Giáo án môn Toán Lớp 8 - Chương I: Nhân đơn thức với đa thức. Nhân đa thức với đa thức

NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC - NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC 
A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT 
I. Lý thuyết: 
1. Nhân đơn thức với đa thức 
Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa 
thức rồi cộng các tích với nhau. 
 . . .A B C A B A C   
2. Nhân đa thức với đa thức 
Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng 
hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau. 
  A B C D AC BC AD BD      
II. Các dạng bài tập: 
Dạng 1: Thực hiện phép tính 
Phương pháp: 
Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức và quy tắc nhân đa thức với đa thức để thực hiện phép 
tính. 
Bài 1: Thực hiện phép tính: 
a)   2 2 12 2 3 2x x x   b) 
2 22 1
3 2 4
xxy x y xy        
c)   2 12 1 2 2
3
x x x      
 d)  2 2 1 32 2x y x y xy
     
Giải 
a) Ta có:         2 2 2 2 2 22 2 3 2 2 2 2 3x x x x x x x x         
4 3 22 4 6x x x    . 
b) Ta có: 2 22 1
3 2 4
xxy x y xy        
2 2 2 2 22 2 2 2 1
3 3 3 2 3 4
xxy x y xy xy xy xy                        
3 3 2 3 2 2 22 2 1 1
3 3 3 6
x y x y x y xy    
c) Ta có: 
  2 2 21 1 12 1 2 2 2 . 2 2 1. 2 2
3 3 3
x x x x x x x x                         
2
3 2 2 32 1 8 134 4 2 2 4 2
3 3 3 3
x xx x x x x x            
d) Ta có:  2 2 1 32 2x y x y xy
     
     2 2 2 21 3
2 2
x y x x y y x y xy      
2 2 2 2 21 1 3 3. . . . . .
2 2 2 2
x x x y x y y y x xy y xy      
3 2 3
3 2 2 3 3
2 2 2 2
xy y x y xyx x y      
Bài 2: Thực hiện phép tính: 
a)      2 21 3 2 3x x x x x   
b)         2 2 22 2xy x xy x x y yx x xy     
c)    22 2 1x x x x    
d)   1 1
2 3
xyx y x y        
Giải 
a) Ta có:      2 2 2 21 3 2 3 . .1 3 .3 2 .3x x x x x x x x x x x x       
3 2 3 3 29 6 7 9x x x x x x x       
b) Ta có:         2 2 22 2xy x xy x x y yx x xy     
2 2 2 2. . . . .2 .2xy x xy xy x x x y yx x yx xy      
2 2 2 3 2 3 2 32 2x y x y x xy x y x y      
2 2 2 3 2 32 3x y x xy x y x y     
c) Ta có:          2 22 2 1 .2 2 1x x x x x x x x x          
      2 2 2 2 22 2 1 2 1 2 1x x x x x x x x x x            
       2 2 2 2 22 2 2 2 . 2 . 2x x x x x x x x x x         
4 3 2 3 2 42 2 2 2 2 2 2 2x x x x x x x x          
d) Ta có:   1 1
2 3
xyx y x y        
   1 1
2 3
xyx x y y x y          
2
2 1
2 2 3
xy y xyx xy
          
