Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Lớp 8 - Năm học 2009-2010 - Nguyễn Thi Thoa

Buỉi 1
Ngµy so¹n: 1/3/2010
Ngµy d¹y: 6/3/2010
CHUYÊN ĐỀ 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A. Mơc tiªu:
- Cđng cè vµ n©ng cao c¸c kiÕn tøc vỊ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
- Hs biÕt ¸p dơng vµo lµm bµi tËp
- RÌn kÜ n¨ng t­ duy cho häc sinh
B. ChuÈn bÞ:
C. TiÕn tr×nh d¹y häc
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
Œ. Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức.
v. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường:
- Đặt nhân tử chung (thừa số chung).
- Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Nhóm nhiều hạng tử.
Ž. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng vài phương pháp khác (bổ sung)
- Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
- Thêm bớt cùng một hạng tử.
- Đặt ẩn phụ (còn gọi là đổi biến số).
- Tìm nghiệm của đa thức.
- Quy tắt HORNER (Hót - Nơ).
B. MỘT SỐ BÀI TOÁN:
I. PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT, TÁCH, NHÓM HẠNG TỬ
Bài1. Phân tích đa thức thành nhân tử..
	A = x2y2(y - x) + y2x2(z - y) - z2x2(z - x)
Cách 1: Khai triển hai trong ba số hạng, chẳng hạn khai triển hai số hạng đầu rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung z - x
 A = x2y3 – x3y2 + y2z3 – y3z2 – z2x2(z – x)
	 = y2(z3 – x3) – y3(z2 – x2) – z2x2(z – x)
	 = y2(z – x)(z2 + zx + x2) – y3(z – x)(z + x) – z2x2(z – x)
	 = (z – x)(y2z2 + y2zx + x2y2 – y3z – y3x – z2x2)
	 = (z – x)[y2z(z – y) – x2(z – y)(z + y) + y2x(z – y)
	 = (z – x)(z – y)(y2z – x2z – x2y + y2x)
	 = (z – x)(z – y)[z(y – x)(y + x) + xy(y – x)]
	 = (z – x)(z – y)(y – x)(xy + xz + yz).
	Cách 2: Để ý rằng: (z – y) + (y – x) = (z – x). Do vậy ta có:
	A = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2[(z – y) + (y – x)]
	 = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2(z – y) – z2x2(y – x)
	 = (y – x)(x2y2 – z2x2) + (z – y)(y2z2 – z2x2)
	 = (y – x)x2(y – z)(y + z) + (z – y)z2(y – x)(y + x)
	 = (y – x)(z – y)(- x2y – x2z +yz2 + xz2)
	 = (y – x)(z – y)[xz(z – x) + y(z – x)(z + x)]
	 = (y – x)(z – y)(z – x)(xz + yz +xy)
	Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử
a3 + b3 + c3 -3abc
(x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3
Lời giải: 
a) Các hạng tử của đa thức đa thức đã cho không chứa thừa số chung, không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các số hạng. Do vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết.
 a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc)
	 = (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c)
	 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]
	 = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab]
	 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)
b) Cách 1: Đặt x – y = a , y – z = b, z – x = c thì a + b + c = 0. Khi đó theo câu a ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 hay a3 + b3 +c3 =3abc
	Vậy: (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x)
Cách 2: Để ý rằng: (a + b)3 = a3 + 3ab(a + b) + b3 và (y – z) = (y – x) + (x – z)
	(x – y)3 + (y –z)3 + (z – x)3 =
	= [(y – x) + ( x – z)]3 + (z – x)3 + (x – y)3
	= (y – x)3 + 3(y – x)(x – z){(y – x) + (x – z)] + (x – z)3 – (x – z)3 – (y – x)3
Bài 3: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
	X3 – 7x – 6 
	Cách 1: Tách số hạng -7x thành – x – 6x, ta có:
	X3 – 7x – 6 = x3 – x – 6x – 6 
	= x(x – 1)(x + 1) – 6(x + 1)
	= (x + 1)( x2 – x – 6)
	= (x + 1)(x + 2)(x – 3)
	Cách 2: Tách số hạng – 6 = 8 – 14 ,ta có:
	X3 – 7x – 6 = x3 + 8 – 7x – 14 
	= (x + 2)(x2 – 2x + 4) – 7( x + 2)
	= (x + 2)(x2 – 2x + 3)
	= (x + 2)(x + 1)(x – 3)
 II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHU.
	Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
(x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 
4x(x + y)(x + y + z) (x + z) + y2z2
Giải: a) Đặt x2 + x + 1 = y ta có x2 + x + 2 =y +1
Ta có: (x2 + x + 1)(x2 + x +2) – 12 = y(y + 1) – 12 
	 = y2 + y – 12
	 = ( y – 3)(y + 4)
	Do đó: (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5)
	 = (x – 1)(x + 2)(x2 + x +5)
 b) 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) +y2z2
	= 4x(x + y +z)(x + y)( x + z) +y2z2
	= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2
Đặt: x2 + xy + xz = m, ta có
	4x(x + y)(x + y + z)(x + y) + y2x2 = 4m(m + yz) + y2z2
	 = 4m2 + 4myz + y2z2
	 = ( 2m + yz)2
Thay m = x2 +xy +xz, ta được:
	4x(x +y)(x + y +z)(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2
* DẠNG ĐẶC BIỆT
Xét Q(x) = ay2 + by + c. Nếu có các số m, n sao cho m.n = a.c, m + n = b thì ay2 + by + c = ay2 + (m + n)y + m.n/a hay ay2 + by + c =a(y + m/a)(y + n/a) (*) nói riêng a = 1 thì y2 + by +c = ( y + m)(y +n).Trong trường hợp này a, b, c nguyên thì trước hết phân tích hai số nguyên m.n sao cho giá trị tuyệt đối của m và n nhỏ hơn b sau đó chọn m, n thoả mãn m + n = b.
Œ §a thức dạng: P(x) = ax4 + bx2 + c 
Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 và áp dụng HĐT (*).
Ví dụ: Phân tích P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 thành nhân tử.
Giải: Đặt y = x2 ,có Q(y) = 6y2 + 19y + 15
	Tìm m, n sao cho m.n = 90 và m + n = 19 với m < 19, n < 19
	Vì 90 = 6.15 = 9.10 nên chọn m = 9, n = 10, ta có:
6y2 + 19y + 15 = 6y2 + 9y + 10y + 15
 = 3y(2y + 3) + 5(2y +3)
	 = (2y + 3)(3y + 5)
Do dó P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 = ( 2x2 + 3)(3x2 + 5)
v Đa thức dạng P(x) = (x +a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d
Cách giải: Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) có thể y = (x + c)(x + d) hoặc y2 = x2 + (a + b) x	 
Ví dụ: Phân tích P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x +4) – 15 thành nhân tử.
Giải: Với a = 1, b = 4, c = 2, d = 3 thì a + b = 5 =c + d. Biến đổi:
P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 15 
Đặt y = x2 + 5x + 4 thì P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2) – 15 
	 = y2 +2y – 15 
	 = y2 – 3y + 5y – 15 
	 = y(y – 3) + 5( y – 3)
	 = (y – 3)(y +5)
Do dó . P(x) = (x2 +5x + 1)(x2 + 5x + 9)
Tổng quát: Nếu đa dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) thoả mãn a1b1 = c1d1 và a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 thì đặt y =(a1x + a2)(b1x + b2) rồi biến đổi như trên.
Ž Đa thức dạng: P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) 
 với a1b1 = c1d1 và a2b2 = c2d2
Ví dụ: Phân tích P(x) = (3x +2)(3x – 5)(x – 9)(9x + 10) + 24x2 thành nhân tử.
