Giải bài tập Hình học Lớp 8 - Chương 1: Tứ giác - Hồ Hồng Điệp

Giải bài tập hình 8
Chương I: Tứ giác
 A
 E 1 D
 1 O
 B 2 C
+Bài 16 (75)
 */ DABC cân tại A nên 
AB = AC(1)	
DABD=DACE(gcg)
BD = CE và 
AD = AE. Gọi O là giao của BD và CE DOBC cân tại O () 
OB = OC(2)OD = OE(3) 
 (1), (2)& (3) OA là trung trực của BC(I) và DE (II).
 (I), (II) DE // BC BCDE là hình thang đáy là BC, ED
Lại có = BCDE là hình thang cân.
*/ DE // BC1=2 (...)
Mà 1 = 2 (CMT)
1 = 1DBDE cân tại E EB = ED 
Chú ý: Theo kết quả này*/ DABC cân tại A nên 
AB = AC(1)	
DABD=DACE(gcg)
BD = CE và 
AD = AE. Gọi O là giao của BD và CE DOBC cân tại O () 
OB = OC(2)OD = OE(3) 
 (1), (2)& (3) OA là trung trực của BC(I) và DE (II).
 (I), (II) DE // BC BCDE là hình thang đáy là BC, ED
Lại có = BCDE là hình thang cân.
*/ DE // BC1=2 (...)
Mà 1 = 2 (CMT)
1 = 1DBDE cân tại E EB = ED 
Chú ý: Theo kết quả này thì trong hình thang cân: trung điểm hai đáy, giao hai cạnh