2 2
2 2
2 2 3 2 2
xy y xy xy yx xy x xy
             
   
2 2
2 2. . . .
2 2 3 3 2 3 2 3
xy y xy xy xy xy y xyx xy x xy
             
   
2 3 2 2 2 2 3
2
2 2 3 3 6 6
xy y x y x y x y xyx xy
             
   
2 3 2 2 2 2 3
2
2 2 3 3 6 6
xy y x y x y x y xyx xy        
2 3 2 2 3
2 3
2 2 3 2 6
xy y x y x y xyx      
Bài 3: Tìm giá trị biểu thức 
a)    2 2 22 3 5 3A x x x x x x     tại 2x  . 
b)     2 2 22B x y x xy x x y     tại 2x  ; 3y   . 
c)      2 2 26 4 2 4 2 3C x x x x x x x       tại 4x   . 
d)    2 2 2 2D x x xy y y x xy y      tại 5x  ; 1y   . 
Giải 
a) Ta có: 
   2 2 2 2 2 22 3 5 3 2 .3 2 .5 .3 .A x x x x x x x x x x x x x x          
3 2 3 2 3 26 10 3 7 4 10x x x x x x x x        
Tại 2x  thay vào ta được: 3 27.2 4.2 10.2 56 16 20 60A        
Vậy 60A  . 
b) Ta có:     2 2 22B x y x xy x x y     
   2 2 2 2. .2x x xy y x xy x x x y      
2 2 3 2. . . . 2x x x xy y x y xy x xy      
3 2 2 2 3 2 2 22 2x x y x y xy x xy x y xy         
Tại 2x  ; 3y   thay vào ta được:    222.2 . 3 2. 3 24 18 6B         
Vậy 6B  . 
c) Ta có:      2 2 26 4 2 4 2 3C x x x x x x x       
2 3 2 3 26 6 4 2 4 8 12x x x x x x x       
2 3 2 3 26 6 4 2 4 8 12 12 6 6x x x x x x x x x x          
Tại 4x   thay vào ta được:  6 4 24C     
Vậy 24C  . 
d) Ta có:    2 2 2 2D x x xy y y x xy y      
3 2 2 2 2 3 3 3yxx x y xy xy y x y        
Tại 5x  ; 1y   thay vào ta được:    335 1 125 1 126D        
Vậy 126D  . 
Dạng 2: Tìm x với điều kiện cho trước 
Phương pháp: Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức và quy tắc nhân đa thức với đa thức để tìm giá 
trị x . 
Bài 1: Tìm x , biết: 
a)    2 3 2 1 10x x x x     b)  22 9 1 3 2 33 2 4
xx x x          
Giải 
a) Ta có:     2 22 3 2 1 10 2 6 2 10x x x x x x x x           
5 10 2x x    
b) Ta có:  22 9 1 3 2 33 2 4
xx x x          
 22 9 2 1 3 2 33 2 3 4
xx x x x                 
2 2 5 53 3 2 3 2 3 5 6
6 6 6
x x xx x x x                
Bài 2: Tìm x , biết: 
a)      1 2 3 1 2 1 14x x x x      
b)        23 2 2 1 2 4 5 5x x x x x x         
Giải 
a) Ta có:      1 2 3 1 2 1 14x x x x      
           1 3 2 3 2 1 1 2 1 14x x x x x x         
2 23 2 6 2 2 1 14 4 12 3x x x x x x x x               
Vậy 3x   . 
b) Ta có:        23 2 2 1 2 4 5 5x x x x x x         
            23 2 2 2 1 2 5 4 5 5x x x x x x x x            
     2 2 2
2 2 2
3 2 4 2 2 5 4 20 5
3 2 2 2 5 20 5
           
