Giáo án tự chọn Đại số Lớp 8 - Chủ đề I: Phân tích đa thức thành nhân tử

Ngày soạn :.. Chủ đề I 
PHâN TíCH ĐA THức THàNH NHâN Tử
A. MụC TIêU :
Sau khi học xong chủ đề này, HS có khả năng:
- Biết thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử
- Hiểu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường dùng.
- Vận dụng được các phương pháp đó để giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức 
B. THờI LượNG :	 6 tiết
C. THựC HIệN :
Câu hỏi 1 : Thế nào là phân tích một đa thức thành nhân tử?
Trả lời: Phân tích một đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức khác.
Câu hỏi 2: Trong các cách biến đổi đa thức sau đây, cách nào là phân tích đa thức thành nhân tử? Tại sao những cách biến đổi còn lại không phải là phân tích đa thức thành nhân tử?
	2x2 + 5x - 3 = x(2x + 5) - 3	(1)
2x2 + 5x - 3 = x	(2)
2x2 + 5x - 3 = 2 	(3)
2x2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)	(4)
2x2 + 5x - 3 = 2 (x + 3)	(5)
Lời giải : Ba cách biến đổi (3), (4), (5) là phân tích đa thức thành nhân tử. Cách biến đổi (1) không phải là phân tích đa thức thành nhân tử vì đa thức chưa được biến đổi thành một tích của những đơn thức và đa thức khác. Cách biến đổi (2) cũng không phải là phân tích đa thức thành nhân tử vì đa thức đượ biến đổi thành một tích của một đơn thức và một biểu thức không phải là đa thức.
Câu hỏi : Những phương pháp nào thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử?
Trả lời: Ba phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử là: Phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức và phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
Tuần 1 : 
1. PHươNG PHáP ĐặT NHâN Tử CHUNG
Câu hỏi : Nội dung cơ bản của phương pháp đặt nhân tử chung là gì? Phương pháp này dựa trên tính chất nào của phép toán về đa thức? Có thể nêu ra một công thức đơn giản cho phương pháp này hay không?
Trả lời: Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó biểu diễn được thành một tích của nhân tử chung đó với một đa thức khác.
Phương pháp này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các đa thức.
Một công thức đơn giản cho phương pháp này là: AB + AC = A(B + C)
Bài 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử
 a) 3x2 + 12xy ; b) 5x(y + 1) - 2(y + 1) ; c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) +28y(2 - 3y)
Trả lời: 
3x2 + 12xy = 3x.x + 3x . 4y = 3x(x + 4y)
5x(y + 1) - 2(y + 1) = (y + 1) (5x - 2)
14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) +28y(2 - 3y) = 14x2(3y-2) + 35x(3y-2) - 28y(3y -2)
	= (3y - 2) (14x2 + 35x - 28y).
Bài 2
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a, 5x – 20y ; b, 5x( x – 1 ) – 3x( x – 1 ) ; c, x( x + y ) – 5x – 5y.
Trả lời: 
a, 5x – 20y = 5 ( x – 4y ) ; b, 5x ( x – 1 ) – 3x ( x – 1 ) = x ( x – 1 ) ( 5 – 2 )
	 = 3x ( x – 1 )
c, x ( x + y ) – 5x – 5y = x( x+ y ) – ( 5x + 5y ) 
	 = x( x + y ) – 5 ( x + y ).
	 = ( x + y ) ( x – 5 )
Bài3
Tình giá trị của các biểu thức sau:
a, x2 + xy + x tại x = 77 và y = 22 ; 
b, x( x – y ) +y( y – x ) tại x = 53 và x = 3;
Trả lời:
a, x2 + xy + x = x ( x + y + 1 ) = 77 ( 77 + 22 + 1 )
	 = 77 . 100 = 7700.
b,x( x – y ) +y ( y – x ) = x ( x – y ) - y( x – y )
	 = ( x – y ) ( x – y )
	 = ( x – y )2
Thay x = 53 , y = 3 ta có ( x – y )2 = ( 53 – 3 )2 = 2500
Bài 4
Chứng minh rằng: n2( n + 1 ) + 2n( n + 1 ) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
Bài giải.
