Giáo án Dạy thêm Toán 8

 Buổi 1 
Nhân đơn thức với đa thức
Đa thức với đa thức
I Mục tiêu
	- Rèn luyện cho học sinh các phép toán nhân đơn thức với đa thức và đa thức với đa thức. Chú ý kỹ năng về dấu, quy tắc dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế.
 - Rèn cách nhận biết hình thang, các yếu tố chứng minh liên quan đến góc.
	- Rèn kỹ năng tính toán, chứng minh cho học sinh
II- Tiến trình lên lớp
 A Đại số
Lý thuyết
GV cho học sinh nhắc lại:
Quy tắc nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức
Quy tắc dấu ngoặc
Quy tắc chuyển vế
 HS trả lời theo yêu cầu của GV
Bài tập
Bài tập 1: Làm tính nhân
 a, (x2 + 2xy – 3 ) . ( - xy )
 b, x2y ( 2x2 – xy2 – 1 )
 c, ( x – 7 )( x – 5 )
 d, ( x- 1 )( x + 1)( x + 2 )
Gv cho 4 hs lên bảng
Hs lên bảng
 	Gợi ý : phần d nhân hai đa thức đầu với nhau sau đó nhân với đa thức thứ ba.
Gv chữa lần lợt từng câu. Trong khi chữa chú ý học sinh cách nhân và dấu của các hạng tử, rút gọn đa thức kết quả tới khi tối giản.
Kết quả: a, - x3y – 2x2y2 + 3xy
 b, x5y – x3y3 – x2y
 c, x2 – 12 x + 35
 d, x3 + 2x2 – x – 2
Bài tập 2: Rút gọn các biểu thức sau
 a, x( 2x2 – 3 ) – x2( 5x + 1 ) + x2
 b, 3x ( x – 2 ) – 5x( 1 – x ) – 8 ( x3 – 3 )
Gv hỏi ta làm bài tập này nh thế nào?
Hs: Nhân đơn thức với đa thức 
 Thu gọn các hạng tử đồng dạng
Gv lưu ý học sinh đề bài có thể ra là rút gọn, hay tính, hay làm tính nhân thì cách làm hoàn toàn tơng tự.
Cho 2 học sinh lên bảng
Gọi học sinh dưới lớp nhận xét, bổ sung
Kết quả: a, -3x2 – 3x
 b, - 11x + 24
Bài tập 3: Tìm x biết
a, 2x ( x – 5 ) – x( 3 + 2x ) = 26
b, 3x ( 12x – 4) – 9x( 4x – 3 ) = 30
c, x ( 5 – 2x ) + 2x( x – 1) = 15
Gv hướng dẫn học sinh thu gọn vế trái sau đó dùng quy tắc chuyển vế để tìm x.
Gọi 1 hs đứng tại chỗ làm câu a.
Gv sửa sai luôn nếu có
a, 2x( x – 5 ) – x ( 3 + 2x ) = 26
 2x.x – 2x.5 – x.3 – x.2x = 26
 2x2 – 10x – 3x – 2x2 = 26
 ( 2x2 – 2x2 ) + ( -10x – 3x ) = 26
 -13x = 26
 x = 26:( -13)
 x = -2
vậy x = -2
Gv cho học sinh làm câu b,c tương tự . Hai em lên bảng
Chữa chuẩn
 Kết quả b, x = 2
 c, x = 5
Bài tập 4: Chứng minh rằng
 a, ( x – 1 )( x2 + x +1 ) = x3 – 1
 b, ( x3 + x2y + xy2 + y3 )( x – y ) = x4 – y4
Gv hỏi theo em bài này ta làm thế nào
Hs trả lời: ta biến đổi vế trái thành vế phải
Gv lưu ý học sinh ta có thể biến đổi vế phải thành vế trái, hoặc biến đổi cả hai vế cùng bằng biểu thức thứ 3
 Cho học sinh thực hiện 
Kết quả : a, ( x – 1 )( x2 + x +1 )