         
x x x x x x x x
x x x x x x
3 20 5 5x x      
Vậy 5x  . 
Bài 3: Tìm x , biết: 
a)     23 4 1 1 7 1 12x x x x x x       
b)         2 3 4 5 2 3 5 4x x x x x x        
c)   3 3 3 3 6 6n n n n n nx y x y x y     (với 0n  ) 
d)    2 2 22 2 4n n n n n n n nx x y y y x y y     (với 0n  ) 
Giải 
a) Ta có:     23 4 1 1 7 1 12x x x x x x       
 2 2 23 4 1 7 7 12x x x x x x x         
2 2 23 4 4 4 4 7 7 12x x x x x x x         
164 7 12 6 16
6
x x x x         
Vậy 16
6
x  
b) Ta có:         2 3 4 5 2 3 5 4x x x x x x        
2 2 22 3 8 12 5 2 10 3 5 12 20x x x x x x x x x            
2 23 4 22 3 17 20x x x x      
2 23 4 22 3 17 20 0x x x x       
221 2 0
21
x x      
Vậy 2
21
x   . 
c) Ta có:   3 3 3 3 6 6n n n n n nx y x y x y     
 6 3 3 3 3 6 6 6n n n n n n n nx y x x y y x y       
6 6 6 6 6 6 0n n n n n nx y x y x x        
6 62 0 0 0n nx x x     
Vậy 0x  . 
d) Ta có:    2 2 22 2 4n n n n n n n nx x y y y x y y     
2 2 2 22 4 2 4n n n n n n n nx x y y y x y y      
2 2 2 22 2 0 0n n n nx y y x x       
Vậy 0x  
B.NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY 
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau: 
       ) 4 1 3 1 5 3 4 3a A x x x x x x        
       2) 5 2 1 3 3 2 5 4b B x x x x x x x x         
Hướng dẫn 
a) Ta có: 
2 2 212 4 3 1 5 15 3 4 12A x x x x x x x x          
26 23 13x x   
b) Ta có: 
       25 2 1 3 3 2 5 4B x x x x x x x x         
 2 3 2 25 5 2 2 3 3 9 2 5 4 20x x x x x x x x x x           
3 2 3 23 8 12 2 2 18 40x x x x x x        
3 25 26 28 2x x x     
Bài 2. Viết kết quả phép nhân sau dưới dạng lũy thừa giảm dần của biến x: 
  2) 1 3a x x x     2) 3 1 2 4b x x x   
  2) 3 2 3 2c x x x x    
Hướng dẫn 
  2) 1 3a x x x   
3 2 2 3 23 3 3 2 2 3x x x x x x x x          
  2) 3 1 2 4b x x x   
2 3 2 3 22 6 2 4 12 4 4 14 10 2x x x x x x x x           
  2) 3 2 3 2c x x x x    
  2 2 3 23 2 3 3 9 6 3 2x x x x x x x x          
2 3 2 33 9 6 3 2 11 6x x x x x x x          
Bài 3. Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x: 
       ) 5 2 1 3 5 1 17 3a C x x x x x        
       ) 6 5 8 3 1 2 3 9 4 3b D x x x x x        
Hướng dẫn 
a) Ta có : 
2 25 5 2 2 5 15 3 17 51C x x x x x x x          
50C   
Vậy biểu thức 50C   không phụ thuộc vào x. 
2 2) 6 48 5 40 6 9 2 3 36 27b D x x x x x x x          
13D   
Vậy giá trị biểu thức 13D   không phụ thuộc vào giá trị của biến x. 
Bài 4. Tìm x, biết : 
     )5 3 7 5 1 2 25a x x x x      
     )3 7 5 1 3 2 13b x x x x       
Hướng dẫn 
2 2)5 35 15 105 5 10 2 25a x x x x x x        
41 107 25x   
41 82x   
2x  
2 2)3 15 21 105 3 3 2 13b x x x x x        
5 103 13x    
5 90x  
18x   
Bài 5. Rút gọn và tính giá trị biểu thức: 
     ) 4 5 3 2 3 2 2a A x x x x      tại 2x   
   ) 5 4 4 5b B x x y y y x    tại 1 1;
5 2
x y    
Hướng dẫn 
a) Ta có : 
2 212 8 15 10 3 6 2 4A x x x x x x        
217 29 14x x    
Với 2x   , thay vào biểu thức ta có : 
   217 2 29 2 14A       
68 58 14    
140  
b) Ta có : 
   5 4 4 5B x x y y y x    
2 25 20 4 20x xy y xy    
2 25 4x y  
Thay 1 1;
5 2
x y    vào biểu thức ta có ; 
2 21 1 1 1 65 4. 5. 4.
5 2 25 4 5
B                
Bài 6. Tính giá trị biểu thức: 
6 5 4 3 2) 2021 2021 2021 2021 2021 2021a A x x x x x x       tại 2020x  
10 9 8 2) 20 20 ... 20 20 20b B x x x x x       với 19x   
Hướng dẫn 
a) Với 2020x  nên ta thay 2021 1x  vào biểu thức , ta có : 
         6 5 4 3 21 1 1 1 1 1A x x x x x x x x x x x x             
6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1x x x x x x x x x x x x              
b) Với 19x   nên ta thay 20 1x   vào biểu thức, ta có : 
         10 9 8 21 1 ... 1 1 1B x x x x x x x x x x                 
10 10 9 9 8 8 2 2... 1x x x x x x x x x x            
1 
Bài 7. Tìm các hệ số a, b, c biết: 
 2 2 4 3 2)2 2 4 6 20 8a x ax bx c x x x     đúng với mọi x; 
  2 3 2) 2 2b ax b x cx x x      đúng với mọi x. 
Hướng dẫn 
 2 2 4 3 2)2 2 4 6 20 8a x ax bx c x x x     
 4 3 2 4 3 22 4 8 6 20 8 1ax bx cx x x x      
(1) đúng với mọi x 
2 6 3
4 20 5
8 8 1
a a
b b
c c
  
