Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Lớp 8 - Nguyễn Quốc Anh

CHỦ ĐỀ I: PHÉP NHÂN ĐA THỨC
NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
I. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
Bài 1 Tính giá trị của các biểu thức
A = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x tại x = 14
B = x14 - 10x13 + 10x12 - 10x11 + ... + 10x2 - 10x + 10 tại x = 9
C = 
Bài 2: 
Rút gọn biểu thức :
Chứng minh: (7x + 1)2 – (x + 7)2 = 48(x2 – 1)
Tìm x,biết : 16x2 - (4x – 5)2 = 15
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x2 + 2x + 3
Bài 3: 
Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào m: 
Chứng minh rằng hiệu của hai số nguyên liên tiếp là một số lẻ
Rút gọn biểu thức : P = (3x +4)2 – 10x – (x – 4)(x +4).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x2 – 4x +5. 
Bài 4:
Chứng minh rằng: (x – y)2 – (x + y)2 = - 4xy
Chứng minh: (7n – 2)2 – (2n – 7)2 luôn luôn chia hết cho 9,
với mọi n là giá trị nguyên
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = - x2 + 6x +1.
Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 
 II. HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG
A. Áp dụng hằng đẳng thức 
1. Bình phương của một tổng: =
2. Bình phương của một hiệu: = 
3. Hiệu của hai bình phương: 
4. Lập phương của tổng: 
5. Lập phương của hiệu: 
6. Tổng hai lập phương: 
7. Hiệu hai lập phương: 
* Một số hằng đẳng thức tổng quát 
an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b +  + abn-2 + bn-1)
a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b +  + a2k-3b2 –b2k-1)
a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 -  + b2k)
(a + b)n = an + nan-1b + an-2b2++a2bn-2 +nabn-1 + bn
(a -b)n = an - nan-1b + an-2b2- -a2bn-2 +nabn-1 - bn
Bài tập1: Chứng minh các hằng đẳng thức sau :
1 
2. 
3. 
4. 
Bài tập 2. Tính :
a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 +  – 20042 + 20052
b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 
Giải
a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 +  – 20042 + 20052
 A = 1 + (32 – 22) + (52 – 42)+ + ( 20052 – 20042) 
 A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) +  + (2005 + 2004)(2005 – 2004)
 A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +  + 2004 + 2005
 A = ( 1 + 2002 ). 2005 : 2 = 2011015
b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 
 B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 
 B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
 B = 
 B =(232 - 1)(232 + 1) – 264
 B = 264 – 1 – 264 
 B = - 1 
* Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức A2 – B2 
Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 
a/ A = x2 – 4x + 7
b/ B = x2 + 8x
c/ C = - 2x2 + 8x – 15 
Giải
a/ A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2)2 + 3 > 3
Dấu “ =” xảy ra Û x – 2 = 0 Û x = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2.
b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16 
Dấu “ =” xảy ra Û x – 4 = 0 Û x = 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4.
c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 < - 7
 Dấu “ =” xảy ra Û x – 2 = 0 Û x = 2
 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2.
 * Chú ý: 
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần:
Chứng minh A > m với m là một hằng số.
Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu minA )
Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần:
Chứng minh A < t với t là một hằng số.
Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.
Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là t ( kí hiệu maxA )
Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) thì a = b = c
Giải
 ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac )
a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac 
a2 + b2 + c2- ab - bc – ac = 0 
2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac = 0 
( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) = 0
( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 = 0
( a – b)2 =0 hay ( b – c)2 = 0 hay ( c – a)2 = 0
 a = b hay b = c hay c = a 
a = b = c 
* Chú ý:
Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức 
(a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Bài tập 5. Chứng minh rằng:
a/ 7.52n + 12.6n 19 ( n N)
b/ 11n+2 + 122n+1 133 ( n N)
Giải
a/ 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n 19
Vì ( 25n – 6n ) ( 25 – 6) nên ( 25n – 6n ) 19 và 19.6n 19
Vậy 7.52n + 12.6n 19 ( n N)
b/ 11n+2 + 122n+1 133 = 112 . 11n + 12.122n 
 = 12.( 144n – 11n) + 133.11n 133
Vì (144n – 11n) (144 – 11) nên (144n – 11n) 133
* Chú ý:
Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức 
an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b +  + abn-2 + bn-1) do đó (an – bn) (a- b)
Bài tập 6. Tìm x, y, z biết rằng: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
Giải
 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
 Û (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = 0
 Û ( x + y + z)2 + ( x + 5)2 + (y + 3)2 = 0
 Û ( x + y + z)2 = 0 ; ( x + 5)2 = 0 ; (y + 3)2 = 0
x = - 5 ; y = -3; z = 8
* Chú ý: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức 
(a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Bài tập 7: Cho x = ; y = . Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương.
Ta có : y = = + 4 = x + 4
Do đó: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x2 + 4x + 4 = ( x + 2 )2
hay xy + 4 = là số chính phương.
 	= 0
CH Ủ Đ Ề II:
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
1/ Đặt nhân tử chung , dùng hằng đẳng thức , nhóm các hạng tử.
2/Tách các hạng tử .
3/ Thêm bớt một hạng tử .
4/ Phương pháp hệ số bất định
5/ Phương pháp đổi biến .
6/ Phương pháp xét giá trị riêng
I/ Phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử
Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a/ x + x	+ 2x + x +1
Giải / x+ x+ 2x + x +1 = ( x+ 2 x+ 1 ) + (x + x )
 = ( x +1) + x ( x +1) 
 = ( x +1) ( x +x +1)
b/ x + 2x y + xy - 9x = x( x + 2x y + y - 9 )
 = x( x+ y -3)( x+ y +3)
c/ a+ b+c- 3abc = (a+b )- 3a b – 3ab + c- 3abc
 = [ (a+b )+ c ] -3ab(a+b+c)
 =(a+b+c)[( a+b) - c(a+b) + c - 3ab]
d/ (a+b+c) - a- b-c = [ (a+b)+c] - a- b-c
 = (a+b)+ c +3c(a+b)(a+b+c) - a- b-c
 =a+ b+ 3ab(a+b)+ c+3c(a+b)(a+b+c) - a- b-c
 = 3(a+b)(ab+ac+bc+c) = 3(a+b)(b+c)(c+a)
e/ x(y-z)+y(z-x)+z(x-y) = x(y-z)+yz-xy +xz- yz
=x(y-z)+yz(y-z)-x(y- z) =(y-z)(x+yz-xy-xz)
=(y-z)[x(x-y)-z(x-y) =(y-z)(x-y)(x-z)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc
Ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc	= (a + b)3 – 3ab(a+b) + c3 – 3abc
	= [(a+b)3+c3 ] – 3ab(a+b+c)
	= (a+b+c) [(a+b)2–c(a+b)+c2 ]– 3ab (a+b+c)
	= (a+b+c) (a2 + 2ab + b2 – ac- ab + c2- 3ab) 
	= (a +b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac) 
	= (a + b + c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2]
Nhận xét: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a3 + b3 + c3 – 3abc = 0
	=> (a+b+c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] = 0
	=> => 
	Áp dụng nhận xét trên vào giải một số dạng toán:
	Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
	Dạng 2: Tính giá trị biểu thức.
	Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình
	Dạng 4: Chứng minh đẳng thức.
II/Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử(vói hệ số nguyên)
Nhận xét: Nếu đa thức không chứa nhân tử chung,không có dạng hằng đẳng thức,cũng không nhóm được hạng tử ta có thể biến đổi đa thức thành nhiều hạng tử hơn để nhóm các hạng tử.
