Giáo án tự chọn môn Toán Lớp 8 - Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng

*Chủ đề 5: 	CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
I. Mục tiêu.
	Sau khi học xong chủ đề này, học sunh có khả năng:
Nắm vững khái niệm hai tam giác đồng dạng; các trường hợp đồng dạng của hai tam giác, các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông.
Biết sử dụng các dấu hiệu đồng dạng để giải các bài toán hình học: Tìm độ dài các đoạn thẳng, chứng minh, xác lập các hệ thức toán học thông dụng.
Rèn kỹ năng vẽ hình và trình bày bài toán chứng minh.
II. Thời lượng: 4 tiết
III. Tiến trình dạy học
Tiết 27
? Câu hỏi 1: Thế nào là hai tam giác đồng dạng?
TL: 
A’B’C’ ~ ABC 	(k: tỉ số đồng dạng)
? Câu hỏi 2: Nêu các tính chất của hai tam giác đồng dạng?
TL:
 + = k(h’, h: tương ứng là đường cao của A’B’C’ vàABC)
+ (p’, p: tương ứng là nửa chu vi củaA’B’C’ vàABC)
+ (S’, S: diện tích củaA’B’C’ vàABC )
? Câu hỏi 3: Nêu các trường hợp đồng dạng của hai tam giác?
TL: Xét hai tam giác A’B’C’ vàABC, có các trường hợp đồng dạng sau:
1) (c.c.c)
2) (c.g.c)
3) (g.g)
? Câu hỏi 4: Nêu các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông?
TL: Xét hai tam giác vuông A’B’C’ vàABC(= 90o), có các trường hợp đồng dạng sau:
1) 
2) 
3) 
? Câu hỏi 5: Để chứng minh hai tam giác đồng dạng với nhau ta làm thế nào?
TL: Để chứng minh hai tam giác đồng dạng với nhau ta dựa vào các dấu hiệu nhận biết hai tam giác đồng dạng(các trường hợp đồng dạng của hai tam giác).
¢ Bài toán 1: Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác đó. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC.
a) Chứng minh tam giác PQR đồng dạng với tam giác ABC.
b) Tính chu vi của tam giác PQR, biết rằng tam giác ABC có chu vi p bằng 543cm.
HS vẽ hình; ghi GT, KL. GV gợi ý:
Dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác.
Dựa vào tính chất của hai tam giác đồng dạng
Giải
	, O nằm bên trong 
GT	PA = PO, QO = QB, RO = RC
KL	a) PQR~ABC
	b) Tính PPQR, biết PABC = 543cm.
Ta có: PA = PO => PQ là đường trung bình của AOB
QB = QO
=> PQ = AB(t/c đường tb của tam giác)
Hay (1)
Tương tự: 
PR là đường trung bình của AOC
=> PR = AC hay (2)
QR là đường trung bình của OBC
=> QR = BC hay (3)
Từ (1),(2) và (3) => 
Do đó, PQR~ABC(c.c.c)
Gọi p’ là chu vi của PQR. Ta có:
Tiết 28
¢ Bài toán 2: Cho tam giác ABC có góc nhọn B gấp đôi góc nhọn C. Kéo dài AB về phía B một đoạn BE = BH, với H là chân đường cao hạ từ A, HE cắt AC tại D.
a) Chứng minh DA = DH = DC.
b) Chứng minh tam giác ADE và ABC đồng dạng.
- Học sinh đọc đề, vẽ hình.
- GV gợi ý HS chứng minh.
C/m DA = DH = DC.
Ta có: (gt)(1)
Lại có, tam giác BEH cân tại B(vì BE = BH(gt))
=> (t/c tam giác cân)(2)
Có: (đđ)(3)
Theo t/c góc ngoài của tam giác, ta có:
	(4)
Từ (1), (2), (3) và (4) => 
=> DHC cân tại D => HD = HC
Mà DHC vuông nên => DH = DC = HC
C/m: Tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC.
Xét ADE và ABC, có:
Â: góc chung
(cmt)
Do đó ADE ~ ABC(g.g)
¢ Bài toán 3: 
Tứ giác ABCD có hai góc vuông tại đỉnh A và đỉnh C, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, góc BAO bằng góc BDC(hình vẽ). Chứng minh rằng:
a) Tam giác ABO đồng dạng với tam giác DCO.
b) Tam giác BCO đồng dạng với tam giác ADO.
HS ghi đề và vẽ lại hình.
GV yêu cầu HS thực hiện trong ít phút, sau đó gọi lần lược 2 HS lên bảng trình bày.
GV cùng HS khác nhận xét, GV chốt lại kq và phương pháp giải.
Giải
Xét ABO và DCO, có:
(gt)
AÔB = DÔC(đđ)
Do đó, ABO ~ DCO(g.g)
Trong tam giác ABD, có: BÂO + OÂD = (= 90o)
Trong tam giác BCD, có: 
Mà (gt) => 
Xét BCO và ADO, có: 
(cmt)
BÔC = AÔD
Do đó, BCO ~ ADO
¢ Bài toán 4: Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, . Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Chứng minh rằng:
a) Tam giác AOB đồng dạng với tam giác DOC.
b) Tam giác AOD đồng dạng với tam giác BOC.
c) EA.ED = EB.EC
- HS đọc đề vẽ hình, ghi GT, KL. 1 HS lên bảng thực hiện
- GV yêu cầu HS nêu cách chứng minh.