 = x.x2 + x.x +x.1 – 1.x2 – 1.x – 1.1
 = x3 + x2 + x - x2 – x – 1
 = x3 + ( x2 – x2) + ( x – x ) – 1
 = x3 - 1
 Vậy vế trái bằng vế phải
 b, làm tương tự
Buổi 2
Hằng đẳng thức 
 I.Mục tiêu
-Luyện tập các kiến thức về hằng đẳng thức 
-Làm các bài toán áp dụng HĐT 1,2,3
 II. Các hoạt động dạy học.
 1. Nêu tên và công thức của bảy hằng đẳng thức đã học.
 Hs: 1. Bình phương một tổng
 (A+B)2= A2+ 2AB + B2
 2. Bình phương một hiệu
 (A-B)2= A2- 2AB - B2
 3. Hiệu hai bình phương
 A2- B2= (A+B)(A-B)
 4.Lập phương một tổng
 (A+B)3= A3+ 3A2B+3A B2+B3
 5. Lập phương một hiệu
 (A-B)3 = A3- 3A2B+3A B2-B3
 6. Tổng hai lập phương
 A3+B3=(A+B)( A2- AB + B2)
 7. Hiệu hai lập phương
 A3-B3=(A-B)( A2+AB + B2)
 2. Bài tập:
Dạng 1: Trắc nghiệm 
Điền vào chỗ ... để được các khẳng định đúng.
a/ (...+...)2 = x2+ ...+ 4y4
b/ (...- ...)2 = a2 – 6ab + ...
c/ (...+...)2 = ... +m + 
d/ 25a2 - ... = ( ...+) ( ...- )
Dạng 2: Dùng HĐT triển khai các tích sau.
1/ (2x – 3y) (2x + 3y)
2/ (1+ 5a) (1+ 5a)
3/ (2a + 3b) (2a + 3b)
4/ (a+b-c) (a+b+c)
5/ (x + y – 1) (x - y - 1)
Dạng 3: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức 
1/ M = (2x + y)2 – (2x + y) (2x - y) y(x - y) với x= - 2; y= 3.
2/. N = (a – 3b)2 - (a + 3b)2 – (a -1)(b -2 ) với a =; b = -3.
3/ P = (2x – 5) (2x + 5) – (2x + 1)2 với x= - 2005.
4/ Q = (y – 3) (y + 3)(y2+9) – (y2+2) (y2 - 2).
Dạng 4: Tìm x, biết:
1/ (x – 2)2- (x+3)2 – 4(x+1) = 5.
2/ (2x – 3) (2x + 3) – (x – 1)2 – 3x(x – 5) = - 44
3/ (5x + 1)2 - (5x + 3) (5x - 3) = 30.
4/ (x + 3)2 + (x-2)(x+2) – 2(x- 1)2 = 7.
Dạng 5. So sánh.
a/ A=2005.2007 và B = 20062
b/ B = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) và B = 232
c/ C = (3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1) và B= 332-1
Dạng 6: Tính nhanh. 
a/ 1272 + 146.127 + 732
b/ 98.28 – (184 – 1)(184 + 1)
c/ 1002- 992 + 982 – 972 + ... + 22 – 12 
e/ 
f/ (202+182+162+ ... +42+22)-( 192+172+ ... +32+12)
Buổi 3
 Hình thang – Hình thang cân
I Mục tiêu
- Rèn kỹ năng tính toán, chứng minh cho học sinh
- Rèn cách nhận biết hình thang, các yếu tố chứng minh liên quan đến góc.
II- Tiến trình lên lớp
Bài 1 Cho hình thang ABCD đáy AB, DC có góc A trừ góc D bằng 200 góc B bằng hai lần góc C. Tính các góc của hình thang.
Gv cho học sinh đọc đề vẽ hình ghi gt, kl 
Gt: ABCD, AB // CD, 
Kl: Tính góc A, B, C, D
Gv hỏi: Để tính góc A, D ta dựa vào yếu tố nào trong gt
Hs: trả lời
Gv hỏi: Em tính được góc A cộng góc D không, vì sao
Hs trả lời: góc A cộng góc D bằng 180o là hai góc kề một cạnh
Gv cho hs tính góc A, D
Ta có
 Gv cho học sinh tự tính góc B, C
Bài tập 2: Cho tam giác ABC các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I . qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB, AC ở D và E.
a, Tìm các hình thang trong hình vẽ
b, Chứng minh rằng hình thang BDEC có một cạnh đáy bằng tổng hai cạnh bên.
Gv cho hs đọc đề và vẽ hình.
Hs thực hiện
Chứng minh
a, Gv cho học sinh chỉ các hình thang trên hình vẽ. Giải thích vì sao là hình thang.
Hs : - Tứ giác DECB là hình thang vì có DE song song với BC.
Tứ giác DICB là hình thang vì DI song song với BC
Tứ giác IECB là hình thang vì EI song song với BC
b, Gv :? Câu b yêu cầu ta làm gì
 Hs trả lời: DE = BD + CE
Gv? DE = ? 
