Giáo án Dạy thêm môn Toán (nâng cao)

Buổi 1:
Chương I: 
PHÉP NHÂN VÀ CHIA ĐA THỨC
CHỦ ĐỀ 1: PHÉP NHÂN ĐƠN THỨC - ĐA THỨC
I.MỤC TIÊU:
- Học sinh làm thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức.
- Phối hợp các phép toán trên để làm một số dạng toán về chứng minh đẳng thức, tìm x (giải phương trình).
- Chỉ ra được một số sai lầm học sinh mắc phải khi thực hiện phối hợp các phép tính.
- Đối với học sinh khá giỏi có thể làm được một số bài tập nâng cao.
II.NỘI DUNG DẠY HỌC:
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
 1.Quy tắc nhân đơn thức với đa thức:
Muốn nhân 1 đơn thức với 1 đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.
	A(B + C) = AB + AC
2.Quy tắc nhân đa thức với đa thức:
Muốn nhân một đa thức với 1 đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
	(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD
B.VÍ DỤ:
*Ví dụ 1: Thực hiện phép nhân:
a) (- 2x)(x3 – 3x2 – x + 1) = - 2x4 + 3x3 + 2x2 – 2x
b) (- 10x3 + y - = 5x4y – 2xy2 + xyz
*Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức: x(x – y) + y(x + y) tại x = - và y = 3 
Ta có: x(x – y) + y(x + y) = x2 – xy + xy + y2 = x2 + y2 
Khi x = - và y = 3, giá trị của biểu thức là: ( - )2 + 32 = 
*Chú ý 1: Trong các dạng bài tập như thế, việc thực hiện phép nhân và rút gọn rồi mới thay giá trị của biến vào sẽ làm cho việc tính toán giá trị biểu thức được dễ dàng và thường là nhanh hơn.
*Chú ý 2: HS thường mắc sai lầm khi trình bày như sau:
Ta có: x(x – y) + y(x + y) = x2 – xy + xy + y2 = (-)2 + 32 = 
Trình bày như thế không đúng, vì vế trái là một biểu thức, còn vế phải là giá trị của biểu thức tại một giá trị cụ thể của biến, hai bên không thể bằng nhau.
*Ví dụ 3: Tính C = (5x2y2)4 = 54 (x2)4 (y2)4 = 625x8y8
*Chú ý 3: Lũy thừa bậc n của một đơn thức là nhân đơn thức đó cho chính nó n lần. Để tính lũy thừa bậc n một đơn thức, ta chỉ cần:
- Tính lũy thừa bậc n của hệ số
- Nhân số mũ của mỗi chữ cho n.
*Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng các đa thức sau không phụ thuộc vào biến:
a) x(2x + 1) – x2(x + 2) + (x3 – x + 3) 
Ta có: x(2x + 1) – x2(x + 2) + (x3 – x + 3) = 2x2 + x – x3 – 2x2 + x3 – x + 3 = 3
b) 4(x – 6) – x2(2 + 3x) + x(5x – 4) + 3x2(x – 1)
Ta có: 4(x – 6) – x2(2 + 3x) + x(5x – 4) + 3x2(x – 1)
 = 4x – 24 – 2x2 – 3x3 + 5x2 – 4x + 3x3 – 3x2 = - 24 
Kết quả là mọt hằng số, vậy các đa thức trên không phụ thuộc vào giá trị của x.