Ví dụ : 3x-8x+4 = 3x-6x-2x+4= 3x(x-2)-2(x-2)=(x-2)(3x-2)
Hay tách 4x-8x+4 - x= (2x-2) - x = ...
Chú ý: Trong cách 1 ta tách hạng tử -8x thành 2 hạng tử -6x và -2x,các hệ số thứ 2 và thứ 4 đều gấp -2 lần hệ số liền trước nhờ đó xuất hiện nhân tử chung x-2
Một cách tổng quát để phân tích tam thức bậc 2 thành nhân tử ta tách hạng tử bx thành bx +bx sao cho b.b =a.c.
Trong thực hành ta thực hiện như sau: 
 1/ Tìm tích a.c
2/phân tích a.c ra thừa số nguyên bằng mọi cách.
3/ Chọn hai thừa số có tổng bằng b.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : : 4x-4x-3
Ta có a.c= 4(-3) = (-3)4 = 6(-2) =(-6)2 ta thấy -6 +2 = -4do đó ta phân tích -4x 
 thành -6x + 2x .
Đối với đa thức bậc ba trở lên người ta chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do.
Ví dụ : Phân tích đa thức : x - x -4 đa thức này có nghiệm nguyên thì phải là ước của 4 lần lượt ta kiểm tra ±1 , ±2 , ±3 ,±4 ta thấy x =2 là nghiệm của đa thức do đó đa thức có chứa nhân tử x – 2 vậy ta tách đa thức trên thành :
x - x -4 = x -2 x+ x -4 = x(x-2) +(x-2)(x+2) = ...
Chú ý : Khi xét nghiệm nguyên của đa thức ta chú ý 2 định lí sau :
1/ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức do đó đa thức cố chứa nhân tử x -1 .
Ví dụ : Phân tích đa thức x- 5x +8x -4 ta thấy 1 -5 +8 -4 =0 nên đathức có chứa nhân tử x – 1 vậy ta tách như sau: x - x- 4 x+8x -4 = x(x-1) – 4(x-1)
2/Nếu đa thức có tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức do đó đa thức chứa nhân tử x +1.
Ví dụ: Phân tích đa thức x- 5x + 3x +9 ta thấy 1+3 = -5+9 nên -1 là nghiệm của đa thức do đó đa thức chứa nhân tử x+1 ta phân tích như sau :
x- 5x +3x +9 = x+ x- 6x+3x +9 = x+ x- 6x-6+3x +3
=x(x+1) -6(x-1)(x+1)+3(x+1) = ...
Trong trường hợp đa thức không có nghiệm nguyên ;đa thức cố thể có nghiệm hửu tỉ , người ta chứng minh được rắng đa thức có các hệ số nguyên nghiệm hửu tỉ nếu có phải có dạng trong đó p là ước của hệ số tự do và q là ước dương của hệ số cao nhất . Ví dụ : Phân tích đa thức 3x- 7x +17x -5 ta thấy các số ±1 ,±5 không phải là nghiệm của đa thức ,xét các số ± , ± ta có là nghiệm của đa thức do đó đa thức chứa thừa số 3x-1 ta tách hạng tử như sau :
3x- 7x +17x -5 = 3x- x -6 x+2x + 15x-5 =x(3x-1)- 2x( 3x-1)+ 5(3x-1)=.
Bµi tËp: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a, x2 - 2x - 3 	= (x – 3)( x + 1)
b, 4x2 - 4x – 3 	= (2x – 3)(2x + 1)
c, 6x2 - 11x + 3 	= (3x – 1)(2x – 3) 
d, 2x2 + 3x - 27 	= (x – 3)(2x + 9) 
e, 3x2 - 8x + 4 	= (x – 2)(3x – 2)
g, 2x2 -5xy + 3y2 	= (x – 3y)(2x – y) 
h, 2x2 - 5xy - 3y2 	= (x – 3y)(2x + y)
i, 2x2 + 5xy - 7y2	= (2x + 7)(x – y)
3/ Phương pháp thêm bớt một hạng tử:
a/Thêm bớt một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương
Ví dụ : Phân tích da thức 4x +81 ta thêm bớt 36x ta có
4x +81 = 4x+36x +81 -36x = (2x+9) – (6x) =...