Hs: DE = DI + IE
Gv cho học sinh chứng minh BD = DI, CE + IE
Hs: thảo luận nhóm nhỏ để chứng minh
 Ta có DE // BC nên ( so le trong)
 Mà (do BI là phân giác)
 Nên 
 tam giác BDI cân tại D (1)
Chứng minh tương tự ta có IE = EC (2)
Từ 1 và 2 ta có DE = BD + CE
 Gv giải thích cho học sinh hiểu tại sao ta không chứng minh
 BC = BD + CE
 Bài 3: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Đường thẳng EF cắt BD ở I, cắt AC ở K.
a, Chứng minh rằng AK = KC; BI = ID
b, Cho AB = 6 cm, CD = 10cm. Tính các độ dài EI, KF, IK
 Gv cho hs đọc đề, vẽ hình
Gv hỏi: nêu hướng chứng minh câu a
Hs: ta chứng minh EF là đường trung bình của hình thang
 Suy ra EF // AB // CD
 Tam giác ABC có BF = FC và FK // AB nên AK = KC
 Tam giác BDC có AE = ED và EI // AB nên BI = ID
Gv cho học sinh trình bày hoàn chỉnh chứng minh. Gv quan sát nhắc nhở học sinh làm bài.
Hs làm bài.
b, Gv gọi 1 học sinh đứng tại chỗ làm, ghi bảng.
	Vì FE là đường trung bình của hình thang ABCD
Suy ra FE = 1/2 ( AB + DC ) ( tính chất đường TB )
 = 1/2 ( 6 + 10 ) = 8 cm
Trong tam giác ADB có 
 EI là đường trung bình ( vì EA = ED, FB = FC )
Suy ra EI = 1/2 AB ( t/c đường trung bình )
 EI = 1/2 . 6 = 3 cm
Trong tam giác BAC có KF là đường trung bình ( FB = FC , KA = KC )
 Suy ra KF = 1/2 AB = 1/2 . 6 = 3 cm
Lại có: EI + IK + KF = FE
 3 + IK + 3 = 8
Suy ra IK = 8 – 3 - 3 = 2 cm 
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN
Tứ giác BMNC là hình gì ? vì sao ?
B
C
M
N
A
1
2
1
2
Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng = 400
GV cho HS vẽ hình , ghi GT, KL
a) DABC cân tại A => 
mà AB = AC ; BM = CN => AM = AN => DAMN cân tại A
=> 
Suy ra do đó MN // BC
Tứ giác BMNC là hình thang, lại có nên là hình thang cân
b) 
Buổi 4,5
Hằng đẳng thức 
Bài 1:Điền vào chỗ ... để được khẳng định đúng.(áp dụng các HĐT)
1/ (x-1)3 = ...	2/ (1 + y)3 = ...
3/ x3 +y3 = ...	4/ a3- 1 = ...
5/ a3 +8 = ...	6/ (x+1)(x2-x+1) = ...
7/ (x -2)(x2 + 2x +4) = ...	8/ (1- x)(1+x+x2) = ...
9/ a3 +3a2 +3a + 1 = ...	10/ b3- 6b2 +12b -8 = ...
Bài 2: Thực hiện tính 
1/ (x+y)3+(x-y)3
2/ (x+3)(x2-3x + 9) – x(x – 2)(x +2)
3/ (3x + 1)3
4/ (2a – b)(4a2+2ab +b2)
Bài 3: Chứng minh đẳng thức.
1/ (x + y)3 = x(x-3y)2 +y(y-3x)2
2/ (a+b)(a2 – ab + b2) + (a- b)(a2 + ab + b2) =2a3
3/ (a+b)(a2 – ab + b2) - (a- b)(a2 + ab + b2) =2b3
4/ a3+ b3 =(a+b)[(a-b)2+ ab]
5/ x3- y3+xy(x-y) = (x-y)(x+y)2
6/ x3+ y3- xy(x+y) = (x+ y)(x – y)2
Bài 4: Tìm x? Biết:
1/ (x+3)(x2-3x + 9) – x(x – 2)(x +2) = 15.
2/ (x+2)3 – x(x-3)(x+3) – 6x2 = 29.
Bài 5: Bài tập tổng hợp.
Cho biểu thức : M = (x- 3)3 – (x+1)3 + 12x(x – 1).
a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị của M tại x = -
c) Tìm x để M = -16.
Bài giải sơ lược :
a) M = x3 -9x2 + 27x – 27 – (x3 + 3x2 +3x +1) + 12x2 – 12x
 = x3 -9x2 + 27x – 27 – x3 - 3x2 -3x -1 + 12x2 – 12x
 = 12x – 28
b) Thay x = - ta được : 
 M = 12.( -) – 28 = -8 – 28 = - 36.
c) M = -16 12x – 28 = -16
 12x = - 16 +28
 12x = 12 
 x = 1.