*Ví dụ 5: Tìm x, biết:
a) 5x(12x + 7) – 3x(20x – 5) = - 100
60x2 + 35x – 60x2 + 15x = -100
50x = -100
x = - 2
b) 0,6x(x – 0,5) – 0,3x(2x + 1,3) = 0,138
0,6x2 – 0,3x – 0,6x2 – 0,39x = 0,138
-0,69x = 0,138
x = 0,2
C.BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
*Bài tập 1: Thực hiện các phép tính sau:
a) 3x2(2x3 – x + 5) 
= 6x5 – 3x3 + 15x2
b) (4xy + 3y – 5x)x2y 
= 4x3y2 + 3x2y2 – 5x3y
c) (3x2y – 6xy + 9x)(- xy) 
= - 4x3y2 + 8x2y2 – 12x2y 
d) - xz(- 9xy + 15yz) + 3x2 (2yz2 – yz) 
= 3x2yz – 5xyz2 + 6x2yz2 – 3x2yz = - 5xyz2 + 6x2yz2
e) (x3 + 5x2 – 2x + 1)(x – 7) = 
= x4 – 7x3 + 5x3 – 35x2 – 2x2 + 14x + x – 7 
= x4 – 2x3 – 37x2 + 15x – 7 
f) (2x2 – 3xy + y2)(x + y) 
= 2x3 + 2x2y – 3x2y – 3xy2 + xy2 + y3 
= 2x3 – x2y – 2xy2 + y3 
g) (x – 2)(x2 – 5x + 1) – x(x2 + 11) 
= x3 – 5x2 + x – 2x2 + 10x – 2 – x3 – 11x = - 7x2 – 2 
h) [(x2 – 2xy + 2y2)(x + 2y) - (x2 + 4y2)(x – y)] 2xy
= [x3 + 2x2y – 2x2y – 4xy2 + 2xy2 + 4y3 – (x3 – x2y + 4xy2 – 4y3)]
= [x3 + 2x2y – 2x2y – 4xy2 + 2xy2 + 4y3 – x3 + x2y - 4xy2 + 4y3 ] 2xy
= (- 6xy2 + x2y + 8y3 ) 2xy = - 12x2y3 + 2x3y2 + 16xy4 
Bài tập 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
a) a(b – c) – b(a + c) + c(a – b) = - 2bc
Ta có: VT = a(b – c) – b(a + c) + c(a – b) = ab – ac – ab – bc + ac – bc = - 2bc = VP
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) a(1 – b)+ a(a2 – 1) = a(a2 – b) 
Ta có: VT = a – ab + a3 – a = a3 – ab = a(a2 – b) = VP
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) a(b – x) + x(a + b) = b(a + x) 
Ta có: VT = ab – ax + ax + bx = ab + bx = b(a + x) = VP
Vậy đẳng thức được chứng minh.
*Nhận xét: 
-Để chứng minh 1 đẳng thức ta có thể thực hiện việc biến đổi biểu thức ở vế này (thường là vế phức tạp hơn) của đẳng thức để được 1 biểu thức bằng biểu thức ở vế kia.
-Trong 1 số trường hợp , để chứng minh 1 đẳng thức ta có thể biến đổi đồng thời cả 2 vế của đẳng thức sao cho chúng cùng bằng 1 biểu thức thứ ba, hoặc cũng có thể lấy biểu thức vế trái trừ biểu thức vế phải và biến đổi có kết quả bằng 0 thì chứng tỏ đẳng thức đã cho được chứng minh.
*Bài tập 3: Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = a3 + b3 + c3 – 3abc 
Ta có : VT = a3 + ab2 + ac2 – a2b – abc – a2c + a2b + b3 + bc2 – ab2 – b2c – abc + a2c + b2c + c3 – abc – bc2 – ac2 = a3 + b3 + c3 – 3abc = VP
Vậy đẳng thức được c/m.
b) (3a + 2b – 1)(a + 5) – 2b(a – 2) = (3a + 5)(a + 3) + 2(7b – 10)
Ta có: VT = 3a2 + 15a + 2ab + 10b – a – 5 – 2ab + 4b = 3a2 + 14a + 14b – 5 
VP = 3a2 + 9a + 5a + 15 + 14b – 20 = 3a2 + 14a + 14b – 5 
Do đó VT = VP nên đẳng thức được c/m.
