Giáo án Chuyên đề môn Toán Lớp 8

CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC
A/ KIẾN THỨC CẦN NẮM
	I/ ĐỊNH NGHĨA:
Với A, B là 2 biểu thức bất kì:
	A >B A – B > 0	A A – B < 0
 	A B A – B 0	A B A – B 0
+ Nếu A > B => C > D ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A > B
+ Nếu A > B C > D ta nói hai bất đẳng thức C > D và A > B là 2 bất đẳng thức tương đương.
	II/ TÍNH CHẤT:
1/ A >B B < A
2/ A >B và B > C => A > C
3/ A >B A + C >B + C	Hệ quả A >B + C A – C > B
4/ A >B và C > D => A + C > B + D
 A > B và C A – C > B – D 
5/ A > B và C > 0 AC > BC
 A > B và C AC < BC
6/ A > B > 0 và C > D > 0 => AC > BD
7/ A > B > 0, n nguyên dương => An > Bn
8/ A > B > 0, n nguyên dương => . Hệ quả: a2 b2 a b (a,b 0)
9/ A > B, AB > 0 => 
10/ A > 1, m và n nguyên dương, m > n => Am > An
 	0 n => Am < An
Chú ý: CẦN TRÁNH CÁC SAI LẦM SAU:
1/ Trừ từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều
2/ Nhân từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều mà không có giả thiết các vế không âm.
3/ Bình phương vế của 2 bất đẳng thức mà không có giả thiết các vế không âm.
4/ Khử mẫu khi chưa biết dấu của biểu thức dưới mẫu
5/ Nghịch đảo và đổi chiều của bất đẳng thức khi chưa có giả thiết 2 vế cùng dấu.
6/ Thừa nhận xm > xn với m, n nguyên dương và m > n khi chưa biết điều kiện của x.
III/ CÁC HẰNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐƯỢC THỪA NHẬN:
	a: 	a2 0; -a2 0; Dấu bằng xảy ra a = 0
	-|a| a |a|; Dấu bằng xảy ra a = 0
	|a| 0 ; Dấu bằng xảy ra a = 0
	ai 0 (i = 1, 2, , n; n N*) => a1 + a2 +  + an 0
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC:
Cách 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành một bất đẳng thức tương đương mà ta đã biết là đúng
Cách 2:Biến đổi tương đương bất đẳng thức đã biết thành bất đẳng thức cần chứng minh.
BÀI TẬP
Bài 1: Cho x, y là 2 số thực bất kỳ khác không. CMR : + + 3. dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 2: Cho cặp số (x, y) thoả mãn các điều kiện: -1 x 1; -1 xy + x + y 1> Chứng minh rằng: |x| 2; |y| 2
Bài 3: Cho a, b, c > 0. CMR: + + < + + 
Bài 4: Cho x, y, z là 3 số thực tuỳ ý thoả mãn: 
 	CMR: x2 + y4 + c6 2. Đẳng thức có thể xảy ra được không?
Bài 5: Với a, b là các số thực dương. CMR: 4(a3 + b3) (a + b)3
Bài 6: Cho a và b là 2 số dương. Biết rằng phương trình: x3 – x2 + 3ax – b = 0; có 3 nghiệm (không nhất thiết phân biệt). CMR: + 27b 28
Bài 7: 	1/ a2 + b2 + c2 ab + bc + ca 	a, b, c
	2/ x4 + y4 + z4 xyz(x + y + z)	x, y, z
Bài 8: x, y, z là các số thực thoả mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = 6
	Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2 3
Bài 9: Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Bài 10: Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 4y2 = 1. Chứng minh rằng: |x + y| 
Bài 11: Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn hệ thức: + + = 6. Xét biểu thức P = x + y2 + z3
	a/ Chứng minh: P x + 2y + 3z – 3 
	b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 12: Cho a, b, c > 1. Chứng minh: + + 12. Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 13: Cho P(x) = x3 + ax2 + bx + c và Q(x) = x2 + x + 2005.