Vậy với x = 1 thì M = -16.
Baứi 6: Ruựt goùn bieồu thửực 
a/ (x+y)2 + (x - y)2	ẹaựp soỏ:	a/ 2(x2+y2)
b/ 2(x-y)(x+y)+(x+y)2+(x-y)2	b/ 4x2
c/ (x-y+z)2 + (z-y)2 + 2 (x-y+z) ( y-z)
(hửụựng daón caõu c, vỡ (z-y)2 -(y-z)2
Do ủoự ta ủửụùc: [(x-y+z)+(y-z)]2 =x2
Baứi 7: Tớnh giaự trũ cuỷa caực bieồu thửực sau:
a/ x2 - y2 taùi x = 87 vaứ y = 13	ẹaựp soỏ:	a/ 7400
b/ x3 - 3x2 +3x-1 taùi x = 101	b/ 1003 = 1000000
c/ x3 + 9x2 +27x + 27 taùi x = 97	c/ 1003 = 1000000
(hửụựng daón: ủửa veà daùng HẹT roài theỏ vaứo tớnh keỏt quaỷ).
Baứi 8: Chửựng minh raống:
a/ (a+b)(a2-ab+b2)+(a-b)(a2+ab+b2) = 2a3
b/ a3+b3 = (a+b) [(a-b)2+ab]
c/ (a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2
(Hửụựng daón: Bieỏn ủoồi caỷ 2 veỏ à keỏt luaọn)
Baứi 9: Chửựng toỷ raống:
a/ x2 - 6x + 10 > 0 x	ẹaựp soỏ:	a/ = (x-3)3+1 > x
b/ 4x - x2 -5<0 x	b/ = -(x2-4x+4)-1= -(x-2)2-1<0
Bài 10
a) Trắc nghiệm đúng ,sai.
Câu
 Các mệnh đề
Đúng(Đ) hay sai (S)
1
(x -2)(x2-2x+4) = x3 – 8
2
(2x – y)(2x + y) = 4x2-y2
3
(2x +3)(2x – 3) = 2x2 -9
4
9x2 – 12x +4 = (3x -2)2
5
x3 -3x2 + 3x +1 = (x-1)3
6
x2 – 4x +16 = (x-4)2
b) Điền vào chỗ ... để được các khẳng định đúng.
1/ ( ... +... )2 = 4x2 + ... +1.
2/ (2 –x)(... + ... + ...) = 8 – x3
3/ 16a2 - ... = ( ...+ 3)( ... – 3)
4/ 25 - ... +9y2 = ( ... - ...)2
Bài 11 
 Cho biểu thức : A = (x – 2)2 – (x+5)(x – 5)
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = 1.
c) Tính giá trị của biểu thức A tại x = -
Bài 12:. Tính nhanh
1) 20062 -36
2) 993 + 1 + 3(992+ 99)
Bài 13:(2 điểm) CMR Biểu thức sau có giá trị không âm
 a) B = x2- x +1.
 b) C = 2x2 + y2 -2xy – 10x +27.
Buổi 7,8,9
Phân tích Đa thức thành nhân tử
 A) . DAẽNG 1: Phaõn tớch ủa thửực thaứnh nhaõn tửỷ baống phửụng phaựp ủaởt nhaõn tửỷ chung:
	 1) Phaõn tớch caực ủa thửực sau thaứnh nhaõn tửỷ
3x – 3y
2x2 + 5x3 + x2y
14x2y – 21 xy2 + 28x2y2
x(y – 1 ) – y(y – 1)
10x(x – y) – 8y(y – x)
Giaỷi:
3x – 3y = 3(x – y)
2x2 + 5x3 + x2y = x2(2 + 5x + y)
14x2y – 21 xy2 + 28x2y2 = 7xy( 2x – 3y + 4xy)
x(y – 1 ) – y(y – 1) = (y – 1)(x – y)
10x(x – y) – 8y(y ... ch 1: Taựch soỏ haùng -7x thaứnh –x – 6x , ta coự :
	x3 – 7x – 6 = x3 – x – 6x – 6 
	 = (x3 – x) – (6x + 6)
	 = x(x + 1)(x – 1) – 6(x + 1)
	 = (x + 1)(x2 – x – 6)
ẹeồ tieỏp tuùc phaõn tớch ủa thửực x2 – x – 6 thaứnh nhaõn tửỷ , ta laùi taựch soỏ haùng – 6 thaứnh – 2 – 4 . Khi ủoự :
	x3 – 7x – 6 = (x + 1)(x2 – x – 2 – 4 )
	 = (x + 1)[(x + 2)(x – 2) – (x + 2)]
	 = (x + 1)(x + 2)(x – 3)
