Giáo án Dạy thêm Phân thức Đại số

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1.Phân thức đại số:
- Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng , trong đó A, B là những đa thức và B khác 0.
A được gọi là tử thức (hay tử)
B được gọi là mẫu thức (hay mẫu)
- Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.
- Với hai phân thức và , ta nói , nếu A.D = B.C
2.Tính chất cơ bản của phân thức đại số:
* ( M là một đa thức khác 0)
* ( N là một nhân tử chung, N khác đa thức 0)
* 
3.Rút gọn phân thức:
- Cách biến đổi phân thức thành phân thức đơn giản hơn và bằng phân thức đã cho gọi là rút gọn phân thức.
- Muốn rút gọn một phân thức ta có thể làm như sau:
+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (nếu có)
4.Các phép tính về phân thức đại số:
+ Quy đồng mẫu thức.
+ Phép cộng các phân thức.
+ Phép trừ các phân thức.
+ Phép nhân các phân thức.
+ Phép chia các phân thức.
B.VÍ DỤ: 
*Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau:
a) 
Ta có: VT = 
b) 
VT = 
c) 
VT = VP
d) 
VT = VP
*Nhận xét: Khi giải bài tập dạng này ta cần chú ý:
- Thường biến đổi phân thức phức tạp hơn thành phân thức đơn giản hơn, thông thường bằng cách phân tích tử và mẫu của phân thức phức tạp hơn thành nhân tử, trong quá trình phân tích cần chú ý đến tử và mẫu của phân thức đơn giản hơn để làm xuất hiện các nhân tử tương ứng ở tử và mẫu như vậy.
- Nhận dạng các hằng đẳng thức đã học để làm bài tập nhanh hơn.
*Ví dụ 2: Rút gọn các phân thức sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
= 
e) 
= 
g) 
= 
*Ví dụ 3: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
a) A = 
A = = 
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến x.
b) B = 
B = = = 
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x.
*Ví dụ 4: Chứng minh rằng các biểu thức sau đây không thể rút gọn được nữa:
a) 
Ta thấy tử và mẫu không có nhân tử chung, nên không thể rút gọn được nữa.
b) 
Ta thấy tử và mẫu không có nhân tử chung, nên không thể rút gọn được nữa.
*Ví dụ 5: Tính giá trị của biểu thức sau:
a) A = tại x = 2.
Ta có: A = = 
Với x = 2, ta có: A = 
b) B = , tại x = 
B = 
Với x = , ta có:
B = 
*Ví dụ 6: Cộng các phân thức sau:
a) 
b) 
= 
c) 
= 
= 
d) 
= 
= 
*Ví dụ 7: Thực hiện phép cộng:
a) 
= 
b) 
= 
= 
= 
*Ví dụ 8: Con tàu du lịch “Sông Hồng” đưa khách từ Hà Nội đến Việt Trì. Sau đó nó nghỉ tại Việt Trì 2 giờ rồi quay về Hà Nội. Độ dài khúc sông từ Hà Nội đến Việt Trì là 70km. Vận tốc của dòng nước là 5km/h. Vận tốc thực của con tàu (tức là vận tốc trong nước yên lặng) là x km/h.
a) Hãy biểu diến qua x:
- Thời gian ngược từ Hà Nội đến Việt Trì;
- Thời gian xuôi từ Việt Trì về Hà Nội;
- Thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi về tới Hà Nội.
b) Tính thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi con tàu về tới Hà Nội, biết rằng vận tốc lúc ngược dòng của con tàu là 20km/h.
Giải:
a) Thời gian ngược từ Hà Nội đến Việt Trì là : (h)
- Thời gian xuôi từ Việt Trì về Hà Nội: (h)
- Thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi về tới Hà Nội:
 + + 2 
b) Vận tốc lúc ngược dòng của con tàu là 20 km/h , Do đó vận tốc thực của con tàu là x = 20 + 5 = 25 
Thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi con tàu về tới Hà Nội là :
 7 giờ 50 phút.
*Ví dụ 9: Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức sau :
a) A = , với a = -2 ; b = 
A = 
= 
= 
Với a = -2 ; b = ta có:
A = 
b) B = , với x = 2
B = 
= 
Với x = 2 , thì B = 
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: Rút gọn phân thức
a) b) c) d) e) f) 
Bài 2: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) b) 
 Bài 3: Thực hiện phép tính
Bài 4: Thực hiện phép tính
a) b) 
c) d) - 
Bài 5 Tìm x biết :
a) 
b) Giá trị biểu thức bằng 0.
