Giáo án Bồi dưỡn học sinh giỏi Toán 8 - Trường THCS Quảng Hợp

Tiết 1-2-3-4
Chuyên đề 1:
	phép nhân và phép chia đa thức
Dạng tổng quát:
Phép nhân đơn thức với đa thức,đa thức với da thức:
	A(B+C) = A.B +A.C
	( A + B)( C+ D ) = A . C + A . D + B . C + B . D
Các bài toán vận dụng:
Bài toán 1:
	Cho biểu thức:
	M = -
Bằng cách đặt ,, hãy rút gọn biểu thức M theo và 
Tính giá trị của biểu thức M.
Giải:
	a) M = 
 b) M = 
Bài toán 2:
 Tính giá trị của biểu thức:
	A= với x= 4
 Giải:
	Cách 1. Thay , ta có
 A = 4-5.4+5.4-5.4+5.4-1
 = 4-(4+1).4+(4+1).4-(4+1)4+ (4+1).4-1
	= 4-1
	= 3
	 Cách 2: Thay 5 bởi , ta có:
 A = 
	= +
	= 
	= 3.
	Nhận xét: Khi tính giá trị của biểu thức, ta thường thay chữ bằng số.Nhưng ở ví dụ 1 và ở cách 2 của ví dụ 2, ta lại thay số bằng chữ.
Bài toán 3: 
	Chứng minh hằng đẳng thức
biết rằng 
Giải:
	Biến đổi vế trái ta được:
Thay bởi được vế trái bằng , bằng vế phải.
bài tập:
Bài tập 1: Rút gọn bểu thức
	Với .
Bài tập 2: 
	a)Chứng minh rằng chia hết cho 7
	b) Viết 7.32 thành tổng của ba luỹ thừa cơ số 2 với các số mũ là ba số tự nhiên liên tiếp
Bài tập 3:
	Tính 
Bài tập 4:
	Chứng minh hằng đẳng thức:
	(
Bài tập 5:
	Rút gọn biểu thức 
	biểu rằng 
Tiết 5-6-7-8
Chuyên đề 2:
	các hằng đẳng thức đáng nhớ
Ngoài bảy hằng đẳng thức quen thộc,h/s cần biết đến các hằng đẳng thức mở rộng.
	từ đẳng thức (1) ta suy ra:
Mở rộng:
Tổng quát:
Các ví dụ :
Ví dụ 1:
	Cho x+y=9 ; xy=14. Tính giá trị của các biểu thức sau:
	a) x-y ; b) x+y; c)x+y.
Giải
	a)	(x-y)=x-2xy+y=x+2xy+y-4xy=(x+y)-4xy=9-4.14=25=5
	suy ra x-y = 5
 b) (x+y)=x+y+2xy
	suy ra x+y=(x+y)-2xy = 9-2.14 = 53
 c) (x+y)= x+y+3xy+3xy= x+y+3xy(x+y) 
	suy ra x+y=(x+y)-3xy(x+y) =9-3.14.9 = 351
Nhận xét:
Hai số có bình phương bằng nhau thì chúng đối nhau hoặc bằng nhau.Ngược lại , hai số đối nhau hoặc bằng nhau có bình phương bằng nhau.
	( A – B)= ( B – A )
Để tiện sử dụng ta còn viết: 
	( A + B) = A+ B+ 3AB(A+B)
	( A – B) = A- B - 3AB(A-B )
Ví dụ 3:
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
	A = (x + 3y – 5)- 6xy + 26
Giải :
 	A = x+ 9y+ 25 + 6xy – 10x -30y – 6xy + 26
	 = ( x- 10x + 25) + ( 9y - 30y + 25 ) + 1
	 = ( x -5)+ ( 3y-5)+ 1
	Vì (x-5) 0 (dấu “ =” xảy ra x=5 ); (3y-5) 0 (dấu “=” xảy ra y= ) nên A 1.Do đó GTNN của a =1 (khi và chỉ khi x=5 ; y).
Ta viết min A = 1.