	 ° Caựch 2 : Taựch soỏ haùng – 7x thaứnh – 4x – 3x , ta coự:
	x3 – 7x – 6 = x3 – 4x – 3x – 6
	 = x( x + 2)(x – 2) – 3(x + 2)
	 = (x + 2)(x2 – 2x – 3)
Tieỏp tuùc taựch soỏ haùng – 3 cuỷa nhaõn tửỷ thửự hai thaứnh – 1 – 2 , Ta coự:
	x3 – 7x – 6 =(x + 2)(x2 – 1 – 2x – 2)
	 = (x + 2)[(x – 1)(x + 1) – 2( x + 1)]
	 = (x + 2)(x + 1)(x – 3 )
	 ° Caựch 3: Taựch soỏ haùng – 6 = 8 – 14 , Ta coự:
	x3 – 7x – 6 = x3 + 8 – 7x – 14 
	 = (x + 2)(x2 – 2x + 4) – 7(x + 2)
	 = (x + 2)(x2 – 2x – 3)
	Tieỏp tuùc taựch soỏ haùng – 3 thaứnh + 1 – 4 , Ta coự :
	x3 – 7x – 6 = (x + 2)(x2 – 2x + 1 – 4 )
	 = (x + 2)[(x – 1)2 – 22]
	 = (x + 2)(x + 1)(x – 3)
Duứng phửụng phaựp ủaởt aồn phuù , phaõn tớch ủa thửực thaứnh nhaõn tửỷ:
(x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 
4x(x + y)(x + y + z )(x + z) + y2z2
Giaỷi:
	ẹaởt: x2 + x + 1 = y , ta coự x2 + x + 2 = y + 1 . Ta coự:
 	(x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = y(y + 1) – 12 
	= y2 + y – 12 
	= y2 – 9 + y – 3 = (y – 3)(y + 3) + (y – 3)
	= (y – 3)(y + 4)
	Thay x2 + x + 1 = y , ta ủửụùc :
	(x2 + x + 1 – 3)( x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x – 2)( x2 + x + 5)
	 = [(x – 1)(x + 1) + (x – 1)]( x2 + x + 5)
	 = (x - 1)(x + 2)( x2 + x + 5)
b)4x(x + y)(x + y + z )(x + z) + y2z2 
 = 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2
 = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2
ẹaởt : x2 + xy + xz = m , ta coự :
 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2 = 4m(m + yz) + y2z2
	= 4m2 + 4myz + y2z2 = (2m + yz)2
Thay m = x2 + xy + xz , ta ủửụùc :
 (x + y)(x + y + z )(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 
	4) Duứng phửụng phaựp heọ soỏ baỏt ủũnh ủeồ :
a) Phaõn tớch ủa thửực x3 – 19x – 30 thaứnh tớch hai ủa thửực baọc nhaỏt vaứ baọc hai
b) Phaõn tớch ủa thửực x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 
Giaỷi:
Keỏt quaỷ caàn phaỷi tỡm coự daùng :
(x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac
Ta phaỷi tỡm boọ soỏ a , b , c thoỷa maừn:
 x3 – 19x – 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac
Vỡ hai ủa thửực naứy ủoàng nhaỏt , neõn ta coự: 
	 Vỡ a, c Z vaứ tớch ac = -30, do ủoự a, c 
	 Vaứ a = 2 , c = -15 , Khi ủoự b = -2 thoỷa maừn heọ thửực treõn . 
 ẹoự laứ boọ soỏ phaỷi tỡm, tửực laứ : x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15)
Deồ thaỏy raống 1 khoõng laứ nghieọm cuỷa ủa thửực neõn ủa thửực khoõng coự nghieọm nguyeõn , cuừng khoõng coự nghieọm hửừu tổ .