*Bài tập 4: Cho các đa thức: f(x) = 3x2 – x + 1 và g(x) = x – 1 
a)Tính f(x).g(x) 
b)Tìm x để f(x).g(x) + x2[1 – 3.g(x)] = 
Giải:
a) f(x).g(x) = (3x2 – x + 1)(x – 1) = 3x3 – 3x2 – x2 + x + x – 1 = 3x3 – 4x2 + 2x – 1 
b) Ta có: f(x).g(x) + x2[1 – 3.g(x)] = (3x3 – 4x2 + 2x – 1 ) + x2[1 – 3(x – 1)]
= 3x3 – 4x2 + 2x – 1 + x2(1 – 3x + 3) = 3x3 – 4x2 + 2x – 1 + x2 – 3x3 + 3x2 
= 2x – 1 
Do đó f(x).g(x) + x2[1 – 3.g(x)] = 
2x – 1 = 2x = 1 + 2x = x = 
*Bài tập 5: Tìm x, biết: 
a) 6x(5x + 3) + 3x(1 – 10x) = 7 
30x2 + 18x + 3x – 30x2 = 7
21x = 7 
x = 
b) (3x – 3)(5 – 21x) + (7x + 4)(9x – 5) = 44
15x – 63x2 – 15 + 63x + 63x2 – 35x + 36x – 20 = 44
79x = 79 
x = 1 
c) (x + 1)(x + 2)(x + 5) – x2(x + 8) = 27 
(x2 + 3x + 2)(x + 5) – x3 – 8x2 = 27 
x3 + 5x2 + 3x2 + 15x + 2x + 10 – x3 – 8x2 = 27
17x + 10 = 27 
17x = 17 x = 1 
D.BÀI TẬP NÂNG CAO:
*Bài tập 1: Nếu (-2 + x2) (-2 + x2) (-2 + x2) (-2 + x2) (-2 + x2) = 1 thì x bằng bao nhiêu?
Giải: 
(-2 + x2)5 = 1 
Một số mà có lũy thừa 5 bằng 1 thì số đó phải bằng 1
Do đó ta có: (-2 + x2) = 1 hay x2 = 3 
Vậy x = hoặc x = - 
*Bài tập 2: CMR
a) 817 – 279 – 913 chia hết cho 405 
Ta có: 817 – 279 – 913 = (34)7 – (33)9 – (32)13 = 328 – 327 – 326 = 326(9 – 3 – 1) 
= 326 . 5 = 34.5.322 = 405. 322 chia hết cho 405 
Hay 817 – 279 – 913 chia hết cho 405
b) 122n + 1 + 11n + 2 chia hết cho 133
Ta có: 122n + 1 + 11n + 2 = 122n . 12 + 11n . 112 = 12. 144n + 121. 11n 
= 12.144n – 12.11n + 12.11n + 121.11n 
= 12(144n – 11n) + 11n(12 + 121)
= 12.(144 – 11) .M + 133.11n trong đó M là 1 biểu thức.
Mỗi số hạng đều chia hết cho 133, nên 122n + 1 + 11n + 2 chia hết cho 133.
*Bài tập 3: Tính giá trị của biểu thức:
M = x10 – 25x9 + 25x8 – 25x7 +  - 25x3 + 25x2 – 25x + 25 với x = 24
Giải:
Thay 25 = x + 1 ta được:
M = x10 - (x + 1)x9 + (x + 1)x8 – (x + 1)x7 +  - (x + 1)x3 + (x + 1)x2 – (x + 1)x + 25
M = x10 – x10 – x9 + x9 + x8 – x8 – x7 +  - x4 – x3 + x3 + x2 – x2 – x + 25
M = 25 – x 
Thay x = 24 ta được: 
M = 25 – 24 = 1
*Bài tập 4: Cho a + b + c = 2p. CMR 2bc + b2 + c2 – a2 = 4p(p – a) 
Xét VP = 4p(p – a) = 2p (2p – 2a) = (a + b + c) (a + b + c – 2a) = (a + b + c)(b + c – a ) 
= (ab + ac – a2 + b2 + bc – ab + bc + c2 – ac ) 
= b2 + c2 + 2bc – a2 = VT 
Vậy đẳng thức được c/m
*Bài tập 5: Cho x là số gồm 22 chữ số 1, y là số gồm 35 chữ số 1. CMR: 
xy – 2 chia hết cho 3
Giải: Vì x gồm 22 chữ số 1 nên x chia cho 3 dư 1, hay x có dạng: 
x = 3n + 1 (n Z)
Vì y gồm 35 chữ số 1 nên y chia cho 3 dư 2, hay y có dạng:
y = 3m + 2 (m Z) 
Khi đó xy – 2 = (3n + 1)(3m + 2) – 2 = 9n.m + 6n + 3m + 2 – 2 
= 3(3n.m + 2n + m) = 3k ; với k = 3n.m + 2n + m Z
Vậy xy – 2 chia hết cho 3.