 Nhận xét :
Các hằng đẳng thức được vận dụng theo hai chiều ngược nhau.
Chẳng hạn:
(A – B )= A - 2AB + B hoặc ngược lại
2. Bình phương của mọi số đều không âm :
( A – B )0 (dấu “ =” xảy ra A = B).
Ví dụ 4: 
	Cho đa thức 2x- 5x +3.Viết đa thức trên dưới dạng một đa thức của biến y trong đó y =x+ 1.
Giải: thay x bởi y-1, ta được :
	1x- 5x +3 = 2( y – 1)- 5( y-1 ) + 3
	 = 2 ( y- 2y + 1) – 5y + 3 + 5
	 = 2y- 9y + 10
Ví dụ 5:
	Số nào lớn hơn trong hai số A và B ?
	A = (2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)
	B = 2.
	Giải:
	Nhân hai vế của A với 2-1, ta được :
	A = (2-1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1).
	áp dụng hằng đẳng thức (a+b)(a-b) = a- b nhiều lần, ta được:
	A = 2-1. Vậy A < B.
Ví dụ 6:
	Rút gọn biểu thức :
	A = (a + b + c) + (a - b – c) -6a(b + c).
	Giải :
	A = [a + (b + c)] + [a – (b + c)]- 6a(b + c )
	 = a+ 3a(b + c) + 3a(b + c)+ (b + c) + a-3a(b + c) + + a- 3a(b + c) + 3a(b + c)- (b + c) - 6a(b + c)= 2a
Bài tập vận dụng:
A – Các hằng đẳng thức (1),(2),(3),(4)
Bài 6:
	Tính nhamh kết quả các biểu thức sau:
127+146.127 + 73 ;
9.2 - (18 - 1)(18+ 1) ;
100 - 99+ 98- ..... + 2- 1
(20+18+...+4+2) – (19+17+...+3+1) ;
Bài 7 :
Tính giá trị của biểu thức bằng cách hợp lí :
 a) A = ; b) B = 263+ 74.263 + 37 ; C = 136-92.136 + 46;
D = (50+ 48+..........+2) – (49+47+...........+3+ 1)
Bài 8 :
	Cho a+ b+ c= ab + bc + ca . Chưng minh rằng a = b = c .
Bài 9 :
	Tìm x và tìm n N biết
	x+ 2x + 4- 2+2 = 0.
B – Các hằng đẳng thức (5), (6), (7) :
Bài 10 :
	Rút gọn các biểu thức :
x(x-1)(x+1) – (x+1)(x2-x+1) ;
3x2(x+1)(x-1) – (x2-1)(x4+x2+1)+(x2-1)3;
(a+b+c)3+((a-b-c)3+(b-c-a)3+(c-a-b)3 ;
Bài 11 :
	Tìm x biết :
	6(x+1)2-2(x+1)3+2(x-1)(x2+x+1) = 0
Bài 12 :
	Chứng minh các hằng đẳng thức :
	(a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a).
Bài 13 :
	Cho a+b+c+d = 0 . Chứng minh rằng :
	a3+b3+c3+d3 = 3(ab – cd)(c +d) .
Bài 14 :
	Cho a+b = 1 .Tính giá trị của M = 2(a3+b3) – 3(a2 +b2) .
Tiết 9-10-11-12
Chuyên đề 3: Tứ Giác – hình Thang – Hình thang cân
	*) Khái niệm chung về tứ giác:
	+) Định nghĩa :
Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.
 A, B, C, D là các đỉnh ; AB, BC, CD, DA là các cạnh.
	Ta chỉ xét tứ giác đơn trong đó các cạnh chỉ có thể cắt nhau tại các đỉnh.
Trong tứ giác đơn ABCD, ta phân biệt : hai đỉnh kề nhau (cùng nằm trên một cạnh ) với hai đỉnh đối nhau(không kề nhau(xuất phat từ một đỉnh) với hai cạnh đối (không kề nhau).
	Đường chéo của tứ giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau.