Nhận xét : Trong trường hợp này dùng cho đa thức có hai hạng tử.
b/ Thêm bớt một hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung.
Ví dụ : Phân tích đa thức x +x -1 ta thêm bớt x,x,x như sau:
x +x -1 = x+x+x+x -x-x-x +x -1
= (x-x+x)+(x-x+x ) –(x -x +1 ) = ...
Chú ý : Các đa thức có dạng x+ x+1 đều chứa nhân tử x +x +1
Ví dụ : x+ x+1; : x+x+1 ; x+ x+1; x+ x+1 ...
4/Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch nhÈm nghiÖm 
 KiÕn thøc liªn quan: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
 (cã thÓ ¸p dông ®/v bËc cao h¬n)
*1, f(x) cã nghiÖm x = α ⇔ f(α) = 0 " f(x) = (x - α).g(x)
*2, S¬ ®å Hoãc ne: ( Thùc hiÖn ®­îc víi ∀ x Î R )
x
a
b
c
d
α
a1
= a
b1
= a α +b
c1
= b1 α +c
d1
= c1 α +d
 	 ¦(d)
*3, NghiÖm h÷u tØ cña ®a thøc (nÕu cã) cã d¹ng -------- 
 	 ¦+(a)
*4, §Æc biÖt:
 	f(x) cã tæng c¸c hÖ sè b»ng kh«ng ⇔ f(1) = 0
	f(x) cã tæng c¸c hÖ sè bËc ch¼n b»ng tæng c¸c hÖ sè bËc lÎ
 ⇔ f(- 1) = 0
 VD1: f(x) = x3 + 3x2 - 4
 F(x) cã tæng c¸c hÖ sè b»ng 0 f(x) cã nghiÖm x = 1
x
1
3
0
- 4
1
1
4
4
0
 VËy f(x) = (x - 1)(x2 + 4x + 4)
 = (x - 1)(x + 2)2
Tr×nh bµy:
 C1, x3 + 3x2 - 4 C2, x3 + 3x2 - 4
 = x3 - x2 + 4x2- 4 	= x3 - 1 + 3x2 -3
 = x2(x - 1) + 4(x2 - 1) 	= (x - 1)(x2 + x + 1) + 3(x2-1)
 = (x - 1)(x2 + 4x + 4) 	= (x - 1)(x2 + x + 1 + 3x + 3)
 = (x - 1)(x + 2)2 	= (x - 1)(x + 2)2
VD2: f(x) = 2x3 - 5x2 + 8x - 3
 ¦(-3) = { -1 ; 1 ; - 3 ; 3 }
 ¦(2) = { 1 ; 2 } 1 3
 NghiÖm h÷u tØ nÕu cã lµ: ± 1 ; ± --- ; ± 3 ; ± ----
2
 Thö nghiÖm: f(1/2) = 0 " f(x) cã nh©n tö (x - 1/2) hay (2x - 1)
Tr×nh bµy:
 f(x) = 2x3 - 5x2 + 8x - 3
 = 2x3 - x2 - 4x2 + 2x + 6x - 3
 = x2(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x - 1)
 = (2x - 1)(x2 - 2x + 3)
	Bµi tËp 
Bµi 1: Ph©n tÝch ®t thµnh nh©n tö
a, x3 - x2 - 4 	= ( x – 2 )( x2 + x + 2 ) 
b, 2x3 – 5x2 – x + 6	= ( x + 1 )( x – 2 )( 2x – 3 )
c, 3x3 + 5x2 - 5x + 1	= ( 3x – 1 )( x2 + 2x – 1 )
d, 2x4 - 3x3 + 2x2 – 1 	= ( x – 1 )( 2x + 1 )( x2 – x + 1 )
e, 2x4 + x3 - 4x2 + x – 6	= ( x + 2 )( 2x – 3 )( x2 + 1 )
f, x5 - 6x3 + x2 + 8x – 4	= ( x – 1 )( x – 2 )( x + 2 )( x2 + x + 1)
g, x4 + 2x3 + x2 + x + 1	= ( x + 1 )( x2 + x - 1 )
h, 2x3 – 3x2 + 3x - 1	= ( 2x – 1 )( x2 - x + 1 )
i, 3x3 – 14x2 + 4x + 3	= ( 3x + 1 )( x2 - 5x + 3 )