*Bài tập 6: Cho các biểu thức: 
A = 5x + 2y ; 	B = 9x + 7y 
a)Rút gọn biểu thức 7A – 2B
b)CMR: Nếu các số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 17 thì 9x + 7y cũng chia hết cho 17.
Giải:
a) Ta có: 7A – 2B = 7(5x + 2y) – 2(9x + 7y) = 35x + 14y – 18x – 14y = 17x 
b) Nếu có x, y thỏa mãn A = 5x + 2y chia hết cho 17 , ta c/m B = 9x + 7y cũng chia hết cho 17.
Ta có 7A – 2B = 17x 17
	A 17 nên 7A 17 
Suy ra 2B 17
mà (2,17) = 1 . Suy ra B 17
*Bài tập 7: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A = x3 – 30x2 – 31x + 1 , tại x = 31
Với x = 31 thì:
A = x3 – (x – 1)x2 – x.x + 1 = x3 – x3 + x2 – x2 + 1 = 1 
b) B = x5 – 15x4 + 16x3 – 29x2 + 13x , tại x = 14 
Với x = 14 thì:
B = x5 – (x + 1)x4 + (x + 2)x3 – (2x + 1)x2 + x(x – 1)
= x5 – x5 – x4 + x4 + 2x3 – 2x3 – x2 + x2 – x = -x = - 14
Buổi 2:
CHỦ ĐỀ 2:
NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
I.MỤC TIÊU:
- Học sinh nắm vững và nhớ “Những hằng đẳng thức đáng nhớ”.
- Vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức này để làm bài tập.
- Vận dụng để tính nhanh, tính nhẩm.
- Đặc biệt, học sinh biết vận dụng các hằng đẳng thức để làm các bài tập về chứng minh một biểu thức luôn dương hoặc luôn âm, tìm GTNN, GTLN của biểu thức.
- Mở rộng thêm một số kiến thức cho học sinh khá – giỏi.
II.NỘI DUNG DẠY HỌC:
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Cho A và B là các biểu thức. Ta có một số hằng đẳng thức đáng nhớ sau:
1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 
2) (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 
3) A2 – B2 = (A + B)(A – B) 
4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 
5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 
6) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
*Chú ý: 
Các công thức 4) và 5) còn được viết dưới dạng:
(A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B)
(A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B)
- Từ công thức 1) và 2) ta suy ra các công thức:
(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC
(A – B + C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB – 2BC + 2AC
(A – B – C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB + 2BC – 2AC 
B.VÍ DỤ:
*Ví dụ 1: Khai triển:
a) (5x + 3yz)2 = 25x2 + 30xyz + 9y2z2 
b) (y2x – 3ab)2 = y4x2 – 6abxy2 + 9a2b2 
c) (x2 – 6z)(x2 + 6z) = x4 – 36z2 
d) (2x – 3)3 = (2x)3 – 3.(2x)2.3 + 3.2x.32 – 33 = 8x3 – 36x2 + 54x – 27 
e) (a + 2b)3 = a3 + 6a2b + 12ab2 + 8b3 
g) (x2 + 3)(x4 + 9 – 3x2) = (x2)3 + 33 = x6 + 27 
h) (y – 5)(25 + 2y + y2 + 3y) = (y – 5)(y2 + 5y + 25) = y3 – 53 = y3 – 125
*Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
a) A = (x + y)2 – (x – y)2 
= x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2 = 4xy 
Hoặc: A = (x + y + x – y)(x + y – x + y) = 2x.2y = 4xy
b) B = (x + y)2 – 2(x + y)(x – y) + (x – y)2 
= x2 + 2xy + y2 – 2x2 + 2y2 + x2 – 2xy + y2 = 4y2
c) C = (x + y)3 - (x – y)3 – 2y3 
= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 – x3 + 3x2y – 3xy2 + y3 – 2y3 
= 6x2y
*Ví dụ 3: Chứng minh: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac 
Ta có: VT = (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 
=(a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = VP
Vậy đẳng thức được chứng minh.