	Trong tập hợp , các điểm của mặt phẳng chứa một tứ giác đơn, ta phân biệt điểm thuộc tứ giác, điẻm trong tứ giác, điểm ngoài tứ giác.
b) ABCD là tứ giác lồi ABCD luôn thuộc nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của nó.
	Tứ giác (đơn) không lồi là tứ giác lõm.
Trong hình, ABCD là tứ giác lồi
Định lí:
Tổng các gọc trong tứ giác bằng 3600 .
*) Tìm hiểu sâu về tứ giác giác lồi:
	Định lí : Trong một tứ giác lồi , hai đường chéo cắt nhau.
	Đảo lại, nếu một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau thì đó là một tứ giác lồi.
	ABCD lồi ABCD có hai đường chéo cắt nhau.
Để chứng minh định lí, cần nhớ lại mấy định lí sau đây:
Tia Oz nằm trong gọc xOy tia Oz cắt đoạn thẳng MN, với MOz, NOy
Néu tia Oz nằm trong xOy thì Oz và Oy nằm trong nửa mặt phẳng bờ chứa Oy; Oz và O x nằm trong nửa mặt phẳng bờ chứa Oy.
Cho tam giác ABC
Các trung tuyến xuất phát từ các điểm A và C cắt nhau tại điểm M. Tứ giác ABCM là lồi hay không lồi? Vì sao?
M là một điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( không thẳng hàng với hai đỉnh nào của tam giác). Với vị trí nào của điểm M thì ABCM là tứ giác lồi?
M và N là hai điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( và không thẳng hàng với đỉnh nào của tam giác). Chứng minh rằng trong năm điểm A, B, M, N, C bao giờ cũng chọn ra được bốn điểm là đỉnh của một tứ giác lồi.
Giải
	a) ABCM không lồi (lõm), vì B và C nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa AM (h .2a)
	b) Kết quả ở câu a/ cũng đúng khi M là điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác ABC.
	Nếu M thuộc miền ngoài của ABC thì có hai trường hợp :
	- M ở trong góc đối đỉnh của một góc của tam giác. trong h .2b, M ở trong góc đối đỉnh của góc B . Dễ thấy rằng lúc đó đỉng B lại là điểm thuộc miền trong của tam giác MAC, do đó AMCB không lồi(lõm).
	- M ở trong một góc của tam giác. trong hình 2b, M’ nằm trong góc A. Do đó AM’ là tia trong của góc A, mà A và M’ nằm ở hai phía của cạnh BC, cho nên đoạn Am’ cắt đoạn thẳng BC và ABM’C là tứ giác lồi.
Tóm lại, trong h .2b, các miền được gạch chéo là tập hợp các điểm M mà MABC là tứ giác lõm.
	Các miền khác (để trắng ) là tập hợp các điểm M mà M, A, B, C là các đỉnh của tứ giác lồi.
c) Đường thẳng đi qua hai điểm M và N bao giờ cũng không cắt một cạnh của tam giác ABC. Trong h .2c, đường thẳng MN không cắt AC. Tứ giác MNCA là tứ giác lồi(điểm N thuộc miền ngoài của tam giác MAC và nằm trong góc MAC). 
	H .2a
các ví dụ :
Ví dụ 1:
	Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi tổng độ dài các cạnh(chu vi) lớn hơn tổng độ dài các đường chéo và nhỏ hơn hai lần tổng độ dài các đường chéo.
*) Nhận xét :
	Đây là bài toán về chứng minh bất đẳng thức về các độ dài. nên kẻ thêm các đường phụ, xét các tam giác để áp dụng mệnh đề :” Trong một tam giác, toỏng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba”.
Giải
	Cho tứ giác ABCD(h. 7). Ta phải chứng minh :
AC + BD < AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD)
1) Chứng minh AC + BD < AB + BC + CD + DA
Ta có :
AC < AB +BC (bất đẳng thức trong ABC)
AC < AD + DC (bất đẳng thức trong ADC)
BD < BC + CD (bất đẳng thức trongBCD) 
BD < BA + AD (bất đẳng thức trong BAD)
	Từ đó :
	2( AC + BD) < 2(AB +BC + CD + DA)
	AC + BD < AB + BC + CD + DA
	2) Chứng minh 	
	AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD).