Ta có n2( n + 1 ) + 2n( n + 1 ) = n ( n + 1 )( n + 2 ) 6 vớ mọi n Z. (Vì đây là tích của 3 số nguyên liên tiếp V)
Bài tập tự giải:
Bài 1.1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
a, 3x ( x – a ) + 4a ( a – x ) .
b, 2x ( x + 1 ) – x – 1 
c, x2 ( y2 + z ) + y3 + yz 
d, 3x2 ( x + 1 ) – 5x ( x + 1 )2 + 4 ( x + 1 )
Bài 1.2 . Đánh dấu x vào câu trả lời đúng nhất 
Khi rút gọn biểu thức: ( x – 1 ) ( x2 + x + 1 ) – x ( x – 1 )( x + 1 )
Các bạn Tuấn, Bình, Hương thực hiện như sau:
Tuấn: ( x – 1 ) ( x2 + x + 1 ) – x ( x – 1 )( x + 1 )
 = x3 – 1 - x ( x2 – 1 ) = x3 – 1 - x3 + x = x – 1 .
Bình: ( x – 1 ) ( x2 + x + 1 ) – x ( x – 1 )( x + 1 )
 = x3 + x2 + x – x2 – x – 1 – ( x2 – x ) ( x + 1 )
 = x3 – 1 – ( x3 + x2 –x2 – x ) = x3 – 1 – x3 + x = x – 1 
Hương: ( x – 1 ) ( x2 + x + 1 ) – x ( x – 1 )( x + 1 )
 = ( x – 1 ) 
 = ( x – 1 ) ( x2 + x + 1 – x2 – x ) 
 = ( x – 1 ) . 1 = x – 1 
Bạn nào thực hiện đúng:
	A. 	Tuấn C.	Hương
	B. 	Bình D. B	Cả ba bạn
2 . PHươNG PHáP DùNG HằNG ĐẳNG THứC 
Câu hỏi: Nội dung cơ bản của phương pháp dùng hằng đẳng thức là gì?
Trả lời: Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành một tích các đa thức
Bài 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2 - 4x + 4 ; 	b) 8x3 + 27y3 	;	c) 9x2 - (x - y)2 
Trả lời: 
x2 - 4x + 4 = (x - 2)2
8x3 + 27y3 = (2x)3 + (3y)3 = (2x + 3y) [(2x)2 - (2x)(3y) + (3y)2]
= (2x + 3y) (4x2 - 6xy + 9y2)
9x2 - (x - y)2 = (3x)2 - (x - y)2 = [ 3x - (x - y)] [3x + (x - y)]
= (3x - x + y) (3x + x - y) = (2x + y) (4x - y)
Bài 2
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a, 9x2 + 6xy + y2 ; b, 4x2 – 25 ; c, x6 – y6 ; d, ( 3x + 1 )2 – (x +1 )2
trả lời:
a, 9x2 + 6xy + y2 = ( 3x )2 + 2 . 3x. y + y2 
	 = ( 3x + y )2
b, 4x2 – 25 = (2x )2 – 52 = ( 2x – 5 )( 2x + 5 ).
c, x6 – y6 = ( x2 )3 – ( y2 )3 = ( x2 – y2 ) ( x4 + x2 y2 + y4 )
	= ( x + y) ( x – y ) ( x4 + x2 y2 + y4 )
Bài 3
 Tìm x, biết: 
a, x3 – 0,25x = 0 ; b, x2 – 10x = - 25.
Trả lời:
a, x3 – 0,25x = 0 x ( x2 – 0,25 ) = 0 x ( x – 0,5)( x + 0,5 ) = 0
	 x = 0
	Hoặc x – 0,5 = 0 x = 0,5.
	Hoặc x + 0,5 = 0 x = - 0,5.
b, x2 – 10x = - 25 x2 – 10 x + 25 = 0 
	 ( x – 5 )2 = 0.
	 x = 5 .
Bài tập tự giải:
Bài 1.2: Phân tích thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức:
a, x2 + x + y2 + y + 2xy 
b, - x2 + 5x + 2xy – 5y – y2
c, x2 – y2 + 2x + 1 
d, x2 + 2xz – y2 + 2ty + z2 – t2
 Ký duyệt giáo án 
	 Ngày / 2009
Tuần 2
MụC TIêU :
Sau khi học xong chủ đề này, HS có khả năng:
- Biết thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử
- Hiểu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường dùng.
- Vận dụng được các phương pháp đó để giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức 
1. PHƯƠNG PHáP NHóM NHIềU HạNG Tử.
Câu hỏi : Nội dung của phương pháp nhóm nhiều hạng tử là gì?