Giải: Dễ thấy a1b1 =3.3 = 9.1 = c1d1 và a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2
P(x) = (9x2 – 9x – 10)(9x2 + 9x – 10) + 24x2
Đặt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x2 – 9x – 10 thì P(x) trở thành:
	Q(y) = y(y + 10x) = 24x2 
Tìm m.n = 24x2 và m + n = 10x ta chọn được m = 6x , n = 4x
Ta được: Q(y) = y2 + 10xy + 24x2
	 = (y + 6x)(y + 4x)
Do dó P(x) = ( 9x2 – 3x – 10)(9x2 – 5x – 10).
 Đa thức dạng: P(x) = ax4 +bx3 + cx2 + kbx + a với k = 1 hoặc k = -1 
Cách giải: Đặt y = x2 + k và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử ay2 + bxy rồi sử dụng HĐT (*).
Ví dụ: Phân tích P(x) = 2x4 + 3x3 – 9x2 – 3x + 2 thành nhân tử.
Giải: Đặt y = x2 – 1 suy ra y2 = x4 – 2x2 + 1
Biến đổi P(x) = 2(x4 – 2x2 + 1) + 3x3 – 5x2 – 3x
	 = 2(x2 – 1)2 + 3x( x2 – 1) – 5x
Từ đó Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2
Tìm m, n sao cho m.n = - 10x2 và m + n = 3x chọn m = 5x , n = - 2x
Ta có : Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2
	 = 2y2 – 2xy + 5xy – 5x2
	 = 2y(y – x) + 5x(y – x)
	 = ( y – x)( 2y – 5x)
Do dó , P(x) = (x2 – x – 1 )(2x2 + 5x – 2).
 Đa thức dạng: P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = d2/b2
Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 + d/b và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử y2+ bxy rồi sử dụng HĐT (*).
Ví dụ: Phân tích P(x) = x4 - x3 – 10x2 + 2x + 4 thành nhân tử.
Giải: Dễ thấy b = 1, d = 2, e =4 đặt y = x2 – 2 suy ra y2 = x4 – 4x2 + 4
Biến đổi P(x) = x4 – 4x2 + 4 – x3 – 6x2 + 2x
	= (x2 – 2)2 – x(x2 – 2) – 6x2
Từ đó Q(y) = y2 – xy – 6x2 
 Tìm m, n sao cho m.n = - 6x2 và m + n = - x chọn m = 2x, n = -3x 
Ta có Q(y) = y2 + 2xy – 3xy – 6x2
	 = y(y + 2x) – 3x(y + 2x)
	 = (y + 2x)(y – 3x)
Do dó, P(x) = (x2 + 2x – 2)(x2 – 3x – 2).
* Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 thì có thể xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo cách trên.
‘ Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + ( x + b)4 +c
Cách giải: Đặt biến phụ y = x + ( a + b)/2 và biến đổi P(x) về dạng mx4 + nx2 + p
 Ví dụ: Phân tích P(x) = (x – 3)4 + ( x – 1) 4 – 16 thành nhân tử.
Giải: Đặt y = x – 2 lúc dó P(x) trở thành Q(y) = (y – 1)4 + ( y + 1) 4 – 16 
	 = 2y4 + 12y2 – 14 
	 = 2(y2 + 7)( y2 – 1)
	 = 2(y2 + 7)(y – 1)(y + 1)
Do dó P(x) = 2(x2 – 4x + 11)(x – 3)(x – 1).
BÀI TẬP vỊ nhµ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
A(x) = (48x2 + 8x – 1)(3x2 + 5x + 2) – 4
B(x) = (12x – 1)(6x – 1)(4x – 1)(3x – 1) – 330
C(x) = 4(x2 + 11x + 30)( x2 + 22x + 120) – 3x2
D(x) = (7 – x)4 + ( 5 – x)4 – 2 
E(x) = x4 – 9x3 + 28x2 – 36x + 16
F(x) = x4 – 3x3 – 6x2 + 3x + 1
Buỉi 2
Ngµy so¹n: 5 /3/2010
Ngµy d¹y: 10 /3/2010
CHUYÊN ĐỀ 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
(tiÕp theo)
A. Mơc tiªu:
- Cđng cè vµ n©ng cao c¸c kiÕn tøc vỊ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư b»ng ph­¬ng ph¸p kh¸c.
- Hs biÕt ¸p dơng vµo lµm bµi tËp d¹ng n©ng cao
- RÌn kÜ n¨ng t­ duy cho häc sinh
B. ChuÈn bÞ:
C. TiÕn tr×nh d¹y häc
 IV. TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC.
Œ Nếu đa thức P(x) có một nghiệm là x = a thì ta có thể phân tích P(x) thành tích của hai thừa số là (x – a) và Q(x).
	P(x) = (x – a) Q(x)
Muốn tìm thừa số Q(x), ta hãy chia đa thức cho nhị thức (x – a).
v Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt là x = a và x = b thì ta có thể phân biệt đa thức P(x) thành tích của ba thừa số là (x – a), (x – b) và Q(x).
	P(x) = (x – a)(x – b) Q(x)
Muốn tìm Q(x), ta chia đa thức P(x) cho tích số (x – a)(x – b) = x2 + (a + b)x +ab, ta có thương đúng của phép chia chính là Q(x).
Ž Nếu đa thức P(x) có nghiệm số kép x1 = x2 = a thìsao?
Thế nào là nghiệm số kép?
Giả sử P(x) có một nghiệm là x = a suy ra P(x) = (x – a)Q(x).
Q(x) lại có nghiệm x = a suy ra Q(x) = (x – a) R(x).
Do đó, ta có: P(x) = (x – a)2R(x).
Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a
Vậy: Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép là x1 = x2 = a thì P(x) = (x – a)2R(x).
Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = x3 – 2x – 4 thành nhân tử .
Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) = x3 – 2x – 4 có số nghiệm là x = 2
	Do đó, ta có P(x) = ( x – 2)Q(x)
Chia đa trhức P(x) = x3 – 2x – 4 cho nhị thức x – 2 , ta được thương số là
	Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1 
Suy ra P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2)
Vậy P(x) = x3 – 2x – 4 = ( x- 2)(x2 + 2x + 2)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
	P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – 4 
Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) có 2 nghiệm phân biệt là -1 và 2
	Vì P(-1) = 0 và P(2) = 0
	Do đó P(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x)
Chia ... 1;2;3;... n)
	b) Nếu hai đa thức cùng bậc mà hằng đẳng với nhau với mọi giá tṛ của các biến th́ hệ số của các hạng tử đồng dạng bằng nhau .
	 cho hai đa thức f(x) = an xn+an-1xn-1 +.....+ a1x + a0 và g(x) = bnxn+ bn-1xn-1 + ....+ b1x+ b0
	Nếu f(x) = g(x) th́ ai = bi ( i = 0;1;2;3;.....n )
2 ) §Þnh lý Bơzu :
	a) Đ̣nh lý : Nếu đa thức f(x) chia cho nḥ thức ( x - a ) có số dư r th́ r = f(a) 
	b) Hệ quả : Nếu đa thức f(x) chia hết cho ( x- a) th́ f(a) = 0 
 Từ hệ quả ta suy ra nếu đa thức f(x) chia hết cho (x - a) th́ khi phân tích đa thức f(x) thành nhân tử th́ có chứa thừa số là x-a . Điều này có nghĩa f(x) M ( x - a) th́ f(x) = (x - a ) .q(x) 
II ) LOẠI TOÁN VỀ TÍNH TOÁN HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC 
Bài 1 : Không làm phép tính , haơy viết đa thức sau dưới dạng chính tắc 
	(x - 2)(x + 1)(2x - 3) + 4x - 3 
Giải : đa thức trên sau khi biến đổi là đa thức bậc 3 đối với biến x , do vậy sau khi biến đổi có dạng 
	A x3 + Bx2 +Cx + D . Theo bài ra ta có 
 (x - 2)(x + 1)(2x - 3) + 4x - 3 = A x3 + Bx2 +Cx + D với mọi x§Q 
	cho x = 0 th́ D = 3 
	cho x = 1 th́ A + B + C + D = 3 Þ A + B + C = 0 (1) ; 
	cho x = - 1 th́ -A + B - C + D = -7 Þ -A + B - C = - 10 (2)
	cho x= 2 th́ 8A + 4B + 2C + D = 2 Þ 4A + 2B + C = 1 (3)
Lấy (1) + (2) ta được 2B = - 10 Þ B = - 5 Þ A + C = 5 
Từ (3) ta có 4A + C = 11 ; cho nên ( 4A + c) - ( A + C ) = 3A = 6 Þ A = 2 và C = 3
	Vậy đa thức cần t́m là 2x3 - 5x2+ 3x + 3 hay 
 (x - 2)(x + 1)(2x - 3) + 4x - 3 = 2x3 - 5x2+ 3x + 3
Bài 2 ) Viết đa thức 3x3 + 4x - 5 dưới dạng luơy thừa giảm dần của x - 1.
	Giải 
Cách 1:	Ta có 3x3 + 4x - 5 = a(x - 1)3 + b(x - 1)2 + c(x - 1) + d 
 = a x3 + ( b - 3a)x2 + (3a - 2b + c)x -a + b - c + d
cho nên a = 3 
 b - 3a = 0
 3a - 2b + c = 4 Þ a = 3 ; b = 9 ; c = 13 ; d = 6
 -a + b - c + d = -1
cách 2 : cho x = 1 th́ d = 6
 	cho x = 0 th́ -a + b - c + d = -1 Þ -a + b - c = -7(1)
 cho x = -1 th́ -8a + 4b - 2c + 6 = -8 Þ -8a + 4b - 2c = -14 hay -4a + 2b - c = -7(2)
	cho x = 2 th́ a + b + c + d = 31 Þ a+ b + c = 25 (3)
 Từ (1) và (3) ta được 2b = 18 Þ b = 9 ; a + c = 16 (4) ; từ (2) và (4) ta có 4a + c = 25 
v́ vậy a = 3 ; c = 13 
	Vậy 3x3 + 4x - 5 = 3(x - 1)3 + 9(x -1)2 + 13(x -1) + 6
Bài 3 : Cho đa thức x3 + mx + n = (x - 1)(x - 2)(x + a)
	Tính a; m;n 
	Giải : Vế phải = x3 + (a - 3)x2 + (2 - 3a)x + 2a
Cho nên a - 3 = 0 ; 2 - 3a = m ; 2a = n Þ a = 3 ; n = 6 ; m = 4
Bài 4 : T́m a , b để đa thức x4 + 4x3 - 8x2 + ax +b bằng b́nh phương của đa thức x2 + mx + n .
	Giải :ta có x4 + 4x3 - 8x2 + ax +b = (x2 + mx + n)2
 = x4 + m2x2 + n2 + 2mx3 + 2nx2 + 2mnx
 = x4 + 2mx3 + (m2 + 2n)x2 + 2mnx + n2
 Û 
 Bài 5 : Với giá tṛ nào của a và b để đa thức x4 + 2x3 - a x2 + 3x + b chia hết cho đa thức x2 + 3x - 1
	Giải :
 Thực hiện phép chia đa thức x4 + 2x3 - a x2 + 3x + b x2 + 3x - 1
 x4 + 3x3 - x2 x2 - x + (4 - a)
 - x3 + (1 - a)x2 + 3x + b
 - x3 - 3x2 + x
 (4 - a)x2 + 2x + b
 ( 4 - a)x2 + ( 12 - 3a)x -(4 - a)
 (3a - 10)x + (b - a + 4)
 Để đa thức x4 + 2x3 - a x2 + 3x + b M (x2 + 3x - 1 ) Û (3a - 10)x + (b - a + 4) = 0 với mọi 
 cho nên Þ a = Bài 6 : Xác đ̣nh a , b để cho đa thức 2x4 - 6x3 + a x2 - 7x + 3 chia hết cho đa thức x2 - x + b.
	Giải :
Thực hiện phép chia 2x4 - 6x3 + a x2 - 7x + 3 x2 - x + b
 2x4 - 2x3 + 2bx2 2x2 - 4x + a - 2b - 4
 - 4x3 + (a - 2b)x2 - 7x +3
 - 4x3 + 4x2 - 4bx
 (a -2b -4)x2 + (4b-7)x +3
 (a -2b - 4)x2 - (a-2b-4)x + b(a-2b-4)
 (a+2b-11)x +3-b(a-2b-4)
Để đa thức 2x4 - 6x3 + a x2 - 7x + 3 chia hết cho đa thức x2 - x + b. 
(a+2b-11)x +3-b(a-2b-4) = 0 với mọi x Û 
 Từ a+2b - 11 =0 Þ a = 2b + 11(1)
 Từ 3 - b(a-2b-4) = 0 Þ 3 - ab + 2b2 + 4b = 0 (2) . Thay (1) vào (2) ta được 
 3 - b( -2b + 11) +2b2 +4b = 0
 hay 4b2 - 7b + 3 = 0 Û (b - 1)(4b - 3) = 0 Þ b = 1 hoặc b = 3/4
 do vậy ta có hai cặp số ( a,b) = ( 9 ; 1) ; ( 19/2 ; 3/4)
Bài 7 ) Chứng minh rằng không tồn tại các số a, b,c ,m , n ,p sao cho với mọi x , y , t th́ 
 (a x + by + ct )(mx + ny + pt ) = x2 + y2 + t2
	Giải 
Giả sử tồn tại các số a,b,c,m,n,p sao cho 
 x2 + y2 + t2 = (a x + by + ct )(mx + ny + pt )
 = am x2 + bny2 + cpt2 + (an + mb)xy + (ap +mc)xt + (bp + nc)yt
 Û am = bn = cp = 1 (1)
 và an + bm = ap + cp = bp + nc = 0 (2)
 Từ (1) ta có am = bn Þ (3)
Từ (2) ta có an = -mb Þ (4) , 
nhân từng vế (3) với (4) ta được . điều này vô lí v́ b́nh phương của một số là số không âm .
	Vậy không tồn tại các số a, b,c ,m , n ,p sao cho với mọi x , y , t th́ 
 (a x + by + ct )(mx + ny + pt ) = x2 + y2 + t2
Bài 8 : Xác đ̣nh a , b để đa thức a x4 + bx3 + 1 chia hết cho đa thức (x - 1)2 .
	Giải : Đặt f(x) = a x4 + bx3 + 1
Theo hệ quả đ̣nh lý Bơ Zu ta có : f(x) = a x4 + bx3 + 1 M (x - 1)2 , nên f(x) = a x4 + bx3 + 1 M (x - 1)
 Þ f(1) = a + b + 1 = 0 Þ b = -a -1 thay vào f(x) ta có 
f(x) = a x4 + bx3 + 1 = a x4 - a x3 - x3 + 1 = a x3(x - 1) - (x - 1)(x2 + x + 1 ) = (x - 1)(a x3 - x2 - x - 1)
Đặt g(x) = a x3 - x2 - x - 1 . Mà f(x) M (x - 1)2 nên g(x) M (x - 1)
 Vậy g(1) = a -1 -1 -1 = 0 Þ a = 3 và b = -4 
 Vậy a = 3 , b = - 4 th́ đa thức a x4 + bx3 + 1 chia hết cho đa thức (x - 1)2
Bài 9 : Xác đ̣nh a,b,c sao cho đa thức 2x4 + a x2 + bx + c chia hết cho x - 2 , khi chia cho x2 - 1 th́
 dư 2x + 5 .
	Giải 
Đặt f(x) = 2x4 + a x2 + bx + c , v́ f(x) M (x - 2) nên f(2) = 32 + 4a + 2b +c = 0 
 hay 4a + 2b + c = -32 (1)
Theo bài ra f(x) chia cho (x2 - 1) dư 2x + 5 nên ta có f(x) = 2x4 + a x2 + bx + c = (x2 - 1).q(x) + 2x +5
theo đ̣nh lý Bơ Zu th́ f(1) = 2 + a + b + c = 7 Þ a + b + c = 5(2)
 f(-1) = 2 + a - b +c = 3 Þ a - b + c = 1 (3)
Lấy (2) - (3) ta được 2b = 4 Þ b = 2 , a + c = 3(4)
Lấy (1) - (4) ta được 3a = -39 Þ a = -13 và c = 16 
	Vậy đa thức cần t́m là 2x4 -13 x2 + 2x + 16
	 III) SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT Đ̣NH ĐỂ GIẢI TOÁN 
Loại phân tích thành nhân tử 
Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : ( a + b + c )3 - a3 - b3 - c3
	Giải 
 	Đa thức trên sau khi khai triển và thu gọn ta được đa thức bậc 3 đối với tập hợp các biến , các biến a ,b ,c có vai trò như nhau trong đa thức . Nếu a = -b hoặc a = -c hoặc b = -c th́ đa thức có giá tṛ bằng 0 . V́ vậy khi phân tích đa thức trên thành nhân tử thí có chứa các thừa số a + b ; b+ c ; c + a 
 Vậy ( a + b + c )3 - a3 - b3 - c3 = k(a + b) (a + c)(b + c)
 Lấy a = b = c = 1 th́ 8k = 24 Þ k = 3 
 Vậy ( a + b + c )3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b) (a + c)(b + c)
Bài 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử : a2b2(b - a) + b2c2(c - b) - a2c2(c - a)
	Giải 
	 	Đa thức trên sau khi khai triển và thu gọn ta được đa thức bậc 5 đối với tập hợp các biến , các biến a ,b ,c có vai trò như nhau trong đa thức . Nếu a = b ; b = c ; a = c th́ đa thức có giá tṛ bằng 0. 
Nên sau khi phân tích thành nhân tử đa thức có chứa các nhân tử b - a ; c - b , c - a 
	Vậy đa thức có dạng a2b2(b - a) + b2c2(c - b) - a2c2(c - a) = k(b - a)(c - b)(c - a)(ba + ac + bc)
 Lấy a =0 , b = 1 , c = -1 th́ k = 1
	Vậy a2b2(b - a) + b2c2(c - b) - a2c2(c - a) = (b - a)(c - b)(c - a)(ba + ac + bc)
Bài 3 : Phân tích thành nhân tử x3 - 3x - 2 
	Giải 
 đa thức x3 - 3x - 2 sau khi phân tích thành nhân tử se chứa ít nhất một nhân tử là đa thức bậc nhất , nên . Mà với x = 2 th́ x3 - 3x - 2 = 8 - 6 - 2 = 0 cho nên theo hệ quả đ̣nh lý Bơ Zu sau khi phân tích x3 - 3x - 2 thành nhân tử có chứa nhân tử (x - 2)
	Vậy x3 - 3x - 2 = (x -2 )(x2 +mx + n )
Cho x = 1 Þ - (1 + m + n) = -4 hay m + n = 3
Cho x = -1 Þ -3(1 - m + n) = 0 hay - m + n = -1 . Từ đó m = 2 , n = 1
	Vậy x3 - 3x - 2 = (x -2 )(x2 +2x + 1 ) = (x - 2)(x + 1)2
Bài 4 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử với hệ số nguyên
	M = x2 - 5xy + y2 + x + 2y - 2
	Giải 
 V́ M là đa thức bậc hai đối với tập hợp các biến x và y nên M chỉ có thể viết dưới dạng 
 M = (x + ay + b)(x + my + n) ( a,b,m,n Ỵ Z )
 = x2 + (m + a)xy + amy2 + (n + b)x + (na + bm)y + bn
 Û từ bn = -2 Þ b = -1 và n = 2 hoặc b = 2 và n = -1
Nếu b = -1 , n = 2 Þ a = -1 , m = -4
Nếu b = 2 , n = -1 Þ a = -4 , m = -1 
V́ 2 bộ số trên chỉ cho ta một kết quả nên M = (x - y - 1)(x - 4y + 2)
 	Vậy : x2 - 5xy + y2 + x + 2y - 2 = (x - y - 1)(x - 4y + 2)
Loại rút gọn biểu thức
	Bài 1 ) Rút gọn biểu thức sau với a, b,c đôi một khác nhau 
	Giải 
Biểu thức trên sau khi rút gọn là đa thức bậc hai đối với biến x . Do vậy sau khi biến đổi có dạng 
mx2 + nx + p 
cho x = -a ta được ma2 - na + p = 1 (1)
 x = -b ta được mb2 - nb + p = 1(2)
 x = -c ta được mc2 - nc + p = 1(3)
Lấy (1) - (2) Þ m(a + b) - n = 0(4) va a ¹ b
 (1) -(3) Þ m(a + c) - n = 0(5) va a ¹ c
 (4) - (5)Þ m( b - c) = 0 Þ m = 0 va b ¹ c
Từ đó n = 0 , p = 1 
 Vậy = 1
IV ) MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG 
Bài 1 ) Xác đ̣nh f(x) biết f(x - 1) = x3 - 5x2 + 7x + 2
Bài 2 ) a - T́m đa thức bậc 2 f(x) biết f(x) - f(x - 1) = x
 b - T́m đa thức bậc 3 f(x) biết f(x) - f(x - 1) = x(x + 1)
 Áp dụng tính tổng 1.2 + 2.3 + 3.4 + .....+ 1998 . 1999
Bài 3 ) T́m các số thực m , n , p , q sao cho 
	x4 + 1 = (x2 + px + q)(x2 + mx + n )
Bài 4) Xác đ̣nh a và b sao cho 
	a) 6x4 - 7x3 + a x2 + 3x + 2 chia hết cho x2 - x + b
	b) a x4 + bx + 1 chia hết cho (x - 1)2
Bài 5) Giả sử n > 3 , xác đ̣nh a để cho xn - a xn - 1 + a x - 1 chia hết cho (x - 1 )2
Bài 6) Xác đ̣nh a , b , c sao cho f(x) = 2x4 + a x2 + bx + c chia hết cho ( x - 2) , khi chia cho (x2 - 1) 	thi dư 3x + 2
Bài 7) Bằng phương pháp hệ số bất đinh hay phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
	a) 3x3 - 5x + 2
	b) x3 - 19x - 30
	c) 2x2 - 21xy - 11y2 - x + 34y - 3
Bài 8) Không làm tính nhân hay viết đa thức sau dưới dạng chính tắc
 (x - 1)(x - 2)(x + 3) + 5x + 4
Bài 9) Xác đ̣nh a , b sao cho x3 + a x2 - 3x + b chia cho x - 2 dư 5 , chia cho x + 1 dư -4
Bài 10) Phân tích thành nhân tử 
	a) a(b2 - c2) + b(c2 - a2) + c(a2 - b2)
	b) a3(b2 - c2) + b3(c2 - a2) + c3(a2 - b2)
	c) 8x3(y + z) - y3(z + 2x) - z3(2x - y)
	d) x3(z - y2) + y3( x - z2) + z3(y - x2) + xyz(xyz - 1)
	e) (x + y)7 - x7 - y7
Bài 11) 
	a) T×m số nguyên a để có (x - a)(x - 1992 ) + 1 = (x + b)(x + c) với mọi x và b ,c Ỵ Z
	b)T×m k Ỵ Z sao cho ( x - k)(x - 10) + 5 có thể phân tích thành tích hai đa thức bậc nhất với 	hệ số nguyên 
Bài 12) Chứng minh rằng không tồn tại đa thức f(x) với hệ số nguyên có thể có đồng thời các giá trÞ