Trong tam giác ABO và CDO, ta có :
	AB < BO + OA	(1)
	CD < CO + OD	(2)
Cộng (1) và (2) ta có :
	AB + CD < BO + OD + CO + OA
	AB + CD < BD + AC	(3)
Tương tự, trong tam giác BCO và ADO, ta có :
	AD + BC < BD + AC	(4)
Từ (3) và (4) ta được :
	AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD).	(đpcm)
	*) Nhận xét:
	1) Từ mỗi bất đẳng thức (3) và (4) ta thấy vế trái là tổng của hai cạnh của tứ giác, còn vế phải là tổng của hai đường chéo. Vậy có thể phát biểu mệnh đề :
 “ Trong một tứ giác giác lồi, tổng của hai cạnh đối nhỏ hơn tổng của hai đường chéo”.
	2) Nếu tứ giác ABCD không lồi, thì hai bất đẳng thức trong bài 7 có còn đúng không ? vì sao?
Ví dụ 2:
	Cho một tứ giác lồi ABCD, Tronh đó AB + BD không lớn hơn AC + CD. 
Chứng minh rằng : 	AB < AC.
Giải
	Gọi giao điểm của AC và BD là O
Trong tam giác AOB, ta có :
	AB < AO + OB	(1)
Trong tam giác COD, ta có :
	CD < CO + OD	(2)
	Từ (1) và (2) ta có :
AB + CD < BO + OD + CO + OA
AB + CD < AC + BD	(3)
Theo giả thiết :
	AB + BD AC + CD	(4)
Từ (3) và (4) suy ra AB < AC.(đpcm)
Ví dụ 3 :
	 Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi P và Q là trung điểm của hai cạnh AD và BC. Chứng minh rằng :
	PQ 
	Gợi ý :
	ở đây có bất đẳng thức giữa độ dài các đoạn thẳng , nên kẻ đường phụ để có các hình tam giác, lại có trung điểm của các cạnh, nên nhgĩ đến việc áp dụng định lí về đường trung bình trong tam giác.
Giải
	GT	Tứ giác ABCD
	PA = PD, QB = QC
KL 	PQ 
Cm:
 Ta kẻ thêm đường chéo AC và lấy trung điểm F của AC.
Trong tam giác ACD, PF là đường trung bình, do đó :
	PF = 
Trong tam giác ACD, PF là đường trung bình. do đó :
	QF = 
Nếu P,Q và F không thẳng hàng thì trong tam giác PQF ta có:
	PQ < PF + QF = 
Nếu P, Q, và F thẳng hàng thì F là điểm nằm giữa của hai đoạn thẳng PQ và ta có :
	PQ = PF + QF = 
Như vậy trong mọi trường hợp, ta có :
	PQ . ( đpcm)
	Nhận xét :
	Có thể thấy ngay rằng :
	P, Q, F thẳng hàng	AB//CD.
	Do đó ta chứng minh được rằng :
	PQ .
Trong đó dấu = xảy ra khi và chỉ khi AB//CD.
Như vậy, qua việc giải bài toán trên, ta chứng minh cùng một lúc hai định lí:
Nếu ABCD là hình thang (AB//CD) thì PQ = 
 (2) Nếu ABCD không là hình thang (AB//CD) thì PQ và PQ < 
Các bài tập :
Bài tập 1:
	Cho A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ giác lồi,E là một điểm thuộc miền trong của ttam giác OCD, với O là giao điểm của hai đoạn thẳng AC và BD. Chỉ ra tứ giác lồi nhận bốn trong năm điểm A, B, C, D, E.
Bài tập 2:
	Chứng minh rằng từ năm điểm bất kì trong mặt phẳng(không có ba điểm nào thẳng hàng) Bao giờ cũng chọn được bốn điểm là các đỉnh của một tứ giác lồi.