- GV nêu khái quát lại cách chưúng minh
- Gọi HS lần lược lên bảng, HS khác làm vào vở.
Giải
Tam giác AOB đồng dạng với tam giác DOC.
Xét AOB và DOC, có:
 (gt)
 AÔB = DÔC (đđ)
Do đó, AOB ~ DOC(g.g)
Tam giác AOD đồng dạng với tam giác BOC
Do AOB ~ DOC(cmt)
=> 
Lại có: AÔD = BÔC(đđ)
Do đó, AOD ~ BOC(c.g.c)
C/m: EA.ED = EB.EC
Ta có: AOD ~ BOC(cmt)
=> (hai góc tướng ứng)
Ê: góc chung
=> EAC ~ EBD(g.g)
=> hay EA.ED = EB.EC
Tiết 29
¢ Bài toán 5: Cho tam giác ABC, trên tia phân giác của góc A lấy điểm M sao cho: AM2 = AB.AC. Chứng minh rằng: .
GV hướng dẫn HS vẽ hình.
GV: Để c/m , ta làm thế nào?
GV: dựa và gt và hình vẽ, hãy c/m tam giác AMC đồng dạng với tam giác ABM.
Giải
Ta có: AM2 = AB.AC(gt)
=> 
Lại có: BÂM = CÂM(t/c tia phân giác của một góc)
Do đó, suy ra: AMC ~ ABM(c.g.c)
=> (hai góc tương ứng).
¢ Bài toán 6: 
Cho tam giác ABC (Â = 90o) có đường cao AH. Chứng minh AH2 = BH.CH
- HS vẽ hình 
- GV HD cách c/m
- GV yêu cầu 1 Hs lên bảng trình bày
- HS còn lại cùng thực hiện vào vở
- GV cùng HS nhận xét, GV chốt lại phương pháp giải.
Giải
Ta có: 
	=> 
Xét hai tam giác: AHB và CHA, có: 
(cmt)
Do đó, AHB ~ CHA (g.g)
=> hay AH2 = BH.CH
¢ Bài toán 7: 
Cho tam giác ABC có hai đường cao AD và BE (D thuộc BC, E thuộc AC,). Chứng minh hai tam giác DEC đồng dạng với tam giác ABC.
HS đọc đề và vẽ hình vào vở.
GV yêu cầu 1 HS nêu cách chứng minh hai tam giác trên đồng dạng.
GV HD chung cho toàn lớp sau đó gọi 1 HS lên bảng trình bày.
Giải
Xét hai tam giác vuông: ADC và BEC, có:
 : góc nhọn chung
Do đó, ADC ~ BEC (g. g)
=> 
Tam giác ABC và tam giác DEC có:
C: góc chung
(cmt)
=> ABC ~ DEC (c.g.c)
Tiết 30
¢ Bài toán 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 3cm, 
AC = 4 cm.
a) Chứng minh tam giác BAC đồng dạng với tam giác BHA.
b) Chứng minh BA2 = BH.BC.
c) Tính tỉ số .
HS ghi đề bài, vẽ hình, ghi GT, KL.
GV yêu cầu HS nêu cách chứng minh, GV nhắc lại pp chứng minh
Gọi lần lược HS1 lên bảng vẽ hình ghi GT, KL và làm câu a,b; HS 2 lên bảng làm câu c
HS còn lại cùng thực hiện vào vở; Gv nhận xét và chốt lại phương pháp giải
Giải	
Xét , có:
= = 90o (gt)
: góc chung
Do đó, (g.g)
Do => BA.BA = BC.AH hay BA2 = BC.AH
Do => 
Mà nên 
¢ Bài toán 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 12, AC = 16. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D.
a) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD
b) Tính độ dài cạnh BC của tam giác.
c) Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD.
- GV yêu cầu HS vẽ hình, ghi GT, KL của bài toán.
* GV gợi ý: - Kẻ thêm đường cao AH của tam giác ABC.
- Diện tích của tam giác ABD, ACD được tính như thế nào? Hãy lập tỉ số diện tích của hai tam giác trên.
- AD là đường phân giác của góc A thì ta có hệ thức nào?
=> kq câu a -> HS1 lên bảng trình bày câu a
- GV: nêu cách tính BC? HS 2 lên bảng trình bày câu b 
- GV HD HS làm c)
Giải
Ta có: 
Mà AD là đường phân giác của  nên 
=> =(t/c đường phân giác của tam giác)
Do đó, suy ra: 
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ABC, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 122 + 162 = 144 + 256 = 400 => BC = = 20 (cm)
	c) Ta có =(t/c đường phân giác của tam giác)
	=> hay 
	=> BD = 
	DC = BC - BD = 20 - =