	Biết phương trình P(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt còn phương trình P(Q(x)) = 0 vô nghiệm. Chứng minh P(2005) > 
Bài 14: Giả sử x, y là những số không âm thay đổi thoả mãn điều kiện: x2 + y2 = 1
	a/ Chứng minh rằng 1 x + y 
	b/ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = + 
Bài 15: Chứng minh: (a + b + c) 9
Aùp dụng giải bái tập: a/ 
	b/ Giải phương trình: + + + =1
Bài 16: Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:
	a2b + b2c + c2a + ca2 + bc2 + ab2 – a3 – b3 – c3 > 0
Bài 17: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
	1/ Chứng minh bất đẳng thức : ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
 	2/ CMR nếu (a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca) thì tam giác đó là tam giác đều.
Bài 18: Giả sử: a b; c d. Chứng minh: ac + bd bc + ad
Bài 19: Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh: + + 
Bài 20: Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 
Bài 21: Cho a b c > 0. Chứng minh bất đẳng thức: = 
Bài 22: Cho 3 số a, b, c sao cho 0 a 2; 0 b 2; 0 c 2 và a + b + c = 3. Chứng minh:
	a2 + b2 + c2 5
Bài 23: Cho a; b; c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh: + + < 2
Bài 24: Cho 3 số dương có tổng bằng 4. Chứng minh rằng tổng của 2 số bất kỳ trong 3 số đó không bé hơn tích của 3 số đó.
Bài 25: Cho |a| < 1; |a – c| < 1999; |b – 1| < 1999. Chứng minh rằng |ab – c| < 3998
Bài 26: 1/ Chứng minh nếu x > 0; y > 0 thì 
	2/ Chứng minh nếu a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, ta có:
	 + + 
Bài 27: Cho a; b; c > 0> Chứng minh + + > 
Bài 28: Chứng minh rằng: (a + b – c)(a – b + c)(–a + b + c) abc với a; b; c là độ dài 3 cạnh một tam giác.
Bài 29: Cho a, b là 2 số thoả mãn: 2a2 + = 4. Chứng minh ab -2. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 30: Cho các số a; b; c [0; 1]. Chứng minh rằng: a + b2 + c3 – ab – bc – ca 1
Bài 31: Chứng minh rằng: với mọi a, b có đẳng thức: (a2 + b2)(a2 + 1) 4a2b
Bài 32: Cho m2 + n2 = 1 và a2 + b2 = 1. Chứng minh: –1 am + bn 1
Bài 33: Cho các số: x, y, z 0 và x + y z = 1. Chứng minh rằng: 
 	x + 2y + z 4(1 – x)(1 – y)(1 – z)
Bài 34: Chứng minh rằng: nếu a > 0; b > 0; c > 0 thì: 
Bài 35: Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
	a/ a3 + b3 a2b + ab2
	b/ + + 
Bài 36: Cho 3 số dương a, b, c. CMR: + + 
Bài 37: Cho 3 số dương a, b, c. CMR: 8
Bài 38: Cho a . b và ab = 1. Chứng minh rằng: 8 	(1)
Bài 39: 4 	(a, b, c, d > 0)
Bài 40: Cho 3 số dương a, b, c> Chứng minh rằng: a/ a3b + b3c + c3a abc(a + b + c)
	b/ + + + + + 6abc
Bài 41: a/ Chứng minh: x4 + y4 
	b/ Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh: 8(x4 + y4) + 5
Bài 42: Cho x > 0, y > 0 và x + y 1. Chứng minh: 4
Bài 43: Cho x 1; y 1. Chứng minh: x + y xy
Bài 44: Cho a > c; b > c; c > 0. Chứng minh: + 
Bài 45: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
	 < 2()
Bài 46: Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Gọi P = abc(a + b)(b + c)(c + a). 
 	Chứng minh P < 
Bài 47: Cho 2 số dương x, y thoả: x3 + y3 = x – y. Chứng minh rằng: x2 + y2 < 1
Bài 48: Chứng minh rằng: 	a/ 
	b/ 
Bài 49: Cho a, b, c là các số không âm thoả a + b + c = 1. Chứng minh: b + c 16abc
Bài 50: Cho a, b, c là các số thuộc đoạn [-1; 2] thoả: a + b + c = 0. Chứng minh: a2 + b2 + c2 6
Bài 51: Chứng minh: a + b 
	Aùp dụng tìm x để A = đạt giá trị lớn nhất.
Bài 52: a/ Cho a 0, b 0. Chứng minh: a + b 
	b/ a2 + b2 . Chứng minh: a2 + b2 
Bài 53: Cho x 1; y 1. Chứng minh: + 
Bài 54: a/ Cho xy = 1 và x > y. Chứng minh: 2
	b/ Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thoả: a + b + c = 2.
	Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
Bài 55: Chứng minh rằng: + + 4 0
Bài 56: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: + + a + b + c
Bài 57: Chứng minh nếu a + b = 2 thì: a3 + b3 a4 + b4
BÀI GIẢI
Bài 1: + + 3. (1)
	 ( - 1) + ( - 1) + ( - 1) 0
	 0 (x2 – y2)2 0
 	 (x2 – y2)2. 0 (2)
	Bất đẳng thức (2) đúng, suy ra bất đẳng thức (1) được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi x2 = y2 x = y
Bài 2: Từ đề bài suy ra: . Đặt x + 1 = a; y + 1 = b ta có:
Từ (2) suy ra một trong 2 số a, b bằng 0 hoặc 2 số đó cùng dấu.
	+ Nếu một trong 2 số bằng 0, chẳng hạn a = 0 khi đó 1 b 3
	+ Nếu hai số cùng dấu thì thì từ (1) suy ra: a > 0; b > 0.
Khi đó cũng từ (1) ta có a < 3; b < 3 suy ra 0 < a; b < 0. Vậy trong mọi trường hợp ta đều có:
 	 Suy ra: |x| 2; |y| 2
Bài 3: . 
	Theo bất đẳng thức Cosi thì: > 0
	Suy ra => Hay 
	Tương tự: , 
	Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên, ta có: + + 2
	Dấu đẳng thức không xảy ra, vì nếu trái lại thì a = b + c, b = c + a và c = a + b, từ đó ta có: a + b + c = 0, vô lí.
	Vậy: + + > 2	(1)
	Ta lại có: = < 0
	Suy ra < 
	Tương tự ta có: < ; < 
	Do đó: + + < + + = 2 	(2)
	Từ (1) và (2) suy ra bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 4: Xét y4 – y2 = y2(y2 – 1) 
	Do -1 y 1 nên 0 y2 1, suy ra y2(y2 – 1) 0, Vậy y4 y2
	Tương tự z6 z2. Suy ra x2 + y4 + z6 x2 + y2 + z2	(1)
	Do -1 x; y; z 1 => 
	=> (1 + x)(1 + y)(1 + z)(1 – x)(1 – y)(1 – z) 0
	 2xy + 2yz + 2xz + 2 0
	 x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz + 2 x2 + y2 + z2
	 (x + y + z)2 + 2 x2 + y2 + z2 => x2 + y2 + z2 2	(2)
	Từ (1) và (2) => x2 + y4 + z6 2
 Bài 5: 4(a3 + b3) (a + b)3 4(a3 + b3) – (a + b)3 0  3(a + b)(a – b)2 0 là bất đẳng thức đúng nên bài toán được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.
Lưu ý: Các bài toán tương tự: 1/ a2 + b2 + c2 + d2 +e2 a(b + c + d + e)(HD: trước khi chuyển sang dạng a – b nhận 2 vế cho 4)
	2/ a2 + 9b2 + c2 + > 2a + 12b + 4c
	3/ a; b; c: a2 + 4b2 + 3c2 > 2a + 12b + 6c – 14 
	4/ x5 + y5 x4y + xy4 
	5/ (a2 + b2)(a2 + 1) 4a2b với mọi a, b
	6/ a, b Q, chứng minh a4 + a3b + ab3 + b4 0
	7/ a2 + b2 + c2 ab + bc + ca
	8/ Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh:a/ ( Có áp dụng Cosi)
 	b/ ( Có thể áp dụng Cosi)
	c/ 
	9/ a6 + 1 a2(a2 + 1)
	10/ a + b với a > 0; b > 0
	11/ CMR với 4 số a, b, c, d > 0, ta có: a/ a2 + b2 + c2 + d2 (a + b)(c + d)
 	b/ 
	12/ Cho a > 0, b > 0. Chứng minh: 
	13: 	a/ 2(a4 + b4) ab3 + a3b + 2a2b2, với mọi a, b
	b/ + > a, với a > b > 0
	14: Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC. Chứng minh:
	a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3
	15: x2 + y2 + z2 ; 	x, y, z
Bài 6: Gọi x, y, z là 3 nghiệm của phương trình đã cho. Theo hệ thức Viet ta có: x + y + z = 1; xy + yz + xz = 3a; xyz = b.
