ra: (4)
 Chứng minh tương tự ta có:
 (5)
 (6)
Nhân từng vế các đẳng thức (4) , (5), (6) ta được:
IV / CỦNG CỐ:
 - Nhắc lại các công thức cơ bản như phần I
V / HƯỚNG DẪN HS TỰ HỌC Ở NHÀ:
- Xem và làm lại các BT đã giải
- Ôn lại các công thức tính diện tích tam giác.
- Tiết sau tìm hiểu tiếp nội dung “một số tính chất suy ra tư ødiện tích” .
 * RÚT KINH NGHIỆM:	
Ngày dạy:
TIẾT
MỘT SỐ TÍNH CHẤT SUY RA TỪ DIỆN TÍCH
I / KIẾN THỨC CƠ BẢN:
- Tỉ số diện tích hai tam giác cùng đáybằng tỉ số hai đường cao tương ứng đáy đó.
- Tỉ số diện tích của hai tam giác có cùng đường cao bằn tỉ số hai đáy tương ứng hai đường cao ấy.
- SACD = SBCD AB // CD.
II / BÀI TẬP MẪU
Dựng hai đường chéo của tứ giác lồi ABCD cắt nhau tại O. 
Biết SAOB = SBOC = SCOD = SDOA .
Chứng minh rằng: ABCD là hình bình hành
GT
Tứ giác ABCD có:
AC BD = 
SAOB = SBOC = SCOD = SDOA
KL
ABCD là hình bình hành
Chứng minh:
* Cách 1:
Ta có: SADC = SAOD + SDOC
SBCD = SBOC + SDOC
Mà SAOD = SDOC + SBOC (gt)
Suy ra: SADC = SBCD
Do đó: AB // CD (tính chất 3) (1)
Tương tự: SABD = SDCB => AO // BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
ABCD là hình bình hành.
* Cách 2:
Kẻ AH BD
Ta có: SAOD = AH .OD
SAOB = AH.OB
Mà : SAOD = SAOB (gt)
Suy ra: OB = OD (1)
Tương tự: SBOA = SBOC 
Nên: OA = OC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giác ABCD là hình bình hành.
III / BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1:
Cho hình bình hành ABCD. Trên AB lấy điểm M, Trên AD lấy điểm N. Gọi O là giao điểm của BN với DM. Biết OC là tia phân giác của góc BOD.
Chứng minh rằng: BN = DM