5. Phương pháp hệ số bất định.
Nếu đa thức f(x) không có nghiệm nguyên ,cũng không co nghiệm hửu tỉ ta dùng phương pháp hệ số bất định.
Tæng qu¸t : d¹ng bËc ba
 f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (1)
 = (x + m)(ax2 + b' x + c' ) (*)
 = ax3 + (am + b' )x2 + (b' + c' )x + c'm (2)
 §ång nhÊt hai ®a thøc (1) vµ (2) ta cã :
 am + b' = b
 b' + c' = c " b'= ? , c'= ? , m = ?.
 c'm = d
 Thay b' , c' , m vµo (*) ta cã d¹ng ph©n tÝch.
Chó ý : Ta chØ cÇn chän mét nghiÖm nguyªn nªn ta cã thÓ chän tr­íc gi¸ trÞ cña c’ vµ m sao cho c’m = d
 VD1: f(x) = x3 + 4x2 + 5x + 2 (1)
 = (x + m)(x2 + b'x + c' )
 = x3 + (m + b')x2 + (b'm + c' )x + c'm (2)
 m + b' = 4 m = 1 m = 2
 Tõ (1) vµ (2) " b'm + c' = 5 " b' = 3 HoÆc c’ = 1
 c'm = 2 c' = 2 b’ = 2
 f(x) = (x + 1)(x2 + 3x + 2) HoÆc 	f(x) = (x + 2)(x2 + 2x + 1) 
 = (x + 1)2(x + 2) 	 = (x + 1)2(x + 2)
Tr×nh bµy : f(x) = x3 + x2 + 3x2 + 3x + 2x + 2
 = x2(x + 1) + 3x(x + 1) + 2(x + 1)
 = (x + 1)(x2 + 3x + 2)
 = (x + 1)2(x + 2)
 ( Bµi nµy cã thÓ dïng pp nhÈm nghiÖm.)
VD2 : f(x) = x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1
 §a thøc kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ, nªn f(x) cã thÓ pt thµnh d¹ng :
 (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) ( Nªn chän b = 1 , d = 1 )
 = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
 §ång nhÊt ®a thøc ta cã :
 a+c = 6	 
 ac + b + d = 7 " a = b = d = 1 ; c = 5
 ad + bc = 6
 bd = 1
Tr×nh bµy : f(x) = x4 + x3 + x2 + 5x3 + 5x2 + 5x + x2 + x + 1
 = x2(x2 + x + 1) + 5x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
 = (x2 + x + 1)(x2 + 5x +1)
 Chó ý : ChØ nªn sö dông c¸ch nµy trong tr­êng hîp bÊt ®¾c dÜ
 Dùa vµo kÕt qu¶ pt trªn ®Ó tr×nh bµy theo pp thªm, bít .