Bài 6 Thực hiện phép chia:
a) b) c) d) 
Bài 7: Cho biểu thức:
P =
a/ Tìm các giá trị của x để biểu thức P xác định
b/ Rút gọn P.
Bài 8: Cho biểu thức: 
Với giá trị nào của x thì biểu thức A có nghĩa?
Rút gọn biểu thức A
Tìm giá trị của x để A = ?
Bài 9: Cho biểu thức A = 
a) Rút gọn A.
b) Tìm giá trị của A tại x=3; x = -1.
c) Tìm x để A = 2.
Bài 10: Cho biểu thức B =
a) Tìm ĐK để giá trị của biểu thức có giá trị xác định.
b) Rút gọn B.
Bài 11: Cho biểu thức:
P =
a/ Tìm các giá trị của x để biểu thức P xác định
b/ Rút gọn P.
*Bài tập 1: Rút gọn các phân thức sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
g) 
*Bài tập 2: Rút gọn phân thức:
a) 
= 
= 
= 
Khai thác bài toán: 
- Ta có thể thay đổi vị trí của tử và mẫu.
- Hoặc rút gọn phân thức: 
- Bài toán tổng quát: Rút gọn phân thức:
và phân thức tạo thành bởi việc thay đổi vị trí như trên.
b) 
= 
c) 
= 
= 
= 
*Bài tập 3: Chứng tỏ rằng các phân thức sau đây không thể rút gọn được nữa:
a) 
Tử và mẫu không có nhân tử chung nên không thể rút gọn được nữa.
b) 
Tử và mẫu không có nhân tử chung nên không thể rút gọn được nữa.
c) 
= 
Tử và mẫu không có nhân tử chung nên không thể rút gọn được nữa.
*Bài tập 4: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = , tại x = 103.
A = 
Tại x = 103 ta có: A = 
b) B = , tại x = 2.
B = 
Tại x = 2, ta có: B = 
c) C = , tại x = - 5
C = 
= 
Tại x = - 5 ta có:
C = 
*Bài tập 6: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:
a) = 
b) 
c) 
d) = 
= 
*Bài tập 7: Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức xác định:
a) ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ 
b) ĐKXĐ: x ≠ - 
c) ; ĐKXĐ: x ≠ 
d) . ĐKXĐ: x ≠ 2y ; x ≠ - 2y 
*Bài tập 8: Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức được xác định?
b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1?
c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng ?
Giải:
a) Ta có: 
; ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ - 5 
b) Trước hết ta cần rút gọn P:
Để P = 1 thì: 
c) Để (không thỏa mãn điều kiện)
Vậy không có giá trị nào để P = 
Phần này giáo viên nên lưu ý cho học sinh: Sau khi tìm được giá trị của x thì cần đối chiếu điều kiện xác định để loại các giá trị không thỏa mãn.
*Bài tập 9: Chứng minh đẳng thức:
Ta xét vế trái:
VT = 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) 
Xét vế trái:
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) 
Ta xét vế trái:
Vậy đẳng thức được chứng minh.
*Bài tập 10: Tìm các giá trị nguyên của biến x để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên:
a) 
Để có giá trị nguyên thì 2 phải chia hết cho x – 3 hay x – 3 phải là ước 
của 2.
Ta có: Ư(2) = {-1 ; 1 ; -2; 2}
+ Với x – 3 = - 1 x = 2
+ Với x – 3 = 1 x = 4 
+ Với x – 3 = -2 x = 1
+ Với x – 3 = 2 x = 5
Vậy với x = 1; 2; 4; 5 thì biểu thức có giá trị nguyên.
b) 
Tương tự phần a) 
Để nguyên thì 3 phải chia hết cho x + 2 hay x + 2 là ước của 3
Ta có: Ư(3) = {- 1; 1; 3; - 3}
+ Với x + 2 = -1 x = - 3 
+ Với x + 2 = 1 x = -1 
+ Với x + 2 = 3 x = 1
+ Với x + 2 = - 3 x = - 5
Vậy với x = -5 ; -3; -1; 1 thì biểu thức có giá trị nguyên.
c) 
Ta có: = 
Để nguyên thì x – 4 phải là ước của 131 
Ư(131) = { - 1; 1 ; 131; - 131} 
+ Với x – 4 = - 1 x =3 
+ Với x – 4 = 1 x =5 
+ Với x – 4 = 131 x = 135 
+ Với x – 4 = - 131 x = - 127 
d) 
Ta có: 
Vậy để nguyên thì 3x + 2 là ước của 3
Ta có: Ư(3) = { 1; -1; 3; - 3} 
+ Với 3x + 2 = 1 x = - (không phải là số nguyên)
+ Với 3x + 2 = -1 x = - 1 
+ Với 3x + 2 = 3 x = (không phải là số nguyên)
+ Với 3x + 2 = -3 x = - (không phải là số nguyên)
Với x = - 1; thì biểu thức đã cho xác định.