Trả lời: Nhóm nhiều hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng được hằng đẳng thức đáng nhớ .
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
x2 - 2xy + 5x - 10y ; b) x (2x - 3y) - 6y2 + 4xy ; c) 8x3 + 4x2 - y3 - y2
Trả lời: 
a) x2 - 2xy + 5x - 10y = (x2 - 2xy) + (5x - 10y) = x(x - 2y) + 5(x - 2y) 
	 = (x - 2y) (x + 5)
x (2x - 3y) - 6y2 + 4xy = x(2x - 3y) + (4xy - 6y2) = x(2x - 3y) + 2y(2x - 3y) =
 = (2x - 3y) (x + 2y)
c) 8x3 + 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2) = (2x)3 - y3 + (2x)2 - y2
 	 = (2x - y) [(2x)2 + (2x)y + y2] + (2x - y) (2x + y)
= (2x - y)(4x2+ 2xy + y2) + (2x - y) (2x +y)
= (2x - y (4x2 + 2xy + y2 + 2x + y)
Bài 2
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a,5x – 5y + ax – ay ;
b, a3 – a2x – ay + xy ;
c, xy( x + y ) +yz( y + z ) + xz( x + z ) + 2xyz;
Trả lời:
a,5x – 5y + ax – ay = (5x – 5y ) + ( ax – ay)
 	 = 5( x – y ) + a ( x – y ).
= ( x – y ) ( 5 + a );
b, a3 – a2x – ay + xy = (a3 – a2x ) – ( ay - xy ) = a2 ( a – x ) – y ( a – x )
 = ( a – x )(a2 – 1 )
 = ( a – x )( a + 1 ) ( a – 1 )
c, xy( x + y ) +yz( y + z ) + xz( x + z ) + 2xyz 
= xy ( x + y ) + xyz + yz ( y + z ) + xyz + xz ( x + z ) + xyz
= 
= xy ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) + xz ( x + y + z )
= ( x + y + z ) ( xy + yz + xz ).
Bài tập tự giải:
Bài 1. 3 . Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng cách nhóm hạng tử:
a, x4 – x3 – x + 1.
b, x2y + xy2 – x – y 
c, ax2 + ay – bx2 – by
d, 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z
2. PHâN TíCH BằNG CáCH PHốI HợP NHIềU PHươNG PHáP 
Câu hỏi : Khi cần phân tích một đa thức thành nhân tử, chỉ được dùng riêng rẽ từng phương pháp hay có thể dùng phối hợp các phương pháp đó?
Trả lời: Có thể và nên dùng phối hợp các phương pháp đã biết
Bài 1 :	Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) a3 - a2b - ab2 + b3 ; b) ab2c3 + 64ab2 ; c) 27x3y - a3b3y
Trả lời: :
a) a3 - a2b - ab2 + b3 = a2 (a - b) - b2 (a - b) = (a - b) (a2 - b2)
= (a - b)(a - b)(a + b) = (a - b)2(a + b)
b) ab2c3 + 64ab2 = ab2(c3 - 64) = ab2(c3 + 43) = ab2(c + 4)(c2 - 4c + 16)
c) 27x3y - a3b3y = y(27 - a3b3) = y([33 - (ab)3] 
= y(3 - ab) [32 + 3(ab) + (ab)2] = y(3 - ab) (9 + 3ab + a2b2)’
Bài 2
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a, x3 – x + 3x2 y + 3x y2 +y3 – y ;
b, 5 x2 – 10 xy + 5y2 – 20 z2
Trả lời:
a, x3 – x + 3x2 y + 3x y2 +y3 – y = ( x3 + 3x2 y + 3x y2 +y3 ) – ( x + y )
	 	 = ( x + y )3 – ( x + y )
	 = ( x + y ) 
	 = ( x + y ) ( x + y – 1 ) ( x + y + 1 )
b, 5 x2 – 10 xy + 5y2 – 20 z2 = 5 ( x2 – 2xy + y2 – 4z2 )
= 5 
= 5 = 5 ( x – y – 2z ) ( x – y + 2z )
 Ký duyệt giáo án 
	 Ngày 05/10/2009
 Ngày soạn : 
 Tuần 3
MụC TIêU :
Sau khi học xong chủ đề này, HS có khả năng:
- Biết thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử
- Hiểu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường dùng.