	Do a, b > 0 nên x > 0, y > 0, z > 0. Aùp dụng bất đẳng thức Cosi với 3 số dương ta có:
	xy + yz + xz 3 3a 3 27a3 27b2 a3 b2 > 0 
	Vậy + 27b + 27b = = = 28 + 
	Do xy + yz + xz 3 nên 1 3 => 27b 1. Do đó: (27 – 1)(b – 1) 0
	Suy ra + 27b 28. dấu đẳng thức xảy ra 
Bài 7:	1/ Ta có: (a – b)2 0 a2 + b2 2ab
	Tương tự:	b2 + c2 2bc
	a2 + c2 2ac
	Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 2(a2 + b2 + c2) 2(ab + bc + ca)
	 a2 + b2 + c2 ab + bc + ca
	Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = z
	2/ Aùp dụng câu 1/ ta có: x4 + y4 + z4 x2y2 +  ... xảy ra a = b = c tam giác đó là tam giác đều.
Bài 29: Từ 2a2 + + = 4 => (a2 + - 2) + (a2 + ab + ) = ab + 2
	 ab + 2 = + 0 ab -2
	Dấu “=” xảy ra hoặc 
Bài 30: Do a; b; c [0; 1] => (1 – a)(1 – b)(1 – c) 0
 1 + ab + bc + ac – a – b – c – abc 0 a + b + c – ab – bc – ac 1 – abc 1 (do abc 0)
	Mặt khác: 0 b 1 => b2 b; Và 0 c 1 => c3 c
	Vậy a + b2 + c3 – ab – bc – ac a + b + c – ab – bc – ac 1
Bài 31: Ta có: a2 + b2 2|a||b| 0 a, b; và a2 + 1 2|a| 0
	=> (a2 + b2)(a2 + 1) 4|a|2|b| = 4a2|b| 4a2b
Bài 32: Ta có: Cho (m2 + n2)(a2 + b2) = a2m2 + m2b2 + a2n2 + b2n2 =
 	= a2m2 + m2b2 + a2n2 + b2n2 + 2mbna – 2mbna = (am + bn)2 + (mb – na)2 
	Mà m2 + n2 = a2 + b2 = 1 => 1 = (am + bn)2 + (mb – na)2 
	=> (am + bn)2 1 (Vì (mb – na)2 0)
	=> |am + bn| 1; => –1 am + bn 1
Bài 33: x, y, z 0; x + y + z = 1 => x, y, z 1 => 1 – x; 1 – y; 1 – z 0 
	Aùp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm. Ta có:
	(1 – x)(1 – z) 4(1 – x)(1 – z) (1 + y)2	(do 1 – x – z = y)
	4(1 – x)(1 – z)(1 – y) (1 + y)2(1 – y)
Mặt khác: 1 – y2 1 nên (1 + y)2(1 – y) = (1 + y)(1 – y2) = (x + 2y + z)(1 – y2) x + 2y + z
	Vậy 4(1 – x)(1 – z)(1 – y) x + 2y + z
Bài 34: Đặt: b + c = x; c + a = y; a + b = z (x, y, z > 0)
	=> x + y + z = 2( a + b + c) 
Do đó: a = ; b = ; c = . Ta có:
	 = + + = 
 	= + + + + + + = 
 	= + 1 + 1 + 1 = 
Bài 35: a/ Cho 3 số dương a, b, c. Ta có:
	a3 + b3 a2b + ab2 a3 – a2b + b3 – ab2 0  (a – b)2(a + b) 0 là bất đẳng thức đúng.
	b/ Từ a3 + b3 a2b + ab2 => a3 + b3 + abc a2b + ab2 + abc = ab(a + b + c)
	=> . Tương tự ta cũng có:
	 và . Nên ta có:
 + + = 
	Do đó: + + 
Bài 36: Ta áp dụng bất đẳng thức: (a + b)2 4ab	(Tự chứng minh)
Ta suy ra: (a + b) (vì a, b > 0) => (a + b). Tương tự ta cũng có: 
 	 (b + c) và (a + c). Cộng theo từng vế ta được:
 	 + + 
Bài 37: Với a, b, c > 0. Ta áp dụng bất đẳng thức Cosi với 2 số dương ta có:
	1 + 2 > 0; 1 + 2 > 0; 1 + 2 > 0
	Nhân ba bất đẳng thức trên theo từng vế ta được: 8
Bài 38: Ta có: a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab = (a – b)2 + 2	(do ab = 1)
	Suy ra (a2 + b2)2 = [(a – b)2 + 2]2 = (a – b)4 + 4(a – b)2 + 4
	Do đó: 8 8
 	 (a – b)4 + 4(a – b)2 + 4 8(a – b)2 	Vì (a – b)2 > 0
	 (a – b)4 – 4(a – b)2 + 4 0
	 [(a – b)2 – 2]2 0 bất đẳng thức đúng
Bài 39: VT = = + =
	= (a + c)(a + b + c + d). + (b + d)(a + b + c + d). 	
Aùp dụng bất đẳng thức: (x, y > 0)	(tự chứng minh) thì:
(a + c)(a + b + c + d). + (b + d)(a + b + c + d). 
 	 (a + c)(a + b + c + d). + (b + d)(a + b + c + d). =
	= (a + b + c + d)(a + b + c + d). = 4
	Vậy 4
Bài 40:
	a/ a3b + b3c + c3a abc(a + b + c) a + b + c (vì abc > 0)
Dùng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương, ta có:	 + c = 2a (vì a > 0)
	 + a = 2b (vì b > 0)và + b = 2c (vì c > 0)
Cộng 3 bất đẳng thức trên theo từng vế, ta được: + a + b + c 2(a + b + c)
	 a + b + c Vậy a3b + b3c + c3a abc(a + b + c)
	b/ Với a, b, c > 0; Aùp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương, ta có:
	 + 2 = 2abc (vì a, b, c > 0), Tương tự:
	+ 2abc (vì a, b, c > 0) và + 2abc (vì a, b, c > 0)
	Cộng 3 bất đẳng thức trên theo từng vế, ta được:
 	 + + + + + 6abc
Bài 41: Trước hết ta chứng minh b đt quen thuộc: x2 + y2 (tự chứng minh) (1)
a/ Aùp dụng (1), ta có: x4 + y4 = (x2)2 + (y2)2 . (2)
 Mà theo (1) ta có: x2 + y2 ; => (x2 + y2)2 => (x2 + y2)2 (3)
Từ (2) và (3) ta được: x4 + y4 
b/ Aùp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương, ta có: x + y 2 => 1 2 (vì x + y = 1)
	=> 2 => 4	(4)
	Mà theo câu a, ta có: x4 + y4 => 8(x4 + y4) 1	(5) (vì x + y = 1)
 Cộng (4) và (5) theo từng vế ta được: 8(x4 + y4) + 5
Bài 42: Với x > 0, y > 0, ta có: (Tự chứng minh)
	Áp dụng bất đẳng thức trên với 2 số dương x2 + xy và y2 + xy ta được:
 	 = . 
 	Mà x > 0, y > 0 và x + y 1 => 1 => 1.
	Do đó: 4
Bài 43: Ta có: = = => x (Vì x 1 > 0)	(1)
	 = = => y (Vì y 1 > 0)	(2)
 	Cộng (1) và (2) ta được: x + y xy
Bài 44: Do a > c; b > c; c > 0. Nên: + 
	 c(a – c) + c(b – c) + 2 ab
	 ac + bc – 2c2 + 2c ab ( Vì c > 0)
	 c2 – 2c + ab – ac + c2 – bc 0
 	 c2 – 2c + a(b – c) – c(b – c) 0
	 c2 – 2c + (a – c)(b – c) 0 0 (Đúng)
	Vậy + 
Bài 45: 
 Từ ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
	+ Dễ dàng chứng minh được: ab + bc + ca a2 + b2 + c2
	+ Ta chứng minh: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
	Ta có: a > |b – c| => a2 > (b – c)2, tức là a2 > b2 + c2 – 2bc
	Tương tự: b2 > a2 + c2 – 2ac	và c2 > a2 + b2 – 2ab
	=> a2 + b2 + c2 > 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca) => a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
	Vậy ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
	Do đó < 2()
Bài 46: P = abc(a + b)(b + c)(c + a) = c(a + b).a(b + c).b(c + a)
	Dùng bất đẳng thức Cosi với 2 số dương c và a + b ta có:
	c + (a + b) 2 hay 1 2 > 0. Tương tự ta cũng có:
	a + (b + c) 2 hay 1 2 > 0
	và b + (c + a) 2 hay 1 2 > 0
	Nhân theo từng vế các bất đẳng thức trên ta được: 1 8 = 8
	=> P 
	Dấu “=” xảy ra a = b = c = 
	Điều này không thoả giả thiết a + b + c = 1; Vậy dấu “=” không xảy ra; tức là P < 
Bài 47: Do x > 0, y > 0 nên x – y = x3 + y3 > 0
	Ta có: x3 + y3 > x3 – y3 > 0
	1 = > = x2 + xy + y2 > x2 + y2
	Vậy x2 + y2 < 1
Bài 48:a/ Cách 1: ta chứng minh quy nạp
Cách 2: Với k nguyên dương ta có: 12k2 + k – 1 12k2 (4k – 1)(3k + 1) 12k2
	 1 + 1 + 
	Thay k lần lượt từ 1 đến n, nhân vế theo vế ta có điều cần chứng minh.