*Ví dụ 4: Chứng minh:
a) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) 
Ta có : VP = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2 = a3 + b3 = VT
Áp dụng: Tìm tổng lập phương của hai số biết rằng tích hai số đó bằng 6 và tổng hai số đó bằng – 5 
Gọi hai số đó là a và b thì ta có: 
a3 + ... a: 
a) (2x3 + 5x2 – 2x + 12) : (2x2 – x + 1) 
Kết quả : x + 3 
b) (2x3 – 5x2 + 6x – 15) : (2x – 5)
Kết quả: x2 + 3 
c) (x4 – x – 14) : (x – 2) 
Kết quả: x3 + 2x2 + 4x + 7
*Bài tập 6: Tìm GTNN (hoặc GTLN) của các biểu thức sau:
a) A = x2 – 6x + 11 
= x2 – 6x + 9 + 2 = (x – 3)2 + 2 = 
Ta thấy (x – 3)2 ≥ 0 , nên A = (x – 3)2 + 2 ≥ 2 
Do đó GTNN của A bằng 2, giá trị này đạt được tại x = 3 .
b) B = 2x2 + 10x – 1 
= 2(x2 + 5x - ) = 2(x2 + 2.) 
= 2(x + )2 + 
Vì (x + )2 ≥ 0 , nên B = (x + )2 + ≥ 
Hay GTNN của B bằng , giá trị này đạt được khi x = - 
c) C = 5x – x2 
= - x2 + 2. x - + = - (x - )2 + = - (x - )2 
Vì (x - )2 ≥ 0 , nên C = - (x - )2 ≤ 
Do đó GTLN của C bằng , giá trị này đạt được khi x = .
KIỂM TRA 
Thời gian: 60 phút.
A.ĐỀ BÀI:
Câu 1: Làm tính nhân:
a) (-10x3 + y - z)(- xy) 
b) (2a3bc – 9a2bc2 + 3ab2c).(- 5abc) 
c) (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1)
d) (x2 – 2xy)(x2 + 2xy + 2y2)
Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a) (a – b + c + d)(a – b – c – d) 
b) (x + 2y + 3z)(x – 2y + 3z) 
c) (x – 1)(x2 – x + 1)(x + 1)(x2 + x + 1)
d) (x + y)3 – (x – y)3 
Câu 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
a) 3x(x – 1) + 7x2(x – 1)
b) 3x(x – a) + 4a(a – x)
c) (x + a)2 – (y + b)2 
d) (x2 – 2x + 1)3 + y6
Câu 4: Hãy sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến rồi thực hiện phép chia:
a) ( - 3x2 + 10x3 – x – 3) : (x + 1 + 3x2)
b) (5x + 3x2 – 2 + 2x4 – 11x3 + 6x5) : ( - 3x + 2x3 + 2) 
B.ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM:
Câu 1: (2,5 điểm)
a) (-10x3 + y - z)(- xy) = 5x4y - xy2 + xyz
b) (2a3bc – 9a2bc2 + 3ab2c).(- 5abc) = - 10a4b2c2 + 45a3b2c3 – 15a2b3c2
c) (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1) = x5 – x4 + x2 + x4 – x3 + x + x3 – x2 + 1 = x5 + 1
d) (x2 – 2xy)(x2 + 2xy ) = x4 – 4x2y2 
Câu 2: (2 điểm)
a) (a – b + c + d)(a – b – c – d) = [(a – b) + (c + d)][(a – b) – (c + d)] 
= (a – b)2 – (c + d)2 
b) (x + 2y + 3z)(x – 2y + 3z) = [(x + 3z) + 2y] [(x + 3z) – 2y] = (x + 3z)2 – (2y)2 
c) (x – 1)(x2 – x + 1)(x + 1)(x2 + x + 1)
= (x – 1)(x2 + x + 1)(x + 1)(x2 – x + 1)
= (x3 – 1)(x3 + 1) = x6 – 1 
d) (x + y)3 – (x – y)3 = (x + y – x + y)[(x + y)2 + (x + y)(x – y) + (x – y)2] 
= 2y(x2 + 2xy + y2 + x2 – y2 + x2 – 2xy + y2) 
