Giáo án phụ đạo Đại số Khối 8

ChươngI: Nhân và chia đa thức
I. Nhân đa thức 
- Nhân đơn thức với đa thức.
 A(B + C) = AB + AC
- Nhân đa thức với đa thức.
 (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD 
Ví dụ. Thực hiện phép tính:
4x2 (5x3 + 3x - 1) 
(3x + 4x2- 2)(-x2 +1+ 2x)=3x(-x2 +1+ 2x) + 4x2(-x2 +1+ 2x) -2(-x2 +1+ 2x)
 Bài tập: 1) Tìm x biết: 
 3x(12x - 4) – 9x(4x - 3) = 30
 3x.12x - 3x.4 – 9x.4x – (- 9x).3 = 30
 36x2 - 12x – 36x2 + 27x = 30
 15x = 30
 x= 2.
 2)Thực hiện phép tính:
 a) (x2- 2x + 3)(x - 5)
 = x2. x + x2.(- 5)+ (- 2x). x + (- 2x).(- 5)+ 3. x + 3.(- 5)
 = x3 - 6x2 + x - 15.
 b) (x2y2 - xy + 2y)(x - 2y)
 = x2y2.x + x2y2(-2y) + (-xy).x + (-xy)(-2y) + 2y.x + 2y.(-2y)
 = x3y2 - 2x2y3 - x2y + xy2 + 2xy - 4y2
II. Các hằng đẳng thức đáng nhớ
- Bình phương của một tổng. Bình phương của một hiệu.
 (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2,
- Hiệu hai bình phương.
 A2 - B2 = (A + B) (A - B),
- Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu.
 (A ± B)3 = A3 ± 3A2B + 3AB2 ± B3,
- Tổng hai lập phương. Hiệu hai lập phương. 
 A3 + B3 = (A + B) (A2 - AB + B2),
 A3 - B3 = (A - B) (A2 + AB + B2),
 (trong đó: A, B là các số hoặc các biểu thức đại số).
Ví dụ: a) (a + 1 )2 = a2 + 2.a.1 + 12 = a2 + 2a + 1.
 b) 512 = (50 + 1)2 = 502 + 2.50.1+ 12 = 2500 + 100 + 1 = 2601.
 c) (2x - 3y)2 = (2x)2 - 2.2x.3y + (3y)2 = 4x2 - 12xy + 9y2.
 d) 992 = (100 - 1)2= 1002 - 2.100.1 + 12= 10000 - 200 + 1= 9801
 e) (x - 2y)(x + 2y) =x2 - (2y)2 = x2 - 4y2.
 f) 56.64 = (60 - 4)(60 + 4) = 602- 42 = 3600 - 16 = 3584.
 g) (x + 2y)3 = x3 + 3.x2.2y + 3.x.(2y)2 + (2y) = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3.
 h) 8x3- y3 = (2x)3 -y3 = (2x -y)((2x)2 + 2x.y + y2)= (2x - y)(4x2 +2xy + y2)
 i) 342 + 662 + 68.66 = 342+ 2.34.66 + 662 = (34 + 66)2=1002= 10 000
Bài tập:
 1) Thực hiện phép tính:
 (x2 - 2xy + y2)(x - y) = (x- y)2(x- y) = (x- y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3.
 2) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức 
 (x2 - xy + y2)(x + y) - 2y3 tại x = và y = .
 (x2 - xy + y2)(x + y) - y3 = x3 + y3 - y3 = x3 thay x = và y = ta có:
 x3=
III. Phân tích đa thức thành nhân tử
+ Phương pháp đặt nhân tử chung.
+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
+ Phương pháp nhóm hạng tử.
+ Phối hợp các phương pháp phân tích thành nhân tử ở trên.