Nhử vaọy neỏu ủa thửực ủaừ cho phaõn tớch ủửụùc thaứnh thửứa soỏ thỡ phaỷi coự daùng 
 (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Suy ra :
Tửứ heọ naứy ta tỡm ủửụùc a = b = d = 1 , c = 5
	Vaọy x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = ( x2 + x + 1)(x2 + 5x + 1)
 5) Phaõn tớch ủa thửực sau thaứnh nhaõn tửỷ: x5 + x + 1
Giaỷi:
 ° Caựch 1
 	x5 + x + 1 = x5 + x4 + x3 – x4 – x3 – x2 + x2 + x + 1
	 = x3(x2 + x + 1) – x2(x2 + x + 1) + 1(x2 + x + 1)
	 = (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1)
 ° Caựch 2 : 
 x5 + x + 1 = x5 – x2 + x2 + x + 1 
	 = x2(x3 – 1) + 1(x2 + x + 1)
	 = x2(x – 1)(x2 + x + 1) + 1(x2 + x + 1)
 = (x2 + x + 1)[(x2(x – 1) + 1]
	 = (x2 + x + 1)[x3 – x2 + 1)
6)Phaõn tớch ủa thửực sau thaứnh nhaõn tửỷ : x2 – 8x + 12
Giaỷi:
 ° Caựch 1: x2 – 8x + 12 = x2 – 2x – 6x + 12
	 = (x2 – 2x) – (6x – 12)
	 = x(x – 2) – 6(x – 2)
	 = (x – 2)(x – 6) 
 ° Caựch 2 : x2 – 8x + 12 = (x2 – 8x + 16) – 4 
	 = (x – 4)2 - 22
	 = (x – 4 + 2)(x – 4 – 2 )
	 = (x – 2 )(x – 6)
 ° Caựch 3 : x2 – 8x + 12 = x2 – 36 – 8x + 48
	 = (x2 – 36) – (8x – 48)
	 = (x + 6)(x – 6) – 8(x – 6)
	 = (x – 6)(x + 6 – 8)
	 = (x – 6)(x – 2)
	 ° Caựch 4 : x2 – 8x + 12 = x2 – 4 – 8x + 16
	 = (x2 – 4) – (8x – 16)
	 = (x + 2)(x – 2) – 8(x – 2)
	 = (x – 2)(x + 2 – 8)
	 = (x – 2)(x – 6)
 ° Caựch 5: x2 – 8x + 12 = x2 – 4x + 4 – 4x + 8 
	 = (x2 – 4x + 4) – (4x – 8)
	 = (x – 2)2 – 4(x – 2)
	 = (x – 2)(x – 2 – 4)
	 = (x – 2)(x – 6)
 ° Caựch 6: x2 – 8x + 12 = x2 – 12x + 36 + 4x – 24 
	= (x2 – 12x + 36) + (4x – 24)
	= (x – 6)2 + 4(x – 6)
	= (x – 6)(x – 6 + 4)
	= (x – 6)(x – 2)
7)Phaõn tớch ủa thửực sau thaứnh nhaõn tửỷ : x2 + 4xy + 3y2
Giaỷi:
	 ° Caựch 1: x2 + 4xy + 3y2 = x2 + xy + 3xy + + 3y2
	 = (x2 + xy) + (3xy + + 3y2)
	 = x(x + y) + 3y(x + y)
	= (x + y)(x + 3y)
	 ° Caựch 2 : x2 + 4xy + 3y2 = x2 + 4xy + 4y2 – y2
	= (x2 + 4xy + 4y2) – y2
	= (x + 2y)2 – y2
	= (x + 2y + y)(x + 2y – y)
	= (x + 3y)(x + y)
 ° Caựch 3 : x2 + 4xy + 3y2 = x2 – y2 + 4xy + 4y2
	= (x2 – y2) + ( 4xy + 4y2)
	= (x + y)(x – y) + 4y(x + y)
	= (x + y)(x – y + 4y)
	= (x + y)(x + 3y)
	 ° Caựch 4 : x2 + 4xy + 3y2 = x2 – 9y2 + 4xy + 12y2
	= (x2 – 9y2) + (4xy + 12y2)
	= (x + 3y)(x – 3y) + 4y(x + 3y)
	= (x + 3y)(x – 3y + 4y)
	= (x + 3y)(x + y)
	 ° Caựch 5 : x2 + 4xy + 3y2 = x2 + 2xy + y2 + 2xy + 2y2
	= (x2 + 2xy + y2) + (2xy + 2y2)
	= (x + y)2 + 2y(x + y)
	= (x + y)(x + y + 2y)
	= (x + y)( x + 3y)
	 ° Caựch 6 : x2 + 4xy + 3y2 = x2 + 6xy + 9y2 – 2xy – 6y2
	= (x2 + 6xy + 9y2) – (2xy + 6y2)
	= (x + 3y)2 – 2y(x + 3y)
	= (x + 3y)(x + 3y – 2y)
	= (x + 3y)(x + y) 	
 ° Caựch 7 : x2 + 4xy + 3y2 = 4x2 + 4xy – 3x2 + 3y2
	= (4x2 + 4xy) – (3x2 – 3y2)
	= 4x(x + y) – 3(x + y)(x – y)
	= (x + y)(4x – 3x + 3y)
	= (x + y)(x + 3y)
 8)Phaõn tớch ủa thửực sau thaứnh nhaõn tửỷ: a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2)
Giaỷi:
° Caựch 1: a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) 
	= a3(b2 – c2) + b3[(c2 – b2) – (a2 – b2) ] + c3(a2 – b2)