Vậy với x = - 1 thì biểu thức đã cho có giá trị nguyên.
*Bài tập 11: 
a) Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức:
 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
b) Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức:
 có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Giải:
a) Ta có: Với điều kiện: x ≠ 0; x ≠ 2 :
Ta thấy: (x – 1)2 ≥ 0 , với mọi giá trị của x.
Do đó: (x – 1)2 + 2 ≥ 2, với mọi x
GTNN của biểu thức trên bằng 2. Giá trị này đạt được khi x – 1 = 0 , hay x = 1 
(x =1 thỏa mãn ĐKXĐ)
b) Với điều kiện x ≠ 0; x ≠ -2 :
Ta có: 
 = - 1 – (x + 1)2 
Ta thấy: - (x + 1)2 ≤ 0, với mọi x. Do đó: - 1 – (x + 1)2 ≤ - 1 với mọi x.
Suy ra GTLN của biểu thức là bằng – 1. Giá trị này đạt được khi x + 1 = 0 
hay x = - 1 ; (x = -1 thỏa mãn ĐKXĐ).
D.BÀI TẬP NÂNG CAO:
*Bài tập 1: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn đồng thời các đẳng thức sau:
x – y + z = 2 (1) và 2x2 – xy + x – 2z = 1 (2)
Giải:
Ta có: x – y + z = 2 z = 2 – x + y 
Thay vào (2) ta có: 2x2 – xy + x – 2(2 – x + y) = 1 
2x2 – xy + x – 4 + 2x – 2y – 1 = 0 
2x2 – xy + 3x – 2y – 5 = 0 y(x+2) = 2x2 + 3x – 5 
y là số nguyên khi x + 2 là ước của 3
Ư(3) = { - 1; 1; 3; -3 } 
+ Với x + 2 = -1 x = - 3 ; y = -6; z = - 1
+ Với x + 2 = 1 x = - 1 ; y = 0 ; z = 3
+ Với x + 2 = 3 x = 1 ; y = 0; z = 1
+ Với x + 2 = - 3 x = - 5; y = -10 ; z = -3 
*Bài tập 2: Cho xyz =1 . Tính: 
Từ xyz =1 . Thay vào M ta có:
*Bài tập 3: 
a) Cho 2b = 1 + ab. Chứng minh: (*)
 Từ 2b = 1 + ab 2b – ab = 1 b = . Thay vào vế trái của (*) ta được:
Vậy: 2b = 1 + ab thì 
b) Cho . Chứng minh: 
Từ 
c) Cho Chứng minh: 
Ta có: 
Caâu 1 : Thöïc hieän pheùp tính : 
	a/
	b/ 
	c/ 
	d/ 
	e/ 
Caâu 2 : Cho phaân thöùc : 
Vôùi ñieàu kieän naøo cuûa x thì giaù trò cuûa phaân thöùc ñöôïc xaùc ñònh.
Tìm giaù trò cuûa x ñeå giaù trò cuûa phaân thöùc baèng 2.
Caâu 3 : Cho phaân thöùc : 
Vôùi ñieàu kieän naøo cuûa x thì giaù trò cuûa phaân thöùc ñöôïc xaùc ñònh.
Tìm giaù trò cuûa x ñeå giaù trò cuûa phaân thöùc baèng 2.
Câu 4 : Cho biểu thức P = 
	a/ Tìm điều kiện xác định của biểu thức P.
	b/ Chứng minh rằng với mỗi giá trị của x nguyên thì P nguyên.
Câu 5 : Cho biểu thức P = 
	a/ Tìm điều kiện xác định của biểu thức P.
 	b/ Tính giá trị của biểu thức trên tại x = - 1 và tại x = 2
Câu 6 : Cho biểu thức P = 
	a/ Tìm điều kiện xác định của biểu thức P.
	b/ Tính giá trị của phân thức đã cho tại x =2 và tại x = -1.