- Vận dụng được các phương pháp đó để giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức 
1. PHươNG PHáP TáCH HạNG Tử, THêM BớT CùNG MộT HạNG Tử
Câu hỏi : Ngoài 3 phương pháp thường dùng nêu trên, có phương pháp nào khác cũng được dùng để phân tích đa thức thành nhân tử không?
Trả lời: Còn có các phương pháp khác như: phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
Bài 1 : Phân tích thành nhân tử
a) 2x2 - 3x + 1	;	b) y4 + 64
Lời giải :
2x2 - 3x + 1 = 2x2 - 2x - x + 1 = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1) (2x - 1)
y4 + 64 = y4 + 16y2 + 64 - 16y2 = (y2 + 8)2 - (4y)2
= (y2 + 8 - 4y) (y2 + 8 + 4y)
Bài 2 : 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a, x2 + 5x – 6 ; b, 2x2 + 3x – 5
Trả lời:
a, x2 + 5x – 6 = x2 – x + 6x – 6 
	 = ( x2 – x ) + ( 6x – 6 )
 = x ( x – 1 ) + 6 ( x – 1 )
	 = ( x – 1 ) ( x + 6 )
b, 2x2 + 3x – 5 = 2x2 – 2x + 5x – 5 = ( 2x2 – 2x ) + ( 5x – 5 )
	 = 2x ( x – 1 ) + 5 ( x – 1 )
	 = ( x – 1 ) ( 2x + 5 )
Bài 3
Tìm x, biết:
a, 5x ( x – 1 ) = x – 1 ; b, 2 ( x + 5 ) – x2 – 5x = 0
Trả lời:
a, 5x ( x – 1 ) = x – 1 5x ( x – 1 ) – ( x – 1 ) = 0 
	 	 ( x – 1 ) ( 5x – 1 ) = 0
	 ( x – 1 ) = 0 x = 1
	 Hoặc ( 5x – 1 ) = 0 x = 1/5.
Bài tập tự giải:
Bài 5.1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử
a, x8 + x4 + 1 b, x8 + 3x4 + 4 
2 . VậN DụNG PHâN TíCH ĐA THứC THàNH NHâN Tử Để LàM CáC DạNG TOáN
Câu hỏi: Việc phân tích đa thức thành nhân tử có thể có ích cho việc giải một số loại toán nào?
Trả lời: Việc phân tích đa thức thành nhân tử có thể có ích cho việc giải các bài toán về tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức
Bài 1 : G ...  cả thời gian nghỉ lại ở Thanh Hoá k). Tính quảng đường Hà Nội – Thanh Hoá 
Bài giải:
Vận tốc ( km/h )
Quảng đường ( km )
Thời gian (giờ g)
HN – TH
40
S
TH - HN
30
S
Gọi quảng đường từ Hà Nội đến Thanh Hoá là S ( Km ) (ĐK ẹ:s > 0 ).
Thời gian lúc đi từ Hà Nội đến Thanh Hoá là 
Thời gian lúc về là .
Tổng thời gian cả đi lẫn về không kể thời gian nghỉ lại ở Thánh Hoá là: 
10 giờ 45 phút – 2 giờ = 8 giờ 45 phút = 35/ 4 giờ.
Theo bài ra ta có phương trình: + = .
ú 3S + 4S = 1050 ú 7S = 1050 ú S = 150 (TMĐK T).
Vậy quảng đường HN – TH là 150 km.
Bài toán 3:
Một ôtô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50km/h. sau khi khởi hành 24 phút nó giảm vận tốc đi 10km/h nên đã đến B chậùm hơn dự định 18 phút. Hỏi thời gian dự định đi?
Bài giải:
Gọi quảng đường AB là x (kmứ ) . (điều kiện ủ: x > 0 ). Theo đề bài ta lập được bảng sau:
Vận tốc (km/h )
Thời gian (h )
Quảng đường (km)
Dự định
50
x
Chạy 24 phút đầu
50
20
Đoạn còn lại
40
x - 20
Người đó đến B chậm hơn dự định là 18 phút = giờ. Do đó dựa vào bảng ta lập được phương trình sau: 
 + - = .
Giải phương trình ta được x = 80. thoã mãn điều kiện của ẩn. Vậy quảng đường AB là 80 km, người đó dự định đi với vận Tốc 50 km /h, nên thời gian dự định là 80: 50 = 8/5 giờ = 1 giờ 36 phút.