Bài tập 3:
	Chứng m ... . Ước của -4 là 1, 2, 4. Kiểm tra ta thấy -1 là nghiệm của đa thức. Như vậy đa thức chứa nhân tử x-1, do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1.
Cách 1.	x3 +3x2 – 4
 	= x3 -x2 + 4x2 -4
= x2 (x -1)+ 4(x-1)(x2 +4x+4) 
=(x-1)(x+2)2.
Cách 2 .	x3 +3x2 – 4= x3 -1 + 3x2 -3
	 = (x-1)(x2 +x+1) + 3(x-1)(x+4)
	 = (x-1)(x2 +x+1+3x+3)
	 = (x-1)(x+2)2.
	Ta cũng chú ý rằng nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử x-1, nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử x+1
Ví dụ 4 : Phân tích thành nhân tử : 2x3 -5x2 + 8x -3.
	Giải : Các số 1, 3 không là nghiệm của đa thức, vậy đa thức không có nghiệm nguyên. Nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ. Trong đa thức với hệ số nguyên , nghiệm hữu tỉ nếu có phải có dạng trong đó p là ước của hệ số tự do,q là ước dương của hệ số cao nhất. Như vậy nghiệm hữu tỉ nếu có của đa thức trên chỉ có thể là 1, ,3, hoặc . Sau khi kiểm tra ta thấy x= là một nghiệm nên đa thức chứa nhân tử x- hay 2x-1. Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung 2x-1.
	 2x3 -5x2 +8x -3
	= 2x3 –x2 -4x2 +2x +6x -3
	= x2 (2x-1)-2x(2x-1) + 3(2x-1)
	= (2x-1)(x2 – 2x +3).
Có thể giải bài tập trên bằng phương pháp hệ số bất định : nếu đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng :
	(x +b)(cx2 +dx +m).
Phép nhân này cho kết quả :
	cx3 +(ad +bc)x2 +(am +bd)x +bm.
	Đồng nhất đa thức này với 2x3 -5x2 +8x -3, ta được
	ac =2, ad +bc =-5, am +bd =8, bm =-3
Có thể giả thiết rằng a > 0 (vì nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử), do đó a=1 hoặc a=2.
	Xét a=2 thì c=1, ta có 2d +b =-5, 2m +bd =8, bm = -3 ;b có thể bằng1, 3.
Xét b =-1 thì m=3, d=-2 thoả mãn điều kiện trên.
	Vậy a=2, c=1, b=-1, m=3, d=-2.
	Ta có :
	2x3 -5x2 +8x -3= (2x-1)(x2 – 2x +3).
Ví dụ 5:
	Cho x và y là hai số khác nhau, thoả mãn điều kiện :
	9x(x-y) – 10(y –x)2 = 0.
	Chứng minh rằng: x = 10y.
	Giải:
	9x(x – y) – 10(y-x)2 = 9x(x-y) -10(x-y)2 =(x-y)[9x -10(x-y)]=(x-y)(10y –x).
	Theo đề bài ta có (x-y)(-x +10y) = 0.
	Vì xy nên –x +10y = 0 hay x = 10y.
C- các bài tập vận dụng
Bài tập 1:
	Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
	a) 5x(x -2y) + 2(2y –x)2 ;	b) 7x(y -4)2 – (4 –y)3 ;
	c) (x2 +4y2 -5)2 – 16(x2 y2 +2xy +1).
	d) x4 -25x2+20x -4;	e) (a+b+c)2+(a-b+c)2- 4b2.
	f) a5 + b5 – (a+b)5 
Bài tập 2: Chứng minh rằng: 
432 + 43. 17 60
2110 - 1	200
20052007 + 20072005 2006
495 – 49 100.
Bài tập 3: Cho x2y-y2x + x2z – z2x+ y2z+z2y = 2xyz
Chứng minh rằng trong ba số x,y,z ít nhất cũng có hai số bằng nhau hoặc đối nhau.