 	 Bµi tËp
Bµi 1: Pt ®t thµnh nh©n tö 
a, x4 + 324	= ( x2+ 6x + 18 )( x2- 6x + 18 )
b, 4x4 + 4x3 +5x2 + 2x + 1	= ( 2x2+ x + 1)2
c, x4 - 8x + 63	= ( 1x2+ 4x + 9 )( 1x2- 4x + 7 )
d, 3x2 + 22xy +11x +37x +7y2 + 10
	= ( x+ 7y + 2 )( 3x+ y + 5 )
	H­íng dÉn : d, d¹ng pt lµ : (ax + by + c)(a'x + b'y + c' )
Bµi2: Pt ®t thµnh nh©n tö
a, 4x4 + 6x3 +11x2 + 6x + 1	= (x2 + 3x + 1)2 
b, 3x2 – 22xy – 4 x + 8y + 7y2 + 1
	= (3x – y – 1)(x – 7y – 1)
c, 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3
	= (4x – 6y + 3)(3x + 2y – 1)
Bài 3: Phân tích đa thức x-6x+12x -14x +3. Nếu đa thức này phân tích thành nhân tử thì có dạng (x +ax +b )(x + cx +d ) phép nhân này cho ta kết quả
x+(a+c)x+(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 
đồng nhất đa thức này vứi đa thức đã cho ta điều kiện 
a+c = -6
ac+b+d = 12
ad+bc = -14
bd = 3
Xét bd =3 với bd Z b { ±1 , ±3} với b =3 ; d =1thì hệ trên trở thành
a +c = -6
ac = 8
a+ 3c = -14
2c = -14 – (-6) c = -4 a= -2 vậy đa thức trên được phân tích thành
(x -2x +3 )(x -4x + 1 )
I V/ Phương pháp đổi biến
Ta đặt một đa thức bằng một biến khác để làm gọn đa thức hơn dễ giải hơn
Ví dụ : Phân tích đa thức x(x+4)(x+6)(x+10) +128 = (x +10x)(x +10x + 24 )
đặt x +10x + 12 =y (y-12)(y+12) +128 = y -16 = (y-4)(y+4) =...
 VD1: f(x) = x4 - 8x2 + 12 §Æt : x2 = t
 f(t) = t2 - 8t + 12
 = (t - 2)(t - 6) Thay t = x2
 f(x) = (x2 - 2)(x2 - 6)
 VD2: f(x) = (x2 +x)2 + 4x2 + 4x - 12 
 = (x2 + x)2 + 4(x2 +x) - 12 §Æt x2 + x = t
 f(t) = t2 + 4t - 12
 = ( t - 2)( t + 6) Thay t = x2 + x
 f(x) = (x2 + x - 2)(x2 + x + 6)
 = (x + 2)(x - 1)(x2 + x + 6)
 VD3: f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12 
 C1, §Æt x2 + x = t
 f(t) = (t + 1)(t + 2) -12
 = t2 + 3t + 2 - 12
 = t2 + 5t - 2t - 10
 = t(t + 5) - 2(t + 5)
 = (t + 5)(t - 2)
 f(x) = (x2 + x + 5)(x2 + x - 2)
 = (x + 2)(x - 1)(x2 + x + 5)
 C2, §Æt x2 + x + 1 = y
 f(t) = t(t +1) - 12
 = t2 + t -12 
 = (t - 3)(t + 4)
 f(x) = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4)
 = (x + 2)(x - 1)(x2 + x + 5)
 Tæng qu¸t:
 B1, ViÕt f(x) = f(g(x)) = f(t) Víi t = g(x) 
 B2 Pt®t f(t) Thµnh nh©n tö
 B3, Thay t = g(x) vµo f(t), råi pt 
 Bµi tËp 1:
 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a, (x2 + 3x + 1)2 + 2x2 + 6x – 13	
= (x2 + 3x + 1)2 +2(x2 + 3x + 1) – 15
= t2 + 2t – 15
= (t + 5)(t – 3)
= (x2 + 3x + 6) (x2 + 3x - 2)
b, x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 
= (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) +128
= t (t + 24) + 128
= t2 + 24t + 128
= t2 + 16t + 8t + 128
= (t + 16)(t + 8)
= (x2 + 10x + 16) (x2 + 10x + 8)
= (x + 8)(x + 2)( x2 + 10x + 8)
c, (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 3 
= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 3
= t (t + 2) – 3
= t2 + 2t – 3
= (t + 1)2 – 4
= (t + 3)(t – 1)
= (x2 + 5x + 7)(x2 + 5x + 3)
d, x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1
C1, 
§Æt = t 
Þ t2 = - 2
= x2 (t2 + 6t + 9) = x2 (t + 3)2
= 
C2, ( thªm bít dïng h»ng ®¼ng thøc (a + b + c)2 )
	 = x4 + 9x2 + 1 + 6x3 – 2x2 – 6x 
Bài 2: 	Phân tích đa thức (x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 thành phân tử.