       
   
  2 3 2) 2 2b ax b x cx x x      
3 2 2 3 22 2 2ax bx acx bcx b ax x x         
     3 2 3 22 2 2 2ax b ac x a bc x b x x         
(2) đúng với mọi x 
 
11
1
12 2
1
1 1. 11
2
2 1 02 0
aa
a
bb
b
cb ac
c
ca bc
                         
Bài 8. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì: 
    2 22 3 1 12 8A n n n n n       chia hết cho 5 
Hướng dẫn 
Biến đổi đa thức, ta có : 
    2 22 3 1 . 12 8A n n n n n       
2 3 2 32 6 3 2 12 8n n n n n n n         
25 5 10 5n n    
Bài 9. Đặt 2x a b c   . Chứng minh rằng: 
         2x a x b x b x c x c x a ab bc ca x            
Hướng dẫn 
Xét vế trái: 
        x a x b x b x c x c x a        
2 2 2x ax bx ab x bx cx bc x ax cx ca            
 23 2ab bc ca x x a b c       
23 2 .2ab bc ca x x x     
2ab bc ca x    
Vế trái bằng vế phải suy ra điều chứng minh. 
Bài 10. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ab bc ca abc   và 1a b c   
Chứng minh rằng :    1 1 1 0a b c    
Hướng dẫn 
Ta có       1 1 1 1 1a b c a bc b c        
1abc ab ac a bc b c        
1abc ab bc ca a b c        
    1abc ab bc ca a b c        
1 1 0abc abc     
C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN 
Dạng 1: Rút gọn biểu thức 
Bài 1: Làm tính nhân 
a)   22 3 1 5 2x x x   b)   2 225 10 4 5 2x xy y x y   
Bài 2: Rút gọn biểu thức 
a)     25 5 3 7x x x x     b)     2 24 1 2 3x x x x x      
c)       5 3 2 1 3x x x x      d)      1 2 5 2x x x x     
Bài 3: Rút gọn biểu thức 
a)     2 5 3 1 6 3x x x x    b)       2 3 4 1 2x x x x      
c)      3 2 2 5 4 4x x x x     d)     2 21 1 5x x x x x     
Dạng 2: Tìm giá trị chưa biết 
Bài 4: Tìm x biết 
a)     4 5 1 4 3 5x x x x     b)      2 1 2 3 2 7 3x x x x      
c)      3 4 1 1 10x x x x      d)     8 3 8 1 1 20x x x x     
Bài 5: Tìm x biết 
a)     2 5 1 5 3 5x x x x     b)      4 1 3 7 4 1 15x x x x      
c)      3 5 1 3 1 1 4x x x x x       d)    2 2 24 7 4 5 28 13x x x x x      
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức 
Bài 6: Tính nhanh giá trị biểu thức 44443.44448.44441 44445.44440.44447A   
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức 
a)      5 7 2 3 7 2 4A x x x x      tại 2x  
b)      9 2 3 2 7 5B x x x x      tại 1
2
x  
c)      5 4 3 2 2 3 2C x x x x        tại 2x   
Bài 8: Tính giá trị của biểu thức      3 5 2 1 4 1 3 2x x x x       tại 2x  
Bài 9: Tính giá trị biểu thức : 
a) 6 5 4 3 22021 2021 2021 2021 2021 2021      A x x x x x x tại 2020x 
b) 10 9 8 220 20 20 20 20     B x x x x x với 19 x 
Dạng 4: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến 
Bài 10: Chứng tỏ rằng các đa thức sau không phụ thuộc vào biến: 
      3 5 2 11 2 3 3 7A x x x x      
    5 2 3 – 2 – 3 7B x x x x x     
       2 24 – 6 – 2 3 5 – 4 3 – 1C x x x x x x x    
     .x y z yz y z x zx z y xD        
Dạng 5: Bài toán nâng cao 
Bài 11: Chứng minh đẳng thức 
a)  2 2 2 2 2   2 2x y z x y z xy yz zx      
b)  2 2 2 2 2 2 2x y z x y z xy yz zx        
c)   3 2 32 4 4– –x y x x y xy y x y    
d)   4 3 2 2 3 4 5 5– –x y x x y x y xy y x y     
Bài 12: a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì    2 2(2 ). 3 1 12 8      A n n n n n chia 
hết cho 5 
b) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn   ab bc ca abc và 1  a b c . Chứng minh rằng: 
( 1).( 1).( 1) 0a b c    . 
HƯỚNG DẪN 
Bài 1 a)   2 3 22 3 1 5 2 10 11 11 2x x x x x x       
b)   2 2 3 325 10 4 5 2 125 8x xy y x y x y     
Bài 2: Rút gọn biểu thức 
a)      2 2 3 2 3 25 5 3 7 5 25 7 3 21 8 18 21x x x x x x x x x x x x                
b)     2 2 3 2 3 2 3 24 1 2 3 4 4 4 3 2 6 3 6 6x x x x x x x x x x x x x x                 
c)       2 2 25 3 2 1 3 3 5 15 2 6 3 7 12x x x x x x x x x x x x                  
d)       2 21 2 5 2 2 2 5 2 10 2 8x x x x x x x x x x x                
Bài 3: Rút gọn biểu thức 
a)      2 5 3 1 6 3 5 5x x x x x      
b)         22 3 4 1 2 8 14x x x x x x         
c)       23 2 2 5 4 4 2 68x x x x x        
d)     2 21 1 5 5 1x x x x x x        
Bài 4: Tìm x biết 
     )4 5 1 4 3 5
13 8
8
13
a x x x x
x
x
    
  
 
     ) 2 1 2 3 2 7 3
4 20 0
5
b x x x x
x
x
     
   
 
     ) 3 4 1 1 10 23c x x x x x         
d)      18 3 8 1 1 20 24 12
2
x x x x x x           
Bài 5: Tìm x biết 
a)      32 5 1 5 3 5 4 3
4
x x x x x x         
b)       254 1 3 7 4 1 15 18 25
18
x x x x x x          
c)        3 5 1 3 1 1 4 4 5 4 0x x x x x x x             
d)    2 2 2 2 2 134 7 4 5 28 13 28 20 28 13 20x x x x x x x x x            
Bài 6: Đặt 44443a  do đó 
       5 2 2 3 4 24A a a a a a a        
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức 
a)       25 7 2 3 7 2 4 3 27 13A x x x x x x         
tại 2x  ta có 23.2 27.2 13 53A     
b)      9 2 3 2 7 5 19 43B x x x x x         
tại 1
2
x  ta có 1 6719. 43
2 2
B     
c)       25 4 3 2 2 3 2 17 29 14C x x x x x x            
tại 2x   ta có    217. 2 29. 2 14 140C         
Bài 8 
2 2
2
6 3 10 5 12 8 3 2
18 12 7 (*)
x x x x x x
x x
        
  
2 2x x    
Thay 2x   vào biểu thức (*) ta có:  218.2 12. 2 7 89 ; 41      
Vậy GT của biểu thức A tại 2x  là 89 hoặc 41 
Bài 9: a) Với 2020x nên ta thay 2021 1 x vào biểu thức, ta có: 
         6 5 4 3 21 1 1 1 1 1 1A x x x x x x x x x x x x              
b) Tượng tự ta cũng tính được 1B  
Bài 10: Chứng tỏ rằng các đa thức sau không phụ thuộc vào biến: 
      3 5 2 1 2 73 3 21 7A x x x x      
    5 2 3 – 2 – 3 7 15B x x x x x      
       2 24 – 6 – 2 3 5 – 4 243 – 1C x x x x x x x     
      0x y z yz y zD x zx z y x        
Bài 11: Hs biến đổi VT=VP 
Bài 12: Biến đổi: 25 5 10 5A n n    (t/c chia hết của một tổng) 
b) ( 1)( 1)a bc b c     1abc ab ac a bc b c       
1abc ab bc ca a b c        ( ) ( ) 1abc ab bc ca a b c        
1 1 0abc abc     . 
========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========