Bài tập 4 :
	Phân tích thành nhân tử :
x5+x + 1
x7+ x2+ 1.
Bài tập 5 :
	Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
A = (a-b)3 + (b-c)3+ (c-a)3
B = (a+ b -2c)3 + (b + c -2a)3 + (c + a – 2b)3.
Bài tập 6 :
	Phân tích đa thức A thành tích của một nhị thức bậc nhất với một đa thức bậc ba với hệ số nguyên sao cho hệ số cao nhất của đa thức bậc ba là 1:
	A = 3x4 + 11x3 – 7x2 – 2x + 1.
Bài tập 7 :
Phân tích đa thức B thành tích của hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên :
	B = x4 – 6x3 + 11x2 – 6x + 1.
Tiết 25-26-27-28
Chuyên đề 6 :
phương pháp giải toán về chia hết trong tạp hợp z các số nguyên.
I. Nhắc lại một số kiến thức cơ bản ở lớp 6 và 7 về lí thuyết trong Z.
	1. Tính chia hết :
	a) 	Định nghĩa :
	Cho a, b Z ( b0)
	b) Tính chất cơ bản của quan hệ “ chia hết” trong Z
	Với mọi a, b, c, m Z :
	1. a/ 0 (a 0)
	2. 1/ a
	3. a/ a (a 0)
	4. a/b và b/a a = 
	5. a/ b và b/ c 
	(Tính chất bắc cầu)
	6. c/a và c/b 
	2. Phép chia có dư :
	a) Định lí :
	Cho hai số nguyên a, b (b> 0), bao giờ cũng có duy nhất cặp số nguyên q, r sao cho :
	a = bq + r với 0.
	r là số dư trong phép chia a cho b.
	(r = 0 : thì a chia hết cho b)
	Khi r, có thể lấy số dư là số âm r’ = r- b.
	b) Chia a cho b>0 thì số dư r là một trong b số :
	+) b chắn 
	(hoặc )
	+) b lẻ .
	3. Thuật toán Euclide để tìm ƯCLN của hai số :
	Ước chung lớn nhất của hai số dương a và b được kí hiệu là ƯCLN(a, b) hoặc (a, b).
Thuật toán Euclide giúp ta tìm ƯCLN một cách khác. Thuật toán dựa trên điịnh lí sau đây :
	+) Nếu a là bội của b thì ƯCLN(a, b) = b
	a = bq 
	+) Nếu a chia cho b, dư r, thì ƯCLN(a, b) bằng ƯCLN(b, r)
	do đó, ta có thể thực hiện các phép chia liên tiếp để tìm ƯCLN(a, b).
Ví dụ :
	Tìm ƯCLN(300, 105).
Chia 300 cho 105, ta được dư 90
chia 105 cho 90, ta được dư 15
Chia 90 cho 15, ta được dư 0
Vậy : ƯCLN(300, 105) = 15.
Có thể thấy rõ điều đó như sau :
	300 = 105. 2 + 90 (300; 105) = (105; 90)
	105 = 90 . 1 + 15 (105; 90 ) = (105; 15)
	90 = 15 . 6 	 ( 90; 15 ) = 15
	Vậy : (300; 15) = 15
	Trong thực hành, ta đặt phép tính như sau :
105
	105	90	2
	90	15	1
	0	6
	4. Một số định lí quan trọng :
	*) Định lí 1 :
	Một số d là ước chung của a và b khi và chỉ khi d là ước của ƯCLN(a, b).	d/a và d / b d / (a, b)
	*) Định lí 2 :
	Một số m là bội chung của a và b khi và chỉ khi m là bội của BCNN(a, b)
	*) Định lí 3 :
	(a,b). [a, b] = ab
	*) Định lí 4 :
	Nếu a, b nguyên tố cùng nhau và tích a.c chia hết cho b thì c chia hết cho b.
	*) Định lí 5 :
	Nếu c chia hết a và cho b mà a, b nguyên tố cùng nhau thì c cia hết cho tích a.b.