= 2y(3x2 + y2)
Câu 3: (2,5 điểm)
 a) 3x(x – 1) + 7x2(x – 1) = (x – 1)(3x + 7x2) = x(x – 1)(7x + 3)
b) 3x(x – a) + 4a(a – x) = 3x(x – a) – 4a(x – a) = (x – a)(3x – 4a) 
c) (x + a)2 – (y + b)2 = (x + a + y + b)(x + a – y – b)
d) (x2 – 2x + 1)3 + y6 = (x – 1)6 + y6 = [(x – 1)2]3 + (y2)3 
= [(x – 1)2 + y2 ] [(x – 1)4 – (x – 1)2y2 + y4 ] 
= (x2 – 2x + 1 + y2)[(x – 1)4 – (x – 1)2y2 + y4] 
Câu 4: (2 điểm)
a) ( - 3x2 + 10x3 – x – 3) : (x + 1 + 3x2) = 4x2 + 2x – 3 
b) (5x + 3x2 – 2 + 2x4 – 11x3 + 6x5) : ( - 3x + 2x3 + 2) = 3x2 + x – 1 
Buổi 14:
CHỦ ĐỀ 5:
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1.Phân thức đại số:
- Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng , trong đó A, B là những đa thức và B khác 0.
A được gọi là tử thức (hay tử)
B được gọi là mẫu thức (hay mẫu)
- Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.
- Với hai phân thức và , ta nói , nếu A.D = B.C
2.Tính chất cơ bản của phân thức đại số:
* ( M là một đa thức khác 0)
* ( N là một nhân tử chung, N khác đa thức 0)
* 
3.Rút gọn phân thức:
- Cách biến đổi phân thức thành phân thức đơn giản hơn và bằng phân thức đã cho gọi là rút gọn phân thức.
- Muốn rút gọn một phân thức ta có thể làm như sau:
+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (nếu có)
4.Các phép tính về phân thức đại số:
+ Quy đồng mẫu thức.
+ Phép cộng các phân thức.
+ Phép trừ các phân thức.
+ Phép nhân các phân thức.
+ Phép chia các phân thức.
B.VÍ DỤ: 
*Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau:
a) 
Ta có: VT = 
b) 
VT = 
c) 
VT = VP
d) 
VT = VP
*Nhận xét: Khi giải bài tập dạng này ta cần chú ý:
- Thường biến đổi phân thức phức tạp hơn thành phân thức đơn giản hơn, thông thường bằng cách phân tích tử và mẫu của phân thức phức tạp hơn thành nhân tử, trong quá trình phân tích cần chú ý đến tử và mẫu của phân thức đơn giản hơn để làm xuất hiện các nhân tử tương ứng ở tử và mẫu như vậy.
- Nhận dạng các hằng đẳng thức đã học để làm bài tập nhanh hơn.
*Ví dụ 2: Rút gọn các phân thức sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
= 
e) 
= 
g) 
= 
*Ví dụ 3: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
a) A = 
A = = 
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến x.
b) B = 
B = = = 
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x.
*Ví dụ 4: Chứng minh rằng các biểu thức sau đây không thể rút gọn được nữa:
a) 
Ta thấy tử và mẫu không có nhân tử chung, nên không thể rút gọn được nữa.
b) 
Ta thấy tử và mẫu không có nhân tử chung, nên không thể rút gọn được nữa.
*Ví dụ 5: Tính giá trị của biểu thức sau:
a) A = tại x = 2.