	= a3(b2 – c2) + b3(c2 – b2) – b3(a2 – b2) + c3(a2 – b2)
	= (b2 – c2)(a3 – b3) – (a2 – b2)(b3 – c3)
	= (b + c)(b – c)(a – b)(a2 + ab + b2) – (a + b)(a – b)(b – c)(b2 + bc + c2)
	= (a – b)(b – c)[(b + c)(a2 + ab + b2) – (a + b)( b2 + bc + c2)]
	= (a – b)(b – c)(a2b + ab2 + b3 + a2c + abc + b2c – ab2 – abc – ac2 – b3 – b2c – bc2
	 = (a – b)(b – c)(a2b + a2c – bc2 – ac2)
	 = (a – b)(b – c)[b(a2 – c2) + ac(a – c)]
	 = (a – b)(b – c)[b(a – c)(a + c) + ac(a – c)]
	 	 = (a – b)(b – c)(a – c)(ab + bc + ac)
	 ° Caựch 2 : M = a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2)
 Xem M laứ ủa thửực bieỏn a , khi a = b thỡ M = 0 neõn M chia heỏt cho a – b . Do vai troứ cuỷa 
 a , b , c gioỏng nhau khi ta hoaựn vũ voứng quanh neõn M chia heỏt cho b – c , M chia heỏt cho c – a 
	Ta coự : M = (a – b)(b – c)(c – a)(ab + bc + ca). P
	Cho a = - 1 , b = -1 , c = 0 ta coự P = -1 
	Do ủoự : a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) = (a – b)(b – c)(a – c)(ab + bc + ca)
9)Tỡm x , bieỏt :
(2x – 1)2 – (x +3)2 = 0
5x(x – 3) + 3 – x = 0
Giaỷi:
	a) (2x – 1)2 – (x +3)2 = 0 [(2x – 1) + (x +3)][ (2x – 1) - (x +3) = 0
	 ( 2x – 1 + x +3)( 2x – 1 – x – 3 ) = 0 
	 (3x + 2)(x – 4 ) = 0 
5x(x – 3) + 3 – x = 0 5x(x – 3) – (x – 3) = 0
 	 (x – 3)(5x – 1) = 0 
10)Tỡm x , bieỏt :
(5 – 2x)(2x + 7) = 4x2 – 25
x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0
4(2x + 7) – 9(x + 3)2 = 0
(5x2 + 3x – 2 )2 = (4x2 – 3x – 2 )2 
Giaỷi
(5 – 2x)(2x + 7) – 4x2 + 25 = 0
(5 – 2x)(2x + 7) – (5 – 2x)(5 + 2x) = 0
 (5 – 2x)( 2x + 7 – 5 – 2x ) = 0
	(5 – 2x).2 	 = 0
	 5 – 2x	= 0
 x 	= 	
x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = 0
(x + 3)(x2 – 3x + 9 ) + ( x + 3)(x – 9) = 0 
(x + 3)( x2 – 3x + 9 + x – 9) = 0
(x + 3)(x2 – 2x) 	 = 0
x(x – 2)(x + 3) 	 = 0
4(2x + 7)2 – 9(x + 3)2 = 0 
[2(2x + 7)]2 – [3(x + 3)]2 = 0
(4x + 14)2 – (3x + 9)2 = 0 
 (4x + 14 + 3x + 9)(4x + 14 – 3x – 9 ) = 0
(7x + 23)(x + 5) = 0
(5x2 + 3x – 2 )2 = (4x2 – 3x – 2 )2
 	 (5x2 + 3x – 2 )2 - (4x2 – 3x – 2 )2 = 0
	 (5x2 + 3x – 2 + 4x2 – 3x – 2)( 5x2 + 3x – 2 – 4x2 + 3x + 2) = 0
	 (9x2 – 4 )(x2 + 6x) = 0
	 (3x – 2 )(3x + 2)x(x + 6) = 0
11)Chửựng minhraống: n3 – n chia heỏt cho 6 vụựi moùi n Z
Giaỷi:
	Ta coự : n3 – n = n(n2 – 1) = n(n – 1)(n + 1)
 ° Vụựi moùi n Z , khi chia n cho 2 xaỷy ra hai trửụứng hụùp : 
+ Trửụng hụùp 1: n chia heỏt cho 2 , khi ủoự tớch n(n – 1)(n + 1) chia heỏt cho 2 
+ Trửụng hụùp2: n chia heỏt cho 2 dử 1 , khi ủoự n – 1 chia heỏt cho 2 neõn tớch
 n(n – 1)(n + 1) chia heỏt cho 2
 ° Vụựi moùi n Z , khi chia n cho 3 xaỷy ra ba trửụứng hụùp:
	+ Trửụng hụùp 1: n chia heỏt cho 3 , khi ủoự tớch n(n – 1)(n + 1) chia heỏt cho 3
	+ Trửụứng hụùp 2 : n chia cho 3 dử 1 , khi ủoự n – 1 chia heỏt cho 3 neõn tớch chia
 heỏt cho 3 
 + Trửụứng hụùp 3: n chia cho 3 dử 2 , khi ủoự n + 1 chia heỏt cho 3 neõn tớch chia 
 heỏt cho 3 
	Vaọy trong moùi trửụứng hụùp n3 – n chia heỏt cho 2 vaứ 3 .
	Do 2 vaứ 3 laứ hai soỏ nguyeõn toỏ cuứng nhau .
	Suy ra : n3 – n chia heỏt cho 2 x 3 = 6 
 12) Cho a, b , c thoỷa maừn a + b + c = 0 . Chửựng minh raống : a3 + b3 + c3 = 3abc 
Giaỷi:
	° Caựch 1 : 
	a + b + c = 0 a + b = - c (a + b)3 = (- c)3
	 a3 + b3 + 3ab(a + b) = - c3 a3 + b3 + 3ab(- c) = - c3
	 a3 + b3 + c3 = 3abc
	 ° Caựch 2 :
	a + b + c = 0 a + b = - c - ab(a + b) = abc 
	 - a2b – ab2 = abc 
	Tửụng tửù: - b2c – bc2 = abc ; - c2a – ca2 = abc 
	Do ủoự : 3abc = - a2b – ab2 – b2c – bc2 – c2a – ca2
	 3abc = - a2(b + c) – b2(a + c) – c2(a + b)
	 3abc = - a2(-a) – b2(-b) – c2(-c)
	 a3 + b3 + c3 = 3abc 
	 ° Caựch 3 :
	a + b + c = 0 a + b = - c - c2(a + b) = c3
	 -a2c – bc2 = c3
	Tửụng tửù : -ab2 – cb2 = b3 ; -ba2 – ca2 = a3
	Do ủoự : -ab2 – cb2 – ab2 – cb2 – ba2 – ca2 = a3 + b3 + c3
	 - ac( c + a) – bc(c + b) – ab(b + a) = a3 + b3 + c3
	 -ac(-b) – bc(-a) – ab(-c) = a3 + b3 + c3
	 a3 + b3 + c3 = 3abc
13)Tớnh nhanh : 
x2 + vụi x = 49,75
x2 – y2 – 2y – 1 vụựi x = 93 , y = 6
Giaỷi:
x2 + = x2 + = = (x + 0,25)2
	Vụựi x = 48,75 thỡ (49,75 + 0,25)2 = 502 = 2500
+ Khaựi quaựt hoựa baứi toaựn :
 1) Phaõn tớch ủa thửực x3m + 2 + x3n + 1 + 1 ( m ,n N ) thaứnh nhaõn tửỷ 
 2) Cho ủa thửực : B = a4 + b4 + c4 – 2a2b2 – 2a2c2 – 2b2c2
	a) Phaõn tớch B thaứnh boỏn nhaõn tửỷ baọc nhaỏt 
	b) Chửựng minh raống neỏu a , b , c laứ soỏ ủo ủoọ daứi caực caùnh cuỷa moọt tam giaực thỡ b < 0
 3) Chửựng minh raống vụựi moùi soỏ nguyeõn n thỡ soỏ A = n3(n2 – 7)2 – 36n chia heỏt cho 105
+ ẹeà xuaỏt baứi taọp :
	1) Phaõn tớch caực ủa thửực sau thaứnh nhaõn tửỷ :
	a) x5 – x4 – x3 – x2 – x – 2 
	b) x8 + x6 + x4 + x2 + 1
	c) x8 + x7 + 1 
	d) x9 – x7 – x6 – x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 
	2) Phaõn tớch caực ủa thửực sau thaứnh nhaõn tửỷ baống phửụng phaựp ủaởt aồn phuù 
	a) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 
	b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 
	c) (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15
	d) (x2 + 3x + 1)( x2 + 3x + 2) – 6 
	3) Phaõn tớch caực ủa thửực sau thaứnh nhaõn tửỷ baống phửụng phaựp theõm , bụựt hoaởc taựch caực haùng tửỷ: 
	a) bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b)
	b) 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc 
	c) y(x – 2z)2 + 8xyz + x(y – 2z)2 – 2z(x + y)2