	Ta thấy : x – y + y – z + z – x = 0 => áp dụng nhận xét ta có:
	(x-y)3 + (y – z)3 + (z - x)3 = 3(x-y) (y-z) (z-x)
Bài 3:	Phân tích đa thức (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 thành nhân tử.
	Ta có (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (-y2 - z2)3
	Ta thấy x 2 + y2 + z2 – x2 – y2 – z2 = 0 => áp dụng nhận xét ta có:
	(x2+y2)3+ (z2-x2)3+ -y2-z2)3 = 3(x2 + y2) (z2 –x2) (-y2 – z2) = 3(x2+y2) (x+z)(x-z)(y2+z2)
Bài 4 : Phân tích đa thức (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử
	(x+y+z)3 – x3-y3-z3 =[(x +y) +z]3 – x3 – y3 – z3.
	= (x+y)3 + 3 (x+y) (x+y+z) – x3-y3-z3
	= x3 + y3+3xy(x+y)+z3+3z(x+y)(x+y+z) –x3-y3-z3.
	= 3(x+y) (xy+ yz +xz +z2) = 3(x+y)(y+z)(z+x)
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử.
	(x+y+z)3 –(x+y-z)3-(x-y+z)3 -(-x+y+z)3
	Đặt x+y-z=a; x-y+z=b, -x+y+z=c.
	=>x+y+z = a+b+c
	=>(a+b+c)3 - a3- b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(a+c) = 24xyz
V/ Phương pháp giá trị riêng.
Trong phương pháp này các nhân tử chứa biến của đa thức rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định nhân tử.
Ví dụ: Phân tích đa thức P = x(y-z)+ y(z-x) + z (x-y)
Giả sử ta thay x =y P= y(y-z)+ y(z-x) = 0
Tương tự ta thay y bởi z ; zbởi x thì P không đổi ( P = 0 ) vậy P chia hết cho x-y cũng chia hết cho y-z và cũng chia hết cho z – x vậy P có dạng k(x –y)(y-z)(z-x)
Ta thấy k là hằng số vì đẳng thức
P = x(y-z)+ y(z-x) + z (x-y) = k(x –y)(y-z)(z-x) đúng vứi mọi x,y,z nên ta gán cho x,y,z các giá trị chẳng hạn x=2, y=1 ,z=0 ta được
4.1 +1.(-2) +0 = k.1.1.(-2) k = -1 vậy P = -(x –y)(y-z)(z-x)
Chú ý : Khi chọn giá trị riêng của x,y,z ta chọn tuỳ ý để đôi một khác nhau sao cho
( x –y)(y-z)(z-x) 0
VI/ Bài tập áp dụng :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 a/ x -2x -4y -4y b/ a(a +c+ bc )+b(c +a + ac ) +c(a +b + ab )
c/ 6x -11x +3 d/ 2x +3x -27 e/x+5x +8x +4 f/ x -7x +6
g/2x-x +5x +3. h/ x-7x -3.
Bài2: a/ (x +x )- 2(x +x ) -15 b/ / x +2xy+y -x-y -12
c/ (x +x +1)(x +x +2) -12 d/ (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) -24
e/ (x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a) +a 
f/ (x + y + z )(x+y+z)+(xy+yz+xz)
Bài3: Dùng phương pháp hê sô bất định:
 a/ 4x+4x+5x+2x+1 b/x-7x+14x-7x+1 
 c/ (x+1) +(x +x +1) e/x x-x +63
Bài 4:
Cho x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y
2( x6 + y6 ) - 3( x4 + y4 )
Bài 5:
Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10.
Tính giá trị của biểu thức x3 + y3 
Bài 6: 
Chứng minh : (a – b)3 + 3ab(a - b) = a3 + b3
Rút gọn: (x – 3)3 – (x + 3)3.
Cho a - b = 1.Chứng minh : a3 - b3 = 1 + 3ab.
Bài 7:Chöùng minh bieåu thöùc luoân döông:
	a) A= 	
	b) 
Bài 8: Tìm Min hoaëc Max cuûa caùc bieåu thöùc sau:
	a) 	
	b) 
Bài 9: Thu goïn:
	a) . . . . .
	b) . . . . .
Bài 10: 
CMR: nếu a + b + c = 2p thì b2 + c2 + 2bc – a2 = 4p(p – a).
CMR nếu a2 + b2 + c2 = ab +bc + ca thì a = b = c.
Tìm x,y biết : x2 + y2 – 2x + 4y + 5 = 0.
Bài 11:
Chứng minh : (a + b)3 – 3ab(a +b) = a3 + b3
Tính x3 + y3,biết x + y = 3 và xy = 2
Cho a + b = 1.Chứng minh : a3 + b3 = 1 – 3ab.
Bài 12:
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) x2 - 2x -1	b) 4x2 + 4x + 5
Bài 13:
Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) 2x - x2 - 4	b) -x2 - 4x
* HD: đưa các biểu thức đã cho về dạng A2 hoặc -A2
Ví dụ: a)A= x2 - 2x -1= ( x – 1 )2 – 2 - 2 MaxA = -2. Dấu “ =’’xảy ra x=1
	HS làm các phần khác tương tự
Bài 14:
Cho x - y = 7. Tính:
x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy +37
x2(x + 1) - y2(y - 1) + xy -3xy(x - y + 1) – 95
HD: Rút gọn từng biểu thức làm xuất hiện x-y
VD: 
a, x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy +37 = x2+2x+y2-2y-2xy +37
	 = (x2 +2xy+y2) +(2x-2y ) +37
	 = ( x-y)2 + 2( x-y) +37
	 = 49 +14 +37 = 100
Bài 15:
Cho x + y = a; x2 + y2 = b; x3 + y3 = c
Chứng minh: a3 - 3ab + 2c = 0
* Lưu ý mối liên hệ x2 + y2 = ( x+y)2 – 2xy
 x3+y3 = ( x+y) (x2 + y2 – xy)
a3 - 3ab + 2c = (x + y)3- 3(x + y)( x2 + y2) +2(x3 + y3)
	 = x3+y3 +3x2y+ 3xy2 - 3x3-3xy2-3x2y -3y3 + 2x3 + 2y3
a, x4+ 4 	= ( x2 + 2 )2 – 4x2 
	= ( x2+ 2x + 2 )( x2- 2x + 2)
b, x4+ 64	= ( x2 + 8 )2 – 16x2 
	= (x2+ 4x + 8 )( x2- 4x + 8)
c, ( x2 – 8 )2 + 36	= x4 – 16x2 + 100
	= ( x2 + 10 )2 – 36x2
	= ( x2+ 6x + 10 )( x2- x + 10 )
d, 64x4 + 1	= ( 8x2 + 1)2 – 16x2
	= ( 8x2+ 4x + 1 )( 8x2- 4x + 1)
e, (1 + x2)2 – 4x(1 – x2)	= (1 - x2)2 + 4x2 – 4x(1 – x2)
	= [(1 – x2) – 2x]2
	= (x2 + 2x – 1)2