Ví dụ. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) 15x2y + 20xy2 - 25xy = 5xy.3x + 5xy.4y - 5xy.5 = 5xy(3x + 4y - 5)
2) a. 1 - 2y + y2 = 12 - 2.1.y + y2 = (1- y)2;
 b. 27 + 27x + 9x2 + x3 = 33 + 3.32.x + 3.3.x2 + x3 = (3 + x)3 ;
 c. 8 - 27x3 = 23 - (3x)3 = (2 - 3x)(4 + 6x + 9x2)
 d. 1 - 4x2 = 12 - (2x)2 = (1 - 2x)(1 + 2x);
 e.(x + y)2 - 25 = (x + y)2 - 52 = (x+ y + 5)(x + y - 5) ;
 a. 4x2 + 8xy - 3x - 6y = (4x2 + 8xy) - (3x + 6y) = 4x(x + 2y) - 3(3 + 2y) 
 = (x + 2y)(4x - 3);
2x2 + 2y2 - x2z + z - y2z - 2 = (2x2 + 2y2 - 2) - (x2z + y2z - z)
= 2(x2 + y2 - 1) - z(x2 + y2 - 1) = (x2 + y2 - 1)(2 - z)
4)a) 3x2 - 6xy + 3y2 = 3(x2 - 2xy + y2) = 3(x - y)2;
16x3 + 54y3 = 2(8x3 + 27y3) ;
x2 - 2xy + y2 - 16 = (x2 - 2xy + y2) - 42 = (x - y)2 - 42 = (x - y + 4)(x - y - 4); 
Bài tập: 1. Tính nhanh:
a)34.76 + 34.24 = 34( 76 + 24 ) = 34.100 = 3400
b)1052 – 25 = 1052 – 52 = ( 105 + 5)(105 – 5)= 110.100 = 11000
 c)15.64+ 25.100+ 36.15+ 60.100
15.64+ 25.100+ 36.15+ 60.100 = (15.64+ 36.15)+ (25.100+ 60.100)
 = 15(64+ 36)+ 100(25+ 60) = 15.100+ 100.85 = 100.100 = 10 000
Tìm x biết: 
 3x2 – 6x = 0 3x(x – 2) = 0 3x = 0 hoặc x – 2 = 0 x = 0 hoặc x = 2
Vậy khi x = 0 hoặc x = 2
Tính giá trị của biểu thức tại x = 94,5 và y = 4,5
 Với x = 94,5, y = 4,5 ta có: 
 Phân tich đa thức thành nhân tử:
 x6 - x4 + 2x3 + 2x2 = x2(x4- x2 + 2x + 2)
IV. Chia đa thức.
- Chia đơn thức cho đơn thức. 
- Chia đa thức cho đơn thức.
 Ví dụ . Làm phép chia : 
d) (15x2y3 - 12x3y2) : 3xy =15x2y3 : 3xy - 12x3y2 : 3xy
 = (15:3).(x2:x).(y3:y) - (12:3).(x3:x).(y2:y) = 5xy2 - 4x2y
Bài tập: Làm phép chia :
a) 
b) (2x4 - 3x3- 3x2 + 6x - 2): (x2 - 2)
Vậy: = ()()
c) Tìm số a để đa thức x3- 3x2 + 5x + a chia hết cho đa thức x-2	
Vậy : x3- 3x2 + 5x + a = (x2 - x + 3)(x - 2) + (a + 6)
=> (x3- 3x2 + 5x + a) ( x - 2) khi a + 6 = 0 => a = -6
ChươngII: Phân thức đại số
Định nghĩa:
Một phân thức đại số (hay nói gọn là một phân thức) là một biểu thức có dạng , trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.
A được gọi là tử thức (hay tử), Bđược gọi là mẫu thức (hay mẫu)
Hai phân thức bằng nhau
Tính chất cơ bản của phân thức
 (M là đa thức khác 0)
 (N là nhân tử chung)
Rút gọn phân thức
Nhận xét: để rút gọn 1 phân thức ta có thể:
+ Phân tích cả mẫu và tử thành nhân tử (nếu cần)
+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức 
 * Để tìm MTC ta có thể làm như sau:
 - Phân tích MT của các phân thức thành nhân tử.
 - MTC là một tích gồm:
 + Nhân tử bằng số ở các mẫu
 + Với mỗi luỹ thừa của một biểu thức có mặt trong mẫu thức ta chọn luỹ thừa có số mũ cao nhất.
Muốn quy đồng mẫu nhiều phân thứcta có thể làm như sau:
- Phân tích các mẫu thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung
- Tìm nhân tử phụ của mỗi phân thức(chia mẫu thức chung cho mẫu thức của mỗi phân thức)
- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân với nhân tử phụ tương ứng
Ví dụ. a) Vì 
 b) vì 
 c) Rút gọn các phân thức: 
 *) 
 *) 
 d) Qui đồng mẫu thức 
 và 
 MTC:
 *) 
 *) 
Bài tập: 
 a) vì 
 b) Rút gọn các phân thức: 
 *) 
 *) 
 c) Qui đồng mẫu thức hai phân thức: 
 và 
 ;
 MTC = 2x(x- 5)
 *) 
 *) 
II. Cộng và trừ các phân thức đại số
- Phép cộng các phân thức đại số.
Cộng hai phân thức cùng mẫu
Cộng hai phân thức có cùng mẫu khác nhau
- Phép trừ các phân thức đại số.
Khái niệm phân thức đối của phân thức (B ạ 0) (là phân thức và được kí hiệu là -).
* Qui tắc: 
Ví dụ. Thực hiện các phép tính:
 a) 
 b) 
 c) =; 
 d) 
MTC = 
III. Nhân và chia các phân thức đại số. Biến đổi các biểu thức hữu tỉ.
- Phép nhân các phân thức đại số.
+ Quy tắc nhân hai phân thức:
= 
- Các tính chất của phép nhân các phân thức đại số:
= (tính giao hoán);
 (tính kết hợp);
 (tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng).
- Phép chia các phân thức đại số.
 *) có phân thức nghịch đảo là 
 có phân thức nghịch đảo là 
 * Qui tắc: SGK 
- Biến đổi các biểu thức hữu tỉ.
 Ví dụ.
 a) ;
 b) .
 c) Cho phân thức 
 ĐKXĐ:
Bài tập:
b) Cho phân thức: 
ĐKXĐ: 
ChươngIII. Phương trình bậc nhất một ẩn
I. Khái niệm về phương trình, phương trình tương đương.
- Phương trình một ẩn. 
Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x. 
Ví dụ:
 a) 2x + 5 = 3 (x - 1)+ 2
 b) (t + 1)2 = 3t + 4 
 c) 
- Định nghĩa hai phương trình tương đương. 
Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm
Ví dụ: x + 1 = 0 x = - 1
II. Phương trình bậc nhất một ẩn.
- định nghĩa phương trình bậc nhất: ax + b = 0 (x là ẩn; a, b là các hằng số, a ạ 0).
 Nghiệm của phương trình bậc nhất: Có một nghiệm duy nhất 
Ví dụ: .Vậy nghiệm của pt là x = 5. . Vậy nghiệm của pt là x = - 4
- Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0.
Cách giải phương trình:
+ Bước 1: Thực hiện phép tính bỏ ngoặc, qui đồng rồi khử mẫu.
+ Bước 2: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia.
+ Bước 3: Thu gọn và giải phương trình nhận được.
Giải phương trình: b) 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
Phương trình có tập nghiệm 
phương trình vô nghiệm.
- Phương trình tích.	
 phương trình có dạng: 
 A(x).B(x).C(x) = 0 (A(x), B(x), C(x) là các đa thức chứa ẩn x).
Ví dụ: giải phương trình
Vậy nghiệm của phương trình là x = - 1 
và x = 3/2
Vậy nghiệm của phương trình là x = 3 
và x = - 5/2
Vậy tập nghiệm của PT là 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
- Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
quy tắc giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
 + Tìm điều kiện xác định.
 + Quy đồng mẫu và khử mẫu(Nhân cả hai vế với MTC).
 + Giải phương trình vừa nhận được.
 + Xem xét các giá trị của x tìm được có thoả mãn ĐKXĐ không và kết luận về nghiệm của phương trình.
III. Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc nhất một ẩn.
các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Bước 1: Lập phương trình:
 + Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
 + Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
 + Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Chọn kết quả thích hợp và trả lời.