Giáo án tự chọn môn Toán Lớp 8 - Chủ đề 2: Nhận dạng tứ giác

Chủ đề 2
 NHẬN DẠNG TỨ GIÁC
MỤC TIÊU:
Sau khi học xong chủ đề này học sinh có khả năng:
Hiểu được tứ giác như thế nào là hình thang, hình thang cân, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
Nắm đựơc tính chất và dấu hiệu nhận biết của mỗi laọi tứ giác trên.
Có kĩ năng vẽ hình, vận dụng địng nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết để chứng minh bài toán.
Rèn luyện cho học sinh những thao tác tư duy như quan sát và dự đoán khi giải toán.
THỜI LƯỢNG: 4 tiết
THỰC HIỆN:
Câu hỏi 1: Thế nào là hình thang? Để chúng minh tứ giác là hình thang ta làm thế nào?
TL: - Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
	 - Để chứng minh tứ giác là hình thang ta cần chứng minh tứ giác có hai cạnh đối song song.
Bài toán 1:
Cho tứ giác ABCD có AB = BC và AC là tia phân giác của góc A (hình vẽ). Chứng minh ABCD là hình thang.
C/m: Ta có AB = BC(gt) => ABC cân tại đỉnh B
	=> = 
ø AC là tia phân giác của  nên = 
	Suy ra: = 
Mà và là hai góc ở vị trí so le trong nên AD//BC
Do đó tứ giác ABCD là hình thang.
Câu hỏi 2: Thế noà là hình thang cân? Hãy nêu các tính chát của hình thang cân? 
TL: - Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau. 
- Tính chất: Trong hình thang cân:
+ Hai cạnh bên bằng nhau(AD = BC)
+ Hai đường chéo bằng nhau(AC = BD)
Câu hỏi 3	Để chứng minh một tứ giác là hình thang cân ta làm thế nào?
TL: Ta cần chứng minh tứ giác đó là hình thang có:
+ Hoặïc hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau;
+ Hoặc hai đường chéo bằng nhau.
Bài toán 2: Cho Tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lấy theo thứ tự các điểm D và E sao cho AD = AE. Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.
C/m: Ta có AD = AE(gt)=> ADE cân tai A
	Suy ra: = 	(1)
	ABC cân tại A(gt) => = 	(2)
	Từ (1) và (2) suy ra: = , mà và ở vị trí đồng vị
	Nên DE//BC => Tứ giác BDEC là hình thang
Lại có: (vì tam giác ABC cân tại A)
	Do đó, BDEC là hình thanh cân.
Bài toán 3: Hình thang ABCD(AB//CD) có góc ACD = góc BDC. Chứng minh ABCD là hình thang cân.
C/m: 
Ta có = (gt) nên DEC cân tại E
	=> EC = ED (1) 
 Do AB//CD(gt) nên 
	= (so le trong)
	= (so le trong)
 Mà = nên = 
Do đó AEB cân tại E => AE = BE (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AE + EC = BE + ED
	 Hay AC = BD
Hình thang ABCD có hai đường chéo AC = BD nên ABCD là hình thang cân.
Câu hỏi 4: Thế nào là hình bình hành?
 TL: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.
	ABCD là hình bình hành 
	AB// CD và AD // BC
Câu hỏi 5: Hãy nêu các tính chất của hình bình hành? 
TL: Trong hình bình hành có:
Các cạnh đối bằng nhau
Các góc đối bằng nhau.
Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Câu hỏi 6; Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành ta làm thế nào? 
TL: Ta có thể chứng minh một trong các cách sau: 
Tứ giác có các cạnh đối song song.
Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau.
Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau.
Tứ giác có các góc đối bằng nhau.
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Bài toán 4: Cho ABCD là hình bình hành. Từ A kẻ AH BD tại H, Từ C kẻ CK BD tại K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
Ta có: AH BD và CK BD => AH // CK(1)
Xét hai tam giác vuông: AHD và CKB, có:
= (so le trong của AD // BC, vì ABCD là hình bình hành )
AD = BC ( vì ABCD là hình bình hành)
Suy ra: AHD = CKB (cạnh huyền- góc nhọn)
=>AH = CK(2)
 Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.
Bài toán 5; Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC. CD, DA. Chứng minh tứ giác ÈGH là hình bình hành.
Trong ABC có: EA = EB(gt), FB = F C(gt) nên EFØ là đường trung bình của ABC. Do đó EF // AC và EF = (1)
Trong ADC có: GD = GC(gt), HA= HD(gt) nên HG là đường trung bình của tam giác ADC. Do đó HG// AC và HG = (2)
Từ (1) và (2) => FE // HG và FE = HG. Tứ giác EFGH có mộtn cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.
Bài toán 6: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của EF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng:
Tứ giác ENMFlà hình bình hành.
Các đường thẳng AC, EF và MN đồng quy.
Ta có: ABCD là hình bình hành => AB // CD và AB = CD.
	Có E là trung điểm AB, F là trung điểm CD nên:
	EA = EB = FC = FD và AE // FC, EB // FD
	Suy ra : AECF và ABFD là các hình bình hành
=> AF // AC, ED // BF
Mà M AF, ED và N EC, BF
Do đó, EN // MF và EM // NF. Tứ giác ENFM có hai cạnh đối song song nên là hình bình hành.