Ta có: A = = 
Với x = 2, ta có: A = 
b) B = , tại x = 
B = 
Với x = , ta có:
B = 
*Ví dụ 6: Cộng các phân thức sau:
a) 
b) 
= 
c) 
= 
= 
d) 
= 
= 
*Ví dụ 7: Thực hiện phép cộng:
a) 
= 
b) 
= 
= 
= 
*Ví dụ 8: Con tàu du lịch “Sông Hồng” đưa khách từ Hà Nội đến Việt Trì. Sau đó nó nghỉ tại Việt Trì 2 giờ rồi quay về Hà Nội. Độ dài khúc sông từ Hà Nội đến Việt Trì là 70km. Vận tốc của dòng nước là 5km/h. Vận tốc thực của con tàu (tức là vận tốc trong nước yên lặng) là x km/h.
a) Hãy biểu diến qua x:
- Thời gian ngược từ Hà Nội đến Việt Trì;
- Thời gian xuôi từ Việt Trì về Hà Nội;
- Thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi về tới Hà Nội.
b) Tính thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi con tàu về tới Hà Nội, biết rằng vận tốc lúc ngược dòng của con tàu là 20km/h.
Giải:
a) Thời gian ngược từ Hà Nội đến Việt Trì là : (h)
- Thời gian xuôi từ Việt Trì về Hà Nội: (h)
- Thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi về tới Hà Nội:
 + + 2 
b) Vận tốc lúc ngược dòng của con tàu là 20 km/h , Do đó vận tốc thực của con tàu là x = 20 + 5 = 25 
Thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi con tàu về tới Hà Nội là :
 7 giờ 50 phút.
*Ví dụ 9: Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức sau :
a) A = , với a = -2 ; b = 
A = 
= 
= 
Với a = -2 ; b = ta có:
A = 
b) B = , với x = 2
B = 
= 
Với x = 2 , thì B = 
Buổi 16:
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
*Bài tập 1: Rút gọn các phân thức sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
g) 
*Bài tập 2: Rút gọn phân thức:
a) 
= 
= 
= 
Khai thác bài toán: 
- Ta có thể thay đổi vị trí của tử và mẫu.
- Hoặc rút gọn phân thức: 
- Bài toán tổng quát: Rút gọn phân thức:
và phân thức tạo thành bởi việc thay đổi vị trí như trên.
b) 
= 
c) 
= 
= 
= 
*Bài tập 3: Chứng tỏ rằng các phân thức sau đây không thể rút gọn được nữa:
a) 
Tử và mẫu không có nhân tử chung nên không thể rút gọn được nữa.
b) 
Tử và mẫu không có nhân tử chung nên không thể rút gọn được nữa.
c) 
= 
Tử và mẫu không có nhân tử chung nên không thể rút gọn được nữa.
*Bài tập 4: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = , tại x = 103.
A = 
Tại x = 103 ta có: A = 
b) B = , tại x = 2.
B = 
Tại x = 2, ta có: B = 
c) C = , tại x = - 5
C = 
= 
Tại x = - 5 ta có:
C = 
*Bài tập 6: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:
a) = 
b) 
c) 
d) = 
= 
*Bài tập 7: Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức xác định:
a) ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ 
b) ĐKXĐ: x ≠ - 
c) ; ĐKXĐ: x ≠ 
d) . ĐKXĐ: x ≠ 2y ; x ≠ - 2y 
*Bài tập 8: Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức được xác định?
b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1?
c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng ?
Giải:
a) Ta có: 
; ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ - 5 
b) Trước hết ta cần rút gọn P:
Để P = 1 thì: 
c) Để (không thỏa mãn điều kiện)
Vậy không có giá trị nào để P = 
Phần này giáo viên nên lưu ý cho học sinh: Sau khi tìm được giá trị của x thì cần đối chiếu điều kiện xác định để loại các giá trị không thỏa mãn.
Buổi 18:
*Bài tập 9: Chứng minh đẳng thức:
Ta xét vế trái:
VT = 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) 
Xét vế trái:
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) 
Ta xét vế trái:
Vậy đẳng thức được chứng minh.
*Bài tập 10: Tìm các giá trị nguyên của biến x để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên:
a) 
Để có giá trị nguyên thì 2 phải chia hết cho x – 3 hay x – 3 phải là ước 
của 2.