Bài tập HS tự giải:
Bài tập 4: một tàu chở hàng từ ga Vinh đến ga Hà Nội . Sau đó 1, 5 giờ một tàu chở khách từ ga Hà Nội đến Vinh với vận tốc lớn hơn vận tốc tàu chở hàng là 7 km/h. khi tàu khách đi được 4 giờ thì nó còn cách tàu hàng là 25 km . tính vận tốc mỗi tàu, biết rằng hai ga cách nhau 319 km.
2. Toán về quan hệ số .
Bài toán 5 : Tổng của hai số bằng 80, hiệu của chúng bằng 14. tìm hai số đó?
Bài giải:
Gọi số lớn là x, số bé là 80 – x.
Theo bài ra ta có phương trình: x – ( 80 – x ) = 14
Giải phương trình ta được x = 47 .
Vậy hai số đó là 47 và 33.
Bài toán 6 : Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. nếu tăng tử số lên 3 đơn vị và giảm mẫu số đi 4 đơn vị thì được một phân số bằng . tìm phân số ban đầu.
Bài giải: 
 Gọi tử số của phân số ban đầu là x (ĐK ẹ: x Z ).
Mẫu số của phân số đó là x + 11 .
Theo bài ra ta có phương trình: ú	.
Giải phương trình ta dược: x = 9 (TMĐK T).
Vậy phân số phải tìm là .
Bài tập 7: Một số tự nhiên có 4 chữ số. Nếu viết thêm vào bên trái và bên phải chữ số đó cùng chữ số 1 thì được một số có sáu chữ số gấp 21 lần số ban đầu. Tìm số tự nhiên lúc ban đầu?
Bài giải:
 Gọi số ban đầu là x (đk ủ: x , x > 999 ) , ta viết được x = , với a, b, c, d là các chữ số, a 0.
Ta có: = 1000a + 100b + 10c + d.
Viết thêm vào bên trái và bên phải chữ số đó cùng chữ số 1 thì được một số:
 = 100 000 + 10 000a + 1000b + 100c + 10d + 1
 = 100 001 + 10 ( 1000a + 100b + 10c + d ) 
 = 100 001 + 10x.
Theo bài ra ta có phương trình: 100 001 + x = 21x
Giải phương trình ta được x = 9091 (tmđk t) .
Vậy số tự nhiên ban đầu là 9091
Bài tập HS tự giải:
Bài tập 8: Một số tự nhiên có 5 chữ số. Nếu viết thêm vào bên phải hay bên trái chữ số 1 ta đều được số có 6 chữ số. Biết rằng khi ta viết thêm vào bên phải chữ số đó ta được một số lớn gấp 3 lần ta viết thêm vào bên trái. Tìm số đó?
3. Toán năng suất :( GV nên hướng dẫn cho hs giải bằng cách lập bảng).
Bài toán 9: Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo đó mỗi ngày phải khai thác được 50 tấn than. Khi thực hiện mỗi ngày đội khai thác dược 57 tấn than. Do đó đội dã hoàn thành kế hoạch trước một ngày và còn vượt mức 13 tấn than. Hỏi theo kế hoạch đội phải khai thác bao nhiêu tấn than?
Bài giải:
 Gọi x (tấn t) là số than đội phải khai thác theo kế hoạch, ta lập được bảng sau:
Số than mỗi ngày (tấn t)
Tổng số than (tấn t)
Số ngày
Theo kế hoạch 
50
x
Thực hiện 
57
x + 13
Từ bảng ta lập được phương trinh: = - 1 .
Giải phương trình tìm được x = 500 (TMĐK T).
Vậy theo kế hoạch đội phải khai thác 500 tấn than.
Bài toán 10: Một đội công nhân dự tính nếu họ sữa được 40 m trong một ngày thì họ sẽ sữa xong một đoạn đường trong một thời gian nhất định . Nhưng do thời tiết không thuận tiện nên thực tế mỗi ngày họ sữa được một đoạn ít hơn 10 m so với dự định và vì vậy họ phải kéo dài thời gian làm việc thêm 6 ngày. Tính chiều dài đoạn đường?
Bài giải:
 Gọi x (ngày n) là thời gian dự định làm xong đoạn đường (điều kiện ủ: x > 0 ).