Gọi O là giao điểm của AC và EF. Ta sẽ chứng minh MN đi qua O.
Ta có: AECF là hình bình hành(cmt), O là trung điểm của AC nên O cũng là trung điểm của EF.
Tứ giác ENFM là hình bình hành(cmt) nên đường chéo MN đi qua trung điểm O của EF.
Vậy AC, EF, MN cùng đi qua điểm O, hay AC, EF, MN đồng quy tại O.
Câu hỏi 7: Thế nào là hình chữ nhật?
TL: Hình chữ nhật là tứ giác có 4 góc vuông.
Câu hỏi 8 Hãy nêu các tính chất của hình chữ nhật?
 TL: Hình chữ nhật có các tính chất:
- Các cạnh đối song song và bằng nhau
- Các góc đối bằng nhau
- Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Câu hỏi 9 : Để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật ta làm thế nào? 
TL: Để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật, ta có thể chứng minh một trong các cách sau:
Tứ giác có 3 góc vuông.
Hình thang cân có một góc vuông.
Hình bình hành có một góc vuông.
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.
Bài toán 7: Cho Tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.
Ta có: Điểm IE đối xứng với H qua I (gt)=> IH = IE
	IA = IC(gt)
Do đó, AECH là hình bình hành(tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).
Mặt khác, AH BC(gt) => = 90o 
Hình bình hành AECH có = 90o nên là hình chữ nhật.
Bài toán 8: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 4cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. 
Chứng minh ADME là hình chữ nhật.
Tính chu vi của hình chữ nhật ADME.
a) Ta có: MD AB => = 90o 
	ME AC => = 90o
	Â = 90o(gt)
Tứ giác ADME có Â = = = 90o nên là hình chữ nhật.
b) Ta có DBM có = 45o (vì ABC vuông cân)
=> DBM vuông cân tại D
=> DM = DB
Chu vi hình chữ nhật ADME bằng: 2(AD + DM) = 2(AD + DB) = 2AB = 2AC = 2.4 = 8cm.
Câu hỏi 10; Thế nào là hình thoi? Hãy nêu các tính chất của hình thoi?
TL: Hình thoi là tứ giác có 4 cạnh bằng nhau.
ªHình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành. Ngoài ra hình thoi còn có các tính chất:
Hai đường chéo vuông góc với nhau
Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.
Câu hỏi 11: Để chứng minh tứ giác la hình thoi ta làm thế nào?
TL: Ta cần chứng minh một trong các cách sau:
- Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau
Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau
Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc
Bài toán 9
Cho hình thoi ABCD. Kẻ hai đường cao AH và AK. C/m AH = AK.
Hình bình hành ABCD có hai đường cao AH = AK. CMR: ABCD là hình thoi.
a) Xét hai tam giác vuông AHB và AHC, có:
AB = AD(hai cạnh của hình thoi)
(hai góc đối của hình thoi)
=> AHB = AHC(ch-gn)
=> AH = AK(hai cạnh tương ứng)
b) 
	Tam giác AHC và AKC, có:
= 90o (gt)
AH = AK (gt)
AC: cạnh chung
=> AHC = AKC(ch-gn)
=> (hai góc tương ứng)
=> CA là tia phân giác của góc C
Hình bình hành ABCD có CA là đường chéo cũng là tia phân giác của góc nên ABCD là hình thoi.
Câu hỏi 12: Thế nào là hình vuông? Nêu các tính chất của hình vuông?
TL: Hình vuông là tứ giác có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau.
Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi
Câu hỏi 13: Để chứng minh một tứ giác là hình vuông ta làm thế nào?
TL: Ta cần chứng minh một trong các cách sau:
Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau
Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau
Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góchình thoi có một góc vuông
Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau
Bài toán 10 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Gọi M, N theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến AB, AC.CMR: AMDN là hình vuông.
Ta có: ABC vuông tại A(gt)
 => Â = 90o
DM AB(gt) => = 90o
DN AC(gt) => = 90o
Tứ giác AMDN có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
Lại có AD là đường chéo đồng thời là tia phân gíac của  nên AMDN là hình vuông.
Bài toán 11: Cho tam giác ABC. Gọi M, N là trung điểm của AB và AC. 
Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao?
Trên tia đối của tia xác định điểm E sao cho: NE = MN. Hỏi tứ giác AECM là hình gì? Vì sao?
Ta có: AM = BM (gt)
 AN = CN (gt)
=> MN là đường TB của ABC
=> MN // BC
=> Tứ giác BMNC là hình thang.
b) Ta có: AN = CN (gt)
	 NE = MN (gt)
	 Tứ giác AECN có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành.
Bài toán 12: (BTVN)
Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Vẽ đường thẳng qua B và song song với AC, vẽ đường thẳng qua C và song song với BD, hai đường thẳng đó cắt nhau tại K.
Tứ giác OBKC là hình gì? Vì sao?
CMR: AB = OK
Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để tứ giác OBKC là hình vuông