Ta có: Ư(2) = {-1 ; 1 ; -2; 2}
+ Với x – 3 = - 1 x = 2
+ Với x – 3 = 1 x = 4 
+ Với x – 3 = -2 x = 1
+ Với x – 3 = 2 x = 5
Vậy với x = 1; 2; 4; 5 thì biểu thức có giá trị nguyên.
b) 
Tương tự phần a) 
Để nguyên thì 3 phải chia hết cho x + 2 hay x + 2 là ước của 3
Ta có: Ư(3) = {- 1; 1; 3; - 3}
+ Với x + 2 = -1 x = - 3 
+ Với x + 2 = 1 x = -1 
+ Với x + 2 = 3 x = 1
+ Với x + 2 = - 3 x = - 5
Vậy với x = -5 ; -3; -1; 1 thì biểu thức có giá trị nguyên.
c) 
Ta có: = 
Để nguyên thì x – 4 phải là ước của 131 
Ư(131) = { - 1; 1 ; 131; - 131} 
+ Với x – 4 = - 1 x =3 
+ Với x – 4 = 1 x =5 
+ Với x – 4 = 131 x = 135 
+ Với x – 4 = - 131 x = - 127 
d) 
Ta có: 
Vậy để nguyên thì 3x + 2 là ước của 3
Ta có: Ư(3) = { 1; -1; 3; - 3} 
+ Với 3x + 2 = 1 x = - (không phải là số nguyên)
+ Với 3x + 2 = -1 x = - 1 
+ Với 3x + 2 = 3 x = (không phải là số nguyên)
+ Với 3x + 2 = -3 x = - (không phải là số nguyên)
Với x = - 1; thì biểu thức đã cho xác định.
Vậy với x = - 1 thì biểu thức đã cho có giá trị nguyên.
*Bài tập 11: 
a) Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức:
 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
b) Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức:
 có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Giải:
a) Ta có: Với điều kiện: x ≠ 0; x ≠ 2 :
Ta thấy: (x – 1)2 ≥ 0 , với mọi giá trị của x.
Do đó: (x – 1)2 + 2 ≥ 2, với mọi x
GTNN của biểu thức trên bằng 2. Giá trị này đạt được khi x – 1 = 0 , hay x = 1 
(x =1 thỏa mãn ĐKXĐ)
b) Với điều kiện x ≠ 0; x ≠ -2 :
Ta có: 
 = - 1 – (x + 1)2 
Ta thấy: - (x + 1)2 ≤ 0, với mọi x. Do đó: - 1 – (x + 1)2 ≤ - 1 với mọi x.
Suy ra GTLN của biểu thức là bằng – 1. Giá trị này đạt được khi x + 1 = 0 
hay x = - 1 ; (x = -1 thỏa mãn ĐKXĐ).
D.BÀI TẬP NÂNG CAO:
*Bài tập 1: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn đồng thời các đẳng thức sau:
x – y + z = 2 (1) và 2x2 – xy + x – 2z = 1 (2)
Giải:
Ta có: x – y + z = 2 z = 2 – x + y 
Thay vào (2) ta có: 2x2 – xy + x – 2(2 – x + y) = 1 
2x2 – xy + x – 4 + 2x – 2y – 1 = 0 
2x2 – xy + 3x – 2y – 5 = 0 y(x+2) = 2x2 + 3x – 5 
y là số nguyên khi x + 2 là ước của 3
Ư(3) = { - 1; 1; 3; -3 } 
+ Với x + 2 = -1 x = - 3 ; y = -6; z = - 1
+ Với x + 2 = 1 x = - 1 ; y = 0 ; z = 3
+ Với x + 2 = 3 x = 1 ; y = 0; z = 1
+ Với x + 2 = - 3 x = - 5; y = -10 ; z = -3 
*Bài tập 2: Cho xyz =1 . Tính: 
Từ xyz =1 . Thay vào M ta có:
*Bài tập 3: 
a) Cho 2b = 1 + ab. Chứng minh: (*)
 Từ 2b = 1 + ab 2b – ab = 1 b = . Thay vào vế trái của (*) ta được:
Vậy: 2b = 1 + ab thì 
b) Cho . Chứng minh: 
Từ 
c) Cho Chứng minh: 
Ta có: