Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Trường THCS Quảng Châu

 Chuyên đề 1
 TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN
I. Mục tiêu
Sau khi học xong chuyên đề học sinh có khả năng:
1.Biết vận dụng tính chất chia hÕt cña sè nguyªn dể chứng minh quan hÖ chia hÕt, t×m sè d­ vµ t×m ®iÒu kiÖn chia hÕt.
2. Hiểu các bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng minh
3. Có kĩ năng vận dụng các kiến thức được trang bị để giải toán.
II. Các tài liệu hỗ trợ:
- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8
- Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8
- Bồi dưỡng toán 8
- Nâng cao và phát triển toán 8
- 
III. Nội dung
1. Kiến thức cần nhớ
1. Chøng minh quan hÖ chia hÕt 
Gäi A(n) lµ mét biÓu thøc phô thuéc vµo n (nN hoÆc n Z)
a/ §Ó chøng minh A(n) chia hÕt cho m ta ph©n tÝch A(n) thµnh tÝch trong ®ã cã mét thõa sè lµ m 
+ NÕu m lµ hîp sè ta ph©n tÝch m thµnh tÝch c¸c thõa sè ®«I mét nguyªn tè cïng nhau råi chøng minh A(n) chia hÕt cho tÊt c¶ c¸c sè ®ã 
+ Trong k sè liªn tiÕp bao giê còng tån t¹i mét sè lµ béi cña k 
b/. Khi chøng minh A(n) chia hÕt cho n ta cã thÓ xÐt mäi tr­êng hîp vÒ sè d­ khi chia m cho n 
* VÝ dô1: 
C/minh r»ng A=n3(n2- 7)2 – 36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn n 
Gi¶i:
Ta cã 5040 = 24. 32.5.7 
A= n3(n2- 7)2 – 36n = n.[ n2(n2-7)2 – 36 ] = n. [n.(n2-7 ) -6].[n.(n2-7 ) +6]
 = n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6) 
Ta l¹i cã n3-7n – 6 = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1) 
=(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3) 
T­¬ng tù : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d
Do ®ã A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) 
Ta thÊy : A lµ tÝch cña 7 sè nguyªn liªn tiÕp mµ trong 7 sè nguyªn liªn tiÕp: 
Tån t¹i mét béi sè cña 5 (nªn A 5 ) 
Tån t¹i mét béi cña 7 (nªn A 7 ) 
Tån t¹i hai béi cña 3 (nªn A 9 )
Tån t¹i 3 béi cña 2 trong ®ã cã béi cña 4 (nªn A 16)
VËy A chia hÕt cho 5, 7,9,16 ®«i mét nguyªn tè cïng nhau A 5.7.9.16= 5040
VÝ dô 2: Ch­ng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a th× : 
a/ a3 –a chia hÕt cho 3 
b/ a5-a chia hÕt cho 5 
Gi¶i:
a/ a3-a = (a-1)a (a+1) lµ tÝch cña c¸c sè nguyªn liªn tiÕp nªn tÝch chia hÕt cho 3 
b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1) 
C¸ch 1:
Ta xÕt mäi tr­êng hîp vÒ sè d­ khi chia a cho 5
NÕu a= 5 k (kZ) th× A 5 (1)
NÕu a= 5k 1 th× a2-1 = (5k21) 2 -1 = 25k2 10k5 A 5 (2)
NÕu a= 5k 2 th× a2+1 = (5k2)2 + 1 = 25 k220k +5 A 5 (3) 
Tõ (1),(2),(3) A 5, n Z
C¸ch 2: 
Ph©n tÝch A thµnh mét tæng cña hai sè h¹ng chia hÕt cho 5 :
+ Mét sè h¹ng lµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp
+ Mét sè h¹ng chøa thõa sè 5 
Ta cã : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1) 
 = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1) 
Mµ = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) 5 (tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp )
 5a (a2-1) 5 
Do ®ã a5-a 5
* C¸ch 3: Dùa vµo c¸ch 2: Chøng minh hiÖu a5-a vµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 5.
Ta cã: 
a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1) 
= a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a 5
 a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5 
Mµ (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5 a5-a 5(TÝnh chÊt chia hÕt cña mét hiÖu)
c/ Khi chøng minh tÝnh chia hÕt cña c¸c luü thõa ta cßn sö dông c¸c h»ng ®¼ng thøc:
an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ +abn-2+ bn-1) (H§T 8)
an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - - abn-2+ bn-1) (H§T 9)
Sö dông tam gi¸c Paxcan:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
..
Mçi dßng ®Òu b¾t ®Çu b»ng 1 vµ kÕt thóc b»ng 1
Mçi sè trªn mét dßng (kÓ tõ dßng thø 2) ®Òu b»ng sè liÒn trªn céng víi sè bªn tr¸i cña sè liÒn trªn.
Do ®ã: Víi a, b Z, n N: 
an – bn chia hÕt cho a – b( ab)
a2n+1 + b2n+1 chia hÕt cho a + b( a-b)
(a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Béi sè cña a)
(a+1)n = Bsa +1
(a-1)2n = Bsa +1
(a-1)2n+1 = Bsa -1
* VD3: CMR víi mäi sè tù nhiªn n, biÓu thøc 16n – 1 chia hÕt cho 17 khi vµ chØ khi n lµ sè ch½n.
Gi¶i:
+ C¸ch 1: - NÕu n ch½n: n = 2k, kN th×:
A = 162k – 1 = (162)k – 1 chia hÕt cho 162 – 1( theo nhÞ thøc Niu T¬n)
Mµ 162 – 1 = 255 17. VËy A17
- NÕu n lÎ th× : A = 16n – 1 = 16n + 1 – 2 mµ n lÎ th× 16n + 116+1=17 (H§T 9) 
A kh«ng chia hÕt cho 17
+C¸ch 2: A = 16n – 1 = ( 17 – 1)n – 1 = BS17 +(-1)n – 1 (theo c«ng thøc Niu T¬n)
NÕu n ch½n th× A = BS17 + 1 – 1 = BS17 chia hÕt cho 17
NÕu n lÎ th× A = BS17 – 1 – 1 = BS17 – 2 Kh«ng chia hÕt cho 17 
VËy biÓu thøc 16n – 1 chia hÕt cho 17 khi vµ chØ khi n lµ sè ch½n, n N
d/ Ngoµi ra cßn dïng ph­¬ng ph¸p ph¶n chøng, nguyªn lý Dirichlª ®Ó chøng minh quan hÖ chia hÕt.
VD 4: CMR tån t¹i mét béi cña 2003 cã d¹ng: 2004 2004.2004
Gi¶i: XÐt 2004 sè: a1 = 2004
 a2 = 2004 2004
 a3 = 2004 2004 2004
 .
 a2004 = 2004 20042004
 2004 nhãm 2004
Theo nguyªn lý Dirichle, tån t¹i hai sè cã cïng sè d­ khi chia cho 2003.
Gäi hai sè ®ã lµ am vµ an ( 1 n <m 2004) th× am - an 2003
Ta cã: am - an = 2004 20042004 00000
 m-n nhãm 2004 4n
 hay am - an = 2004 20042004 . 104n
 m-n nhãm 2004
 mµ am - an 2003 vµ (104n , 2003) =1
nªn 2004 20042004 2003
 m-n nhãm 2004
2. T×m sè d­ 
* VD1:T×m sè d­ khi chia 2100 
a/ cho 9 b/ cho 25
Gi¶i:
a/ Luü thõa cña 2 s¸t víi béi cña 9 lµ 23 = 8 = 9 – 1
Ta cã : 2100 = 2. 299= 2. (23)33 = 2(9 – 1 )33 = 2(BS9 -1) ( theo nhÞ thøc Niu T¬n)
= BS9 – 2 = BS9 + 7
VËy 2100 chia cho 9 d­ 7
b/ Luü thõa cña 2 gÇn víi béi cña 25 lµ 2 10 = 1024 =1025 – 1
Ta cã: 
2100 =( 210)10 = ( 1025 – 1 )10 = BS 1025 + 1 = BS 25 +1 (theo nhÞ thøc Niu T¬n)
VËy 2100 chia cho 25 d­ 1
* VD2: T×m 4 ch÷ sè tËn cïng cña 51994 khi viÕt trong hÖ thËp ph©n
Gi¶i:
C¸ch 1: Ta cã: 1994 = 4k + 2 vµ 54 = 625
Ta thÊy sè tËn cïng b»ng 0625 khi n©ng lªn luü thõa nguyªn d­¬ng bÊt k× vÉn tËn cïng b»ng 0625
Do ®ã: 51994 = 54k+2=(54)k. 52 = 25. (0625)k = 25. (0625)= 5625
C¸ch 2: T×m sè d­ khi chia 51994 ch 10000 = 24.54
 Ta thÊy 54k – 1 = (54)k – 1k chia hÕt cho 54 – 1 = (52 + 1) (52 - 1) 16
Ta cã 51994 = 56(51988 – 1) + 56 mµ 56 54 vµ 51988 – 1 = (54)497 – 1 chia hÕt cho 16
 ( 51994)3. 56(51988 – 1)chia hÕt cho 10000 cßn 56= 15625
51994 = BS10000 + 15625 51994 chia cho 10000 d­ 15625
VËy 4 ch÷ sè tËn cïng cña 51994 lµ 5625
3. T×m ®iÒu kiÖn chia hÕt
* VD1: T×m sè nguyªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B:
A = n3 + 2n2- 3n + 2; B = n2 – n
Gi¶i: 
n3 + 2n2- 3n + 2 n2 – n
n3 – n2 n + 3
 3n2 - 3n + 2 
 3n2 – 3n
 2
Ta cã: n3 + 2n2- 3n + 2 = (n2 – n)(n + 3) +
Do ®ã Gi¸ trÞ cña A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña B n2 – n ¦(2) 
 2 chia hÕt cho n(n – 1) 
 2 chia hÕt cho n
Ta cã b¶ng: 
n
1
-1
2
-2
n – 1
0
-2
1
-3
n(n – 1)
0
2
2
6
Lo¹i
T/m
T/m
Lo¹i
VËy víi n = -1, n = 2 th× gi¸ trÞ cña biÓu thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B
VD 2: T×m sè nguyªn n dÓ n5 + 1 chia hÕt cho n3 + 1
Gi¶i: 
 n5 + 1 n3 + 1n5 + n2 – n2 + 1 n3 + 1
n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) n3 + 1
(n – 1)(n + 1) (n+1)(n2 – n + 1)
n – 1 n2 – n + 1
n(n – 1) n2 – n + 1
Hay n2 – n n2 – n + 1
(n2 – n + 1) – 1 n2 – n + 1
 1n2 – n + 1
XÐt hai tr­êng hîp:
+ n2 – n + 1 = 1 n2 – n = 0 n(n – 1) = 0 n = 0, n = 1 thö l¹i thÊy t/m ®Ò bµi
+ n2 – n + 1 = - 1 n2 – n + 2 = 0 , kh«ng cã gi¸ trÞ cña n tho¶ m·n
VD 3: T×m sè tù nhiªn n sao cho 2n - 1 chia hÕt cho 7
Gi¶i:
Ta cã luü thõa cña 2 gÇn víi béi cña 7 lµ 23 = 8 = 7 + 1
NÕu n = 3k (k N) th× 2n - 1= 23k – 1 = (23)k – 1 = 8 k - 1k8 – 1 = 7
NÕu n = 3k + 1(k N) th× 2n - 1 = 23k+1 – 1 = 8k . 2 – 1= 2(8k – 1) + 1
 = 2. BS7 + 1 
2n - 1 kh«ng chia hÕt cho 7
NÕu n = 3k +2(k N) th× 2n - 1 = 23k+2 – 1= 4.23k – 1 
 = 4( 8k – 1) + 3 = 4.BS7 + 3 
2n - 1 kh«ng chia hÕt cho 7
VËy 2n - 17 n = 3k (k N)
2. Bµi tËp
Bµi 1: Chøng minh r»ng:
a/ n3 + 6n2 + 8n chia hªt ch 48 víi mäi sè n ch½n
b/ n4 – 10n2 + 9 chia hÕt cho 384 víi mäi sè n lÎ
Gi¶i
a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)]
 = n(n+2)(n + 4)
Víi n ch½n, n = 2k ta cã:
n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k. (k + 1)k + 2) 8
 b/ n4 – 10n2 + 9 = n4 – n2 – 9n2 + 9 = n2(n2 – 1)- 9(n2 – 1) = (n2 – 1)(n2 - 9) 
 = (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3)
Víi n lÎ, n = 2k +1, ta cã:
n4 – 10n2 + 9 = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + 1 – 3)( 2k + 1 +3)
 = 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) 16
Bµi 2: Chøng minh r»ng
a/ n6 + n4 -2n2 chia hÕt cho 72 víi mäi sè nguyªn n
b/ 32n – 9 chia hÕt cho 72 víi mäi sè nguyªn d­¬ng n
Gi¶i:
Ta cã: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2)]
 = n2(n2 + 2)(n2 – 1).
Ta l¹i cã: 72 = 8.9 víi (8,9) = 1
XÐt c¸c tr­êng hîp:
+ Víi n = 2kA = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1) 8
+ Víi n = 2k +1 A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2 8
T­¬ng tù xÐt c¸c tr­êng hîp n = 3a, n= 3a 1 ®Ó chøng minh A9
VËy A8.9 hay A72
Bµi 3: Cho a lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3. Chøng minh r»ng a2 – 1 chia hÕt cho 24
Gi¶i:
V× a2 lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 nªn a lÎa2 lµ sè chÝnh ph­¬ng lÎ 
a2 chia cho 8 d­ 1
 a2 – 1 chia hÕt cho 8 (1)
MÆt kh¸c a lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 a kh«ng chia hÕt cho 3 
a2 lµ sè chÝnh ph­¬ng kh«ng chia hÕt cho 3a2 chia cho 3 d­ 1
 a2 – 1 chia hÕt cho 3 (2)
Mµ (3,8) = 1 (3)
Tõ (1), (2), (3) a2 – 1 chia hÕt cho 24
Bµi 4: Chøng minh r»ng:
NÕu sè tù nhiªn a kh«ng chia hÕt cho 7 th× a6 -1 chia hÕt cho 7
Gi¶i: 
Bµi to¸n lµ tr­êng hîp ®Æc biÖt cña ®Þnh lý nhá PhÐc ma:
- D¹ng 1: NÕu p lµ sè nguyªn tè vµ a lµ mét sè nguyªn th× ap – a chia hÕt cho p
- D¹ng 2: NÕu a lµ mét sè nguyªn kh«ng chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× ap-1-1 chia hÕt cho p
ThËt vËy, ta cã a6 -1 = (a3 + 1) (a3 - 1)
NÕu a = 7k 1 (k N) th× a3 = ( 7k 1)3 = BS7 1 a3 - 17
NÕu a = 7k 2 (k N) th× a3 = ( 7k 2)3 = BS7 23 = BS7 8 a3 - 17
NÕu a = 7k 3 (k N) th× a3 = ( 7k 3)3 = BS7 33 = BS7 27 a3 + 17
Ta lu«n cã a3 + 1 hoÆc a3 – 1 chia hÕt cho 7. VËy a6 – 1 chia hÕt cho 7
Bµi 5: Chøng minh r»ng:
NÕu n lµ lËp ph­¬ng cña mét sè tù nhiªn th× (n-1)n(n + 1) chia hÕt cho 504
Gi¶i:
Ta cã 504 = 32 . 7.8 vµ 7,8,9 nguyªn tè cïng nhau tõng ®«i mét
V× n lµ lËp ph­¬ng cña mét sè tù nhiªn nªn ®Æt n = a3
CÇn chøng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hÕt cho 504
Ta cã: + NÕu a ch½n a3 chia hÕt cho 8
 NÕu a lÎ a3-1vµ a3 + 1 lµ hai sè ch½n liªn tiÕp(a3-1) (a3 + 1) chi hÕt cho 8
VËy A8 , nN (1)
+ NÕu a7 a37 A7
 NÕu a kh«ng chia hÕt cho 7 th× a6 – 17(a3-1) (a3 + 1) 7(§Þnh lÝ PhÐc ma)
VËy A7 , nN (2)
+ NÕu a3 a39 A9
NÕu a kh«ng chia hÊe cho 3 a = 3k 1 a3 = ( 3k 3)3= BS91 
a3 – 1 = BS9+1 – 1 9
 a3 + 1 = BS9- 1 + 1 9
VËy A9 , nN (3)
Tõ (1), (2), (3) A9 , nN 
Bµi 6: T×m sè tù nhiªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ sè nguyªn tè:
a/ 12n2 – 5n – 25
b/ 8n2 + 10n +3
c/ 
Gi¶i:
a/ Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: 12n2 – 5n – 25 = 12n2 +15n – 20n – 25 
= 3n(4n + 5) – 5(4n +5) = (4n +5)(3n –5)
Do 12n2 – 5n – 25 lµ sè nguyªn tè vµ 4n +5 > 0 nªn 3n – 5 > 0.
 Ta l¹i cã: 3n – 5 < 4n +5(v× n 0) nªn ®Ó 12n2 – 5n – 25 lµ sè ng­yªn tè th× thõa sè nhá ph¶i b»ng 1 hay 3n – 5 = 1 n = 2
Khi ®ã, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 lµ sè nguyªn tè.
VËy víi n = 2 th× gi¸ trÞ cña biÓu thøc 12n2 – 5n – 25 lµ sè nguy ...  = Chứng minh rằng 
HƯỚNG DẪN:
A = 
Áp dụng (a + 1) ³ 2a
a) A - B = a + b - =2( a + b) - (a + b) ³ 0. b) Áp dụng câu a.
Xem bài 1
 + + £ + + = + + = .
 + + ³ ³ = 
 A = + = ( + ) + ³ + = 6 ( vì 2ab £ (a+b) )
 B = + = 3( +) + 
 (a + ) + + (b + ) + = + ³ 5(a + ) + 5(b + ) 
 	= 5( a + b) + 5( + ) ³ 5( a + b) + 5. = 25
 Suy ra: (a + ) + (b + ) ³ 
 + ³ ; + ³ ; + ³ 
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được Đpcm
Ta có: + = ( + ) ³ 2. 
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được đpcm. Đẳng thức xáy ra khi và chỉ khi a = b = c.(Hãy kiểm tra lại)
Áp dụng BĐT 
 a + b ³ ( a + b ) ³ ³ 
 ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = + + 
= (a+b+c) ( + + ) ³ (a+b+c) . = Suy ra: 
Áp dụng BĐT ở ví dụ 6 cho 3 số rồi tiếp tục áp dụng lần nửa cho 3 số 
a2b2 + b2c2 + c2a2 ta có đpcm.
Áp dụng BĐT .Nhân từng thừa số của 3 BĐT suy ra ĐPCM
A có 2n + 1 số hạng (Kiểm tra lại !).Áp dụng BĐT Với từng cặp số hạng thích hợp sẽ có đpcm
Chuyên đề 10 
Ví dụ 8:
Rút gọn Biếu thức Với a 
Thực hiện phép tính: (a 2.)
Giải:
a.
b.
Ví dụ 9: Thực hiện phép tính: .( Với x y)
Giải:
Ví dụ 10: Cho biểu thức : .
Rút gọn biểu thức A.
Chứng minh rằng A không âm với mọi giá trị của x .
Giải:
b.
Ví dụ 11: Tính giá trị biếu thức : 
với a = 2007.
Giải:
Ví dụ 12: Tính giá trị biếu thức : .
Biết x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - .
Giải: 
x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - 
Bài tập:
Chứng minh rằng Biếu thức
P =
không phụ thuộc vào x.
Cho biểu thức M = .
Tìm tập xác định của M.
Tính giá trị của x để M = 0.
Rút gọn M.
Cho a,b,c là 3 số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng :
Cho biểu thức : B = 
Rút gọn B
Chứng minh rằng : n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 16 với n Z
Rút gọn biểu thức : với x -3; x 3; y -2.
Cho Biếu thức : A = .
Tìm điều kiện có nghĩa và Rút gọn biểu thức A.
Tìm giá trị của x để A > 0.
Tìm giá trị của A trong trường hợp .
 a.Thực hiện phép tính: 
a.A = .
b. Rút gọn C = .
Cho a,b,c là 3 số nhau đôi một.
Tính S = .
 Tính giá trị của biểu thức : biết:
Cho a + b + c = 1 và .
Nếu . Chứng minh rằng xy + yz + zx = 0.
b.Nếu a3 + b3 + c3 = 1. Tính giá trị của a,b,c
Bài 11: Cho Biếu thức : .
Tính giá trị của A khi a = -0,5.
Tính giá trị của A khi : 10a2 + 5a = 3.
 Chứng minh nếu xyz = 1 thì: .
Chứng minh đẳng thức sau: 
Thực hiện phép tính: .
Tính tổng : S(n) = .
 Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức :
A = .
Biết a là nghiệm của Phương trình : .
 Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác biết rằng:
 Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều.
 Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số dương thỏa điều kiện: a + b = 1 thì : 
Thực hiện phép tính: 
A = 
 Rút gọn biểu thức : A = .
 Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương trong TXĐ: 
B = 
 Rút gọn rồi Tính giá trị biếu thức với x + y = 2007.
	A = .
 Cho 3 số a,b,c 0 thỏa mãn đẳng thức: .
Tính giá trị biểu thức P = .
Cho biểu thức : . Chứng minh rằng nếu :
 	x + y + z = 0 thì A = 1.
HƯỚNG DẪN:
 P =
 M = .
 =
= 
a.Rút gọn B = 
b. n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 
a.A = .
b.A > 0
c.
x = 11 
x = 3 A không xác định
a.A = .
b. Rút gọn C = .
 S = 
 Từ:(1) 
Biến đổi A = (2)
Thế (1) vào (2) ; A = - 3 
 Từ a + b + c = 1 và suy ra:
ab + bc + ca = 0 (1)
a. Nếu 
suy ra : 
Suy ra xy + yz + zx = 0.
b. Áp dụng
Từ a3 + b3 + c3 = 1. Suy ra: Từ đó tính được a , b , c.
Xem bài 21
 Từ xyz = 1 Biến đổi 
.
Chứng minh : 
.
 	.
 .
.
Rút gọn 
=
. Cộng từng vế được A = 0.
A = .
TXĐ: ;B = 
A = .
Từ: .
Suy ra: 
Suy ra: 
Suy ra: hoặc a + b + c = 0 hoặc a = b = c.
P = -1 hoặc P = 8
Từ: x + y + z = 0 suy ra: 
. 
=========o0o=========
xKIẾM TIỀN QUA MẠNG VIỆT NAM
Quý thầy cô và bạn hãy dành thêm một chút thời gian để đọc bài giới thiệu sau của tôi và hãy tri ân người đăng tài liệu này bằng cách dùng Email và mã số người giới thiệu của tôi theo hướng dẫn sau. Nó sẽ mang lại lợi ích cho chính thầy cô và các bạn, đồng thời tri ân được với người giới thiệu mình:
 Kính chào quý thầy cô và các bạn. 
 Lời đầu tiên cho phép tôi được gửi tới quý thầy cô và các bạn lời chúc tốt đẹp nhất. Khi thầy cô và các bạn đọc bài viết này nghĩa là thầy cô và các bạn đã có thiên hướng làm kinh doanh 
 Nghề giáo là một nghề cao quý, được xã hội coi trọng và tôn vinh. Tuy nhiên, có lẽ cũng như tôi thấy rằng đồng lương của mình quá hạn hẹp. Nếu không phải môn học chính, và nếu không có dạy thêm, liệu rằng tiền lương có đủ cho những nhu cầu của thầy cô. Còn các bạn sinh viênvới bao nhiêu thứ phải trang trải, tiền gia đình gửi, hay đi gia sư kiếm tiền thêm liệu có đủ? 
 . Vậy tại sao chúng ta không bỏ ra mỗi ngày 5 đến 10 phút lướt web để kiếm cho mình vai triệu mỗi tháng.
	 Ở Việt Nam trang web thật sự uy tín đó là :  .Lúc đầu bản thân tôi cũng thấy không chắc chắn lắm về cách kiếm tiền này. Nhưng giờ tôi đã hoàn toàn tin tưởng, đơn giản vì tôi đã được nhận tiền từ công ty.( thầy cô và các bạn cứ tích lũy được 50.000 thôi và yêu cầu satavina thanh toán bằng cách nạp thẻ điện thoại là sẽ tin ngay).Tất nhiên thời gian đầu số tiền kiếm được chẳng bao nhiêu, nhưng sau đó số tiền kiếm được sẽ tăng lên. Có thể thầy cô và các bạn sẽ nói: đó là vớ vẩn, chẳng ai tự nhiên mang tiền cho mình. Đúng chẳng ai cho không thầy cô và các bạn tiền đâu, chúng ta phải làm việc, chúng ta phải mang về lợi nhuận cho họ. Khi chúng ta đọc quảng cáo, xem video quảng cáo nghĩa là mang về doanh thu cho Satavina, đương nhiên họ ăn cơm thì chúng ta cũng phải có cháo mà ăn chứ, không thì ai dại gì mà làm việc cho họ.
Vậy chúng ta sẽ làm như thế nào đây. Thầy cô và các bạn làm như này nhé: 
1/ Satavina.com là công ty như thế nào:
Đó là công ty cổ phần hoạt động trong nhiều lĩnh vực, trụ sở tại tòa nhà Femixco, Tầng 6,  231-233 Lê Thánh Tôn, P.Bến Thành, Q.1, TP. Hồ Chí Minh.
 GPKD số 0310332710 - do Sở Kế Hoạch và Đầu Tư TP.HCM cấp. Giấy phép ICP số 13/GP-STTTT do Sở Thông Tin & Truyền Thông TP.HCM cấp.quận 1 Thành Phố HCM.
 Khi thầy cô là thành viên của công ty, thầy cô sẽ được hưởng tiền hoa hồng từ việc đọc quảng cáo và xem video quảng cáo( tiền này được trích ra từ tiền thuê quảng cáo của các công ty quảng cáo thuê trên satavina)
2/ Các bước đăng kí là thành viên và cách kiếm tiền:
Để đăng kí làm thành viên satavina thầy cô làm như sau:
Bước 1: 
Nhập địa chỉ web:  vào trình duyệt web( Dùng trình duyệt firefox, không nên dùng trình duyệt explorer) 
Giao diện như sau:
 Để nhanh chóng quý thầy cô và các bạn có thể coppy đường linh sau:
 ( Thầy cô và các bạn chỉ điền thông tin của mình là được. Tuy nhiên, chức năng đăng kí thành viên mới chỉ được mở vài lần trong ngày. Mục đích là để thầy cô và các bạn tìm hiểu kĩ về công ty trước khi giới thiệu bạn bè ) 
 Bước 2:
 Click chuột vào mục Đăng kí, góc trên bên phải( có thể sẽ không có giao diện ở bước 3 vì thời gian đăng kí không liên tục trong cả ngày, thầy cô và các bạn phải thật kiên trì). 
 Bước 3:
 Nếu có giao diện hiện ra. thầy cô khai báo các thông tin:
Thầy cô khai báo cụ thể các mục như sau:
+ Mail người giới thiệu( là mail của tôi, tôi đã là thành viên chính thức): 	 
+ Địa chỉ mail: đây là địa chỉ mail của thầy cô và các bạn. Khai báo địa chỉ thật để còn vào đó kích hoạt tài khoản nếu sai thầy cô và các bạn không thể là thành viên chính thức.
+ Nhập lại địa chỉ mail:.....
+ Mật khẩu đăng nhập: nhập mật khẩu khi đăng nhập trang web satavina.com
+ Các thông tin ở mục: 
Thông tin chủ tài khoản: thầy cô và các bạn phải nhập chính xác tuyệt đối, vì thông tin này chỉ được nhập 1 lần duy nhất, không sửa được. Thông tin này liên quan đến việc giao dịch sau này. Sai sẽ không giao dịch được.
+ Nhập mã xác nhận: nhập các chữ, số có bên cạnh vào ô trống
+ Click vào mục: tôi đã đọc kĩ hướng dẫn.....
+ Click vào: ĐĂNG KÍ
Sau khi đăng kí web sẽ thông báo thành công hay không. Nếu thành công thầy cô và các bạn vào hòm thư đã khai báo để kích hoạt tài khoản. Khi thành công quý thầy cô và các bạn vào web sẽ có đầy đủ thông tin về công ty satavina và cách thức kiếm tiền. Hãy tin vào lợi nhuận mà satavina sẽ mang lại cho thầy cô. Hãy bắt tay vào việc đăng kí, chúng ta không mất gì, chỉ mất một chút thời gian trong ngày mà thôi.
 Kính chúc quý thầy cô và các bạn thành công.
 Nếu quý thầy cô có thắc mắc gì trong quá trình tích lũy tiền của mình hãy gọi trực tiếp hoặc mail cho tôi:
 Người giới thiệu: 
Email người giới thiệu: leanhquyet29@yahoo.com.vn Mã số người giới thiệu: 00070300 
2/ Cách thức satavina tính điểm quy ra tiền cho thầy cô và các bạn:
+ Điểm của thầy cô và các bạn được tích lũy nhờ vào đọc quảng cáo và xem video quảng cáo.
Nếu chỉ tích lũy điểm từ chính chỉ các thầy cô và các bạn thì 1 tháng chỉ được khoảng 1tr.Nhưng để tăng điểm thầy cô cần phát triển mạng lưới bạn bè của thầy cô và các bạn.
3/ Cách thức phát triển mạng lưới:
- Xem 1 quảng cáo video: 10 điểm/giây. (có hơn 10 video quảng cáo, mỗi video trung bình 1 phút)
- Đọc 1 tin quảng cáo: 10 điểm/giây. (hơn 5 tin quảng cáo)
_Trả lời 1 phiếu khảo sát.:100,000 điểm / 1 bài.
_Viết bài....
Trong 1 ngày bạn chỉ cần dành ít nhất 5 phút xem quảng cáo, bạn có thể kiếm được: 10x60x5= 3000 điểm, như vậy bạn sẽ kiếm được 300đồng . 
- Bạn giới thiệu 10 người bạn xem quảng cáo (gọi là Mức 1 của bạn), 10 người này cũng dành 5 phút xem quảng cáo mỗi ngày, công ty cũng chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày.
- Cũng tương tự như vậy 10 Mức 1 của bạn giới thiệu mỗi người 10 người thì bạn có 100 người (gọi là mức 2 của bạn), công ty cũng chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày.
- Tương tự như vậy, công ty chi trả đến Mức 5 của bạn theo sơ đồ sau :
- Nếu bạn xây dựng đến Mức 1, bạn được 3.000đồng/ngày
→ 90.000 đồng/tháng.
- Nếu bạn xây dựng đến Mức 2, bạn được 30.000đồng/ngày
→ 900.000 đồng/tháng.
- Nếu bạn xây dựng đến Mức 3, bạn được 300.000đồng/ngày
→ 9.000.000 đồng/tháng.
- Nếu bạn xây dựng đến Mức 4, bạn được 3.000.000đồng/ngày
→ 90.000.000 đồng/tháng.
- Nếu bạn xây dựng đến Mức 5, bạn được 30.000.000đồng/ngày
→ 900.000.000 đồng/tháng.
Tuy nhiên thầy cô và các bạn không nên mơ đạt đến mức 5. Chỉ cần cố gắng để 1tháng được 1=>10 triệu là quá ổn rồi. 
Như vậy thầy cô và các bạn thấy satavina không cho không thầy cô và các bạn tiền đúng không. Vậy hãy đăng kí và giới thiệu mạng lưới của mình ngay đi.
Lưu ý: Chỉ khi thầy cô và các bạn là thành viên chính thức thì thầy cô và các bạn mới được phép giới thiệu người khác.
 Hãy giới thiệu đến người khác là bạn bè thầy cô và các bạn như tôi đã giới thiệu và hãy quan tâm đến những người mà bạn đã giới thiệu và chăm sóc họ( khi là thành viên thầy cô và các bạn sẽ có mã số riêng).Khi giới thiệu bạn bè hãy thay nội dung ở mục thông tin người giới thiệu là thông tin của thầy cô và các bạn. Chúc quý thầy cô và các bạn thành công và có thể kiếm được 1 khoản tiền cho riêng mình.
 Website: 
HÃY KIÊN NHẪN BẠN SẼ THÀNH CÔNG
Chúc bạn thành công!