II – Phương pháp giải một số bài toán về chia hết :
	*) phương pháp 1 :
Để chưng minh A(n) chia hết cho b, có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho p.
Bài toán 1:
	Chứng minh rằng với mọi :
	A(n) = n(n2 + 1)(n2 + 4) 
	Giải :
	Xét mọi trường hợp khi chia n cho 5, ta có số dư là : r = 
	a) r = 0 
	c) r = 
	A(n) là tích của ba thừa số, trong mọi trường hợp đều có một thừa số chia hết cho 5. Vậy A(n) , với mọi .
Ví dụ 2 :
	Chứng minh rằng :
Tổng của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 ;
Tổng của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5 ;
Tổng của 2k + 1 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2k + 1.
Gợi ý :
(n – 1) + n + (n + 1) = 3n
(n – 2) + (n – 1) + n + (n + 1) + (n + 2) = 5n
(n – k ) + (n – k + 1) + .... + n + (n + 1) + .... + (n + k – 1) + ( n + k) = (2k + 1) n.
Ví dụ 3 :
	Chứng minh rằng :
	a) Trong 2 số nguyên liên tiếp, có một và chỉ một số chia hết cho 2 (chẵn) ;
	b) Trong 3 số nguyên liên tiếp, có một và chỉ một số chia hết cho 3 ;
	c)	Trong k số nguyên liên tiếp, có một và chỉ một số chia hết cho k ;
	*) Phương pháp 2 :
	Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m, nói chung nên phân tích m ra thừa số : m = p.q
Nếu p, q nguyên tố cùng nhau : ta tìm cách chứng minh :
A(n) 
	(Suy ra A(n) theo định lí 5 về chia hết )
Ví dụ 4 :
Chứng minh rằng tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.
Tích của 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho bao nhiêu. 
Giải :
Gọi ba số nguyên liên tiếp là n, n +1, n + 2
Tích của chúng là :
	A(n) = n(n + 1)(n + 2)
Ta có 6 = 2.3	( 2 và 3 là số nguyên tố).
Trong 2 số nguyên liên tiếp n và n + 1, bao giờ cũng có một số chẵn, do đó A(n)
Trong 3 số nguyên liên tiếp n, n + 1, n + 2 bao giờ cũng có một số chia hết cho 3, nên tích của chúng luôn chia hết cho 3 : A(n) .
	Chú ý rằng : ba số nguyên liên tiếp có thể là n – 1, n và n + 1.
A(n) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
Trước hết, ta thấy rằng trong bốn số nguyên liên tiếp : n, n + 1, n + 2, n+3, bao giờ cũng có một số cia hết cho 2 và một số khác chia hết cho 4.
Thật vậy :
	Nếu n = 2k thì n + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1)
Do đó :
Khi k chẵn thì n 
Khi k lẻ thì (n + 2) 
Tương tự như vậy, nếu xét n + 1 và n + 3 có một số chia hết cho 4, số kia chia hết cho 2.
Do đó A(n) = n(n + 1)(n + 2)(n +3) 
Theo a) thì n(n + 1)(n + 2)(n +3) 3
mà (3, 8) = 1 nên A(n) 3.8 = 24.
Nếu p, q không nguyên tố cùng nhau : Phân tích A(n) ra thừa số :
A(n) = B(n). C(n)
	và tìm cách chứng minh
	suy ra B(n).C(n) p. q
Bài tập :
	Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
Trong trường hợp 3 số chẵn liên tiếp thì tích chia hết cho bao nhiêu.
	*) Phương pháp 3 :
Để chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể biến đổi A(n) thành tổng của nhiều hạng tử và chứng minh mỗi hạnh tử đó chia hết cho m.
Ví dụ 5 :
	Chứng minh rằng lập phương của một số nguyên bất kì (n > 1) trừ đi 13 lần số nguyên đó thì luôn chia hết cho 6.
	Giải :
	Ta phải chứng mhinh :
	A(n) = n3 – 13n 6
	Chú ý rằng : 13n = 12n + n, mà 12n 6, ta biến đổi A(n) thành
	A(n) = (n3 – n) – 12n.
	Ta có :	n3 – n = n(n2 – 1) = (n – 1)n(n + 1).
	Đây là tích của ba số nguyên liên tiếp, tích này luôn chia hết cho 6.
	A(n) là hiệu của hai hạng tử : n3 – n và 12n, mỗi hạng tử đều chia hết cho 6, nên :
	A(n) 6.
Ví dụ 6 :
	Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.
	Gải :
	Ba số nguyên liên tiếp là n, n +1, n+ 2, ta phải chứng minh :
	A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 chia hết cho 9.
	Ta có :
	A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3
	 = 3n3 + 9n2 + 15n + 9
	 = 3n3 -3n + 18n + 9n2 + 9
	 = 3n(n – 1)(n + 1) + 18n + 9 + 9n2
	n, n – 1, n + 1 là ba số nguyên liên tiếp, trong đó một số chia hết cho 3, vậy :
	B = 3n(n – 1)(n + 1) 9
	C = 18n + 9n2 +9 9
	A = B +C 	mà 	B 9, C 9	nên 	A 9.
	Để chứng minh một tổng không chia hết cho m, ta chứng minh một hạng tử nào đó không chia hết cho m, còn tất cả các hạng tử đều chia hết cho m.
Ví dụ 7 :
	Chứng minh rằng :
	n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8 với mọi số n lẻ .
	Giải :
	Đặt n = 2k + 1, ta có :
	n2 + 4n + 5 	= 	(2k + 1)2 + 4(2k + 1) + 5
	= 	(4k2 + 4k + 1) + (8k + 4) +5
	= 	(4k2 + 4k) + (8k + 8) + 2
	= 	4k(k + 1) + 8(k + 1) +2
	Đây là tổng của ba hạng tử, hạng tử đầu 4k(k + 1) chia hết cho 8, hạng tử thứ hai 8 (k + 1) cũng chia hết cho 8, riêng hạnh tử hứ ba là 2 không chia hết cho 8. Vậy tổng đã cho không chia hết cho 8.
Bài tập :
	Chứng minh rằng với mọi số nguyên n :
n3 – n + 4 không chia hết cho 3 ;
n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 ;
n2 + 3n + 5 không chia hết cho 121.
*) Phương pháp 4 :
	Để chứng minh rằng A(n) chia hết cho m, ta có thể phân tích A(n) thành nhân tử, trong đó có một nhân tử bằng m :
	A(n) = m . B(n)
	Thường phải sử dụng các hằng đẳng thức. Nói riên, từ các hằng đẳng thức (9), (10) và (11) ta có :
	an – bn chia hết cho a – b (a b) với n bất kì
	an – bn chia hết cho a + b (a - b) với n chẵn ( n = 2k)
	 an + bn chia hết cho a + b (a - b) với n lẻ ( n = 2k + 1).
Ví dụ 8 :
	Chứng minh rằng :
	25 + 35 + 55 5 .
	Gợi ý :
	Vì 5 là số lẻ, nên 25 + 35 (2 + 3) .
Ví dụ 9 :
	Chứng minh rằng :	24n – 1 chia hết cho 15.
	Giải :
	24n – 1 = (24)n – 1n = (24 – 1)[(24)n – 1 + .... + 1] = 15 . M
	Vậy :	(24n – 1) 15
Bài tập :
a)Chứng minh rằng :
	A = 71 + 72 +.......+ 74k (trong đó k là số tự nhiên) chia hết cho 400.
	b) Chứng minh biểu thức :
	A = 75(41975+ 41974+ .....+ 42 + 5) + 25
	chia hết cho 41976.
	*) Phương pháp 5 :
	Dùng nguyên tắc Dirichlet
	Nếu nhốt 9 chú thỏ vào 4 cái chuồng thì phải có một cái chuồng nhốt ít nhất là 3 chú thỏ.