b/ Ch0 n = 997, theo câu a/ ta có: 
	mà = = < = 
	D o đó: < 
Bài 49: Ta có: (x – y)2 0 (x – y)2 + 4xy 4xy (x + y)2 4xy	(*)
	Aùp dụng (*) ta có: 1 = (a + b + c)2 4a(b + c); a; b; c 0 
	Do đó: (b + c) 4a(b + c)2. Mà (b + c)2 4bc > 0
	Vậy b + c 4a.4bc b + c 16abc
Bài 50: a [-1; 2] -1 a 2 
Ta có: (a + 1)(a – 2) 0 a2 – a – 2 0 a2 a + 2
	Tương tự: b2 b + 2; 	c2 c + 2
	Do đó: a2 + b2 + c2 a + b + c + 6 a2 + b2 + c2 6 (Vì a + b + c = 0)
Bài 51: Ta có: (a + b)2 (a + b)2 + (a – b)2 (a + b)2 a2 + 2ab + b2 + a2 – 2ab + b2 
	(a+b)2 2a2 + 2b2 |a + b| 
	Mà a + b |a + b| Nên a + b 
Aùp dụng A = 2
	Min A = 2 x = 4
Bài 52: a/ Vì a 0; b 0 => ab 0
	Aùp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm ta có:
	a + b 2; 	9 + ab 2
	Do đó: (a + b)(9 + ab) 2.2 = 12ab
	 a + b 	(Vì 9 + ab > 0)
b/ (a2 – b2)2 0 => (a2 – b2)2 + (a2 + b2)2 (a2 + b2)2
	 a4 + 2a2b2 + b4 + a4 – 2a2b2 + b4 (a2 + b2)2  2(a4 + b4) (a2 + b2)2
	 a4 + b4 (a2 + b2)2 
	Vì a2 + b2 => (a2 + b2)2 = . Do đó: a4 + b4 . = 
Bài 53: Ta có: + - + - 0
 	 + 0 + 0
	 x(y – x)(1 + y2) + y(x – y)(1 + x2) 0 (x – y)[–x(1 + y2) + y(1 + x2)] 0
	  (x – y)(x – y)(xy – 1) 0 (x – y)2(xy – 1) 0
	(BĐ T đúng vì (x – y)2 0; x 0, y 0 => (xy – 1) 0)
	Do vậy + 
Bài 54: a/ Do x > y => x – y > 0
	Ta có: = = = (x – y) + 2 = 2
	(Aùp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương)
	b/ a a + a < a + b + c mà a + b + c = 2. Do đó: 2a < 2 
 	=> a < 1. ương tự ta cũng có: b < 1; c < 1
	Ta có: (1 – a)(1 – b)(1 – c) > 0 => (1 – b – a + ab)(1 – c) > 0
	=> 1 – c – b + bc – a + ca + ab – abc > 0 => abc < ab + bc + ca + 1 – (a + b + c)
	=> abc 2abc < 2ab + 2bc + 2ca – 2
	=> a2 + b2 + c2 + 2abc < a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca 
 	=> a2 + b2 + c2 + 2abc a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 (Do a + b + c = 2)
Bài 55: + + 4 = + 2 =
	= + 2 = 
	= = = 0
Bài 56: Với a, b, c > 0. Ta chứng minh: 2b – a. Thật vậy: 
 2b – a 5b3 – a3 (2b – a)(ab + 3b2) 5b3 – a3 2ab2 + 6b3 – a2b – 3ab2
	 a3 – b3 – a2b – a2b – ab2 0	 (a + b)(a2 – ab + b2 – ab) 0	 
	 (a + b)(a – b)2 0	(BĐT đúng)
	Tương tự ta cũng có: 2c – b;	 2a – c
 	Do đó: + + 2b – a + 2c – b + 2a – c = a + b + c
Bài 57: Ta có a4 – a3b + b4 – ab3 = a3(a – b) – b3(a – b) = (a – b)(a3 – b3) = (a – b)2(a2 + ab +b2) = (a – b)2 = (a – b)2 0
	=> a4 + b4 a3b + ab3 a4 + b4 + a4 + b4 a4 + b4 + a3b + ab3
	 2(a4 + b4) a3(a + b) + b3(a + b) 2(a4 + b4) (a3+ b3)(a + b) 
	Do a + b 2; do đó: a3 + b3 > 0
	Ta có: (a + b)(a3 + b3) 2(a3 + b3)
	Do đó: 2(a4 + b4) 2(a3 + b3) =>a4 + b4 a3 + b3
BÀI TẬP BỔ SUNG 08
--------------------------
Bài 1: Cho 2 số không âm a, b thoả mãn 2 – = 1. Chứng minh rằng a + b 
Giải: Đặt = u; = v (u; v 0) => 2u – v = 1
	a + b = u2 + v2 = u2 – (2u – 1)2 = 5u2 – 4u + 1 = 5 5. 
Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức 
Giải: Vì 2 vế không âm nên ta bình phương 2 vế ta được:
	 a2 + b2 + c2 2(|a|.|b| + |a|.|c| + |b|.|c|)
	 2(|a|.|b| + |a|.|c| + |b|.|c|) 0 |a|.|b| + |a|.|c| + |b|.|c| 0
	Mà bất đẳng thức sau cùng lu6ng đúng với mọi a, b, c. Do đó bất đẳng thức đã cho đúng
Bài 3: Cho A = 2xyz – xy – yz – xz + 1. Chứng minh A > 0 với mọi x, y, z lớn hơn 1
Giải: Ta có: A = xyz – xy + xyz – xy – xz + 1 = xy(z – 1) + xz(y – 1) – yz + 1 = 
= xy(z – 1) + xz(y – 1) – yz + 1 + z – 1 – (z – 1) = (z – 1)(xy – 1) + xz(y – 1) – z(y – 1) = 
= (z – 1)(xy – 1) + z(y – 1)(x – 1)
	Vì x; y; z > 1 nên xy > 1; x – 1; y – 1; z – 1 đều dương => A > 0 (x,y,z > 1)
Bài 4: Cho a; b; c là 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. 
	Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
Giải: Vì mỗi cạnh của tam giác đều nhỏ hơn nửa chu vi; mà chu vi tam giác bằng 2 nên ta có: (a – 1)(b – 1)(c – 1) abc – 1 – ab – ac – bc + a + b + c < 0 	(1)
	Ta lại có: a + b + c = 2 => 4 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
 => – ab – ac – bc = 	(2)
	Thay (2) vào (1) ta được: abc – 1 + + 2 < 0
=> a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
Bài 5: Chứng minh rằng nếu: a > 0, b > 0 và ab = 1 thì: 
Giải: Xét hiệu = 1 + = 1 + = = . Hay 
Bài 6: Giải phương trình: |x – 1996|1996 + |x – 1997|1997 = 1
Giải: Với x = 1996; x = 1997 thì vế phải và vế trái của phương trình cùng có số trị là 1 nên phương trình có nghiệm: x1 = 1996; x2 = 1997
	+ Với x c và |x – 1997| > 1. 
Do đó: |x – 1996|1996 + |x – 1997|1997 > 1 => Phương trình vô nghiệm
	+ Với 1997 < x < 1996 thì 0 < x – 1996 < 1 và -1 < x – 1997 < 0 nên:
|x – 1996|1996 < |x – 1996| = x – 1996 và |x – 1997|1997 < |x – 1997| = 1997 – x 
	Do đó: |x – 1996|1996 + |x – 1997|1997 Phương trình vô nghiệm
	+ Với x > 1997 thì |x – 1996| > 1 và |x – 1997| > 0. Do đó:
|x – 1996|1996 + |x – 1997|1997 > 1 nên phương trình vô nghiệm
	Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 = 1996; x2 = 1997