Ta có bảng sau:
Thời gian (ngày n)
Năng suất
Đoạn đường ( m )
Dự định
x
40
40 x
Thực tếự
x + 6
30
30 ( x + 6 )
Dựa vào bảng ta lập được phương trình sau:
40 x = 30 ( x + 6 ).
Đáp số: chiều dài đoạn đường là: 7200 m
Bài toán 11: 
 Hai công nhân nếu làm chung thì 12 giờ hoàn thành công việc. Họ làm chung trong 4 giờ thì người thứ nhất chuyển đi làm việc khác, người thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ.
Hỏi người thứ hai làm một mình thì trong bao lâu sẻ hoàn thành công việc đó.
Bài giải:
 Gọi x là thời gian để người thứ hai làm một mình xong công việc (đk x ủ > 12 ). Trong 10 giờ người đó làm được cv.
Cả hai người làm chung được 4. cv.
Theo bài ra ta có phương trình: 4. + = 1.
Giải phương trình ta được x =15 (TMĐK T).
Vậy người thứ hai làm một mình xong công việc mất 15 giờ.
Bài toán 12:
 Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể không chưa nước trong một thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm được 10 m3. sau khi bơm được 1/3 thể tích của bể người công nhân vận hành cho máy hoạt động với công suất lớn hơn, mỗi giờ bơm được 15 m3. Do vậy so với quy định bể được bơm đầy nước trước thời hạn 48 phút. Tính thể tích của bể?
Bài giải:
Gọi thể tích của bể là x ( m 3 ) ĐK: x > 15.
Ta lập bảng sau:
Năng suất ( m3/ giờ)
Thời gian (giờ g)
Dung tích (lít l)
Theo quy định
10
x
1 /3 thể tích đầu
10
Phần còn lại
15
So với quy định bể được bơm đầy trước thời hạn 48 phút = giờ. Nên ta có phương trình: - - = .
Giải phương trình ta được x = 36 (thoã mãn điều kiện t).
Vậy thể tchs bể là 36 m3.
4. Toán phần trăm
Bài toán 13:
 Một miếng hợp kim đồng và thiếc có khối lượng 12 kg, chứa 45% đồng. Hỏi phải thêm vào đó bao nhiêu thiếc nguyên chất để được một hợp kim mới có chứa 40% đồng?
Bài giải:
Khối lượng đồng nguyên chất có trong 12 kg hợp kim là: 45% . 12 = 5, 4 kg. gọi khối lượng thiếc nguyên chất cần thêm là x (đk ủ: x > 0 ).
Sau khi thêm vào khối lượng miếng hợp kim là: (12 + x ) kg, lượng đồng không thay đổi và chiếm 40% nên ta có phương trình:
5,4 : ( 12 + x ) = 40% . 
Giải phương trình tìm được x = 1,5 (TMĐK T).
Vậy khối lượng thiếc nguyên chất cần thêm vào là 1,5 kg.
Bài toán 14:
Nếu pha thêm 200 g nước vào dung dịch chứa 10% muối ta được một dung dịch chứa 6% muối. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu gam dung dịch?
Bài giải:
 Gọi x là khối lượng dung dịch chứa 10% muối ( x > 0 ). Lượng muối có trong dung dịch là 10% . x .
Khối lượng dung dịch sau khi pha thêm là x + 200 . lượng muối có trong dung dịch mới là 6%. ( x + 200 ). Vì lượng muối không thay đổi nên ta có phương trình: 10% x = 6% ( x + 200 ). 
Giải phương trình tìm được x = 300 (TMĐK T).
Vậy khối lượng dung dịch ban đầu là 300 kg.
Bài toán 15:
 Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axit, loại Ichứa 30% axít, loại II chứa 5% axit. Muốn có 50 lít dung dịch chứa 10% axit thì cần phải trộn bao nhiêu lít dung dịch mỗi loại?
Bài giải:
Gọi x là số lít dung dịch loại I cần phải trộn vào (ĐK ẹ: 0 < x < 50 ).
Số lít dung dịch loại II cần phải trộn vào là: 50 – x.
Lượng axit chứa trong dung dịch loại I là: x
Lượng axit chứa trong dung dịch loại II là: ( 50 – x ).
Lượng axit có trong 50 lít hỗn hợp là: . 50 = 5 lít .
Theo đó ta có phương trình: x + ( 50 – x ) = 5
Giải phương trình ta được x = 10 (TMĐK T) .
Vậy số lít dung dịch loại I và loại II cần phải trộn lần lượt là 10l và 40l.
Bài tập HS tự giải:
Bài tập 16: Có 3 lít nước có nhiệt độ 100C . Hỏi phải pha thêm bao nhiêu nước 850 C để có nước 400 C.
5. Bài toán có nội dung hình học.
Bái toán 17
 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m. người ta làm một lối đi xung quanh khu vườn đó, có chiều rộng 2 m. tính các kích thước của vườn, biết rằng phần đất còn lại trong vườn để trồng trọt là 4256m2.
Bài giải:
 Gọi x là chiều dài khu vườn (đk ủ: 0 < x < 140 ) .
Ta có chiều rộng của khu vườn đó là 140 – x ( m ).
Sau khi làm lối đi, chiều dài và chiều rộng của khu đất trồng trọt lần lượt là ( x – 4 ) và 140 – x – 4. theo bài ra ta có phương trình:
( x – 4 ) ( 140 – x – 4 ) = 4256.
Giải phương trình ta được: x = 80, và x = 60 đều thoả mãn điều kiện của ẫn. Vậy một cạnh của khu vườn là 80m, cạnh kia là 60m.
Bái toán 18
 Một hình chữ nhật có chu vi 800m. nếu chiều dài giảm đi 20% và chiều rộng tăng thêm 1/3 của nó thì chu vi không thay đổi. Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.
Bài giải:
 Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x (m). (đkủ: 0 < x < 400 ).
Chiều dài của hình chữ nhật là 400 – x . khi giảm chiều dài đi 20% và chiều rộng tăng thêm 1/3 của nó. Các kích thước lần lượt là x + 1/3x và 400 – x – 20%( 400 – x ). Theo bài ra ta có phương trình:
x + 1/3x + 400 – x – 20%( 400 – x ) = 400.
Giải phương trình tìm được x = 150 . thoà mãn điều kiện của ẩn. Vậy chiều rộng của hình chữ nhật là 150m và chiều dài là 250m.
Bài toán cổ (dành cho HS khá, giỏi).
Một đàn em nhỏ đứng bên sông.
To nhỏ bàn nhau chuyện chia bồng. (*)
Mỗi người năm quả thừa nănm quả.
Mỗi người sáu quả một người không.
Hỏi người bạn trẻ đang dừng bước
Có mấy em thơ, mấy quả bồng?
(chia bồng c (*) : chia quả bưởi).
(Cho HS thảo luận tìm cách giải, có thể hướng dẫn cho học sinh giải theo cách lập bảng)
Cách 1: Gọi x là số em bé tham gia chia bồng (x nguyên dương x). Theo đề bài ta 
lập được bảng sau:
Số quả / em
Số em được chia
Hậu quả
Cách chia thứ nhất
5
x
Thừa 5 quả
Cách chia thứ hai
6
x - 1
Một em không có phần
Theo cách chia thứ nhất ta có: số quả bôngf đem chia là 5x + 5.
Theo cách chia thứ hai, số quả bồng đem chia là 6 ( x – 1 ).
Do số quả bồng là không đổi nên ta có phương trình: 5x + 5 = 6 ( x – 1 ).
 Giải phương trình ta có x = 11 thoã mãn điều kiện của ẩn. Vậy có 11 em thơ và 60 quả bồng.
Cách 2 (GV có thể hướng dẫn cho học sinh tìm cách giải thứ 2 bằng cách chọn ẩn là số quả bồng G)
 Gọi x là số quả bồng đem chia (ĐK: x nguyên dương). Theo đề bài ta lập được bảng sau: 
Số quả / em
Số em được chia
Hậu quả
Cách chia thứ nhất
5
Thừa 5 quả
Cách chia thứ hai
6
Một em không có phần
Vì số em được chia theo cách hai ít hơn số em được chia ở cách một (một em không có phần m), nên ta có phương trình: - = 1.
Giải phương trình ta được x = 60 (TMĐK T). Vậy số bồng là 60 quả, số em bé là 11 em.
D. TàI LIệU THAM KHảO :
- SGK Toán 8, tập II, SBT Toán 8 tập 2
- Toán cơ bản và nâng cao lớp 8 tập 2 – Vũ Thế Hựu
- toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8- Vũ Dương Thuỵ (chủ biên c) – 
Nguyễn Ngọc Đạm (Nhà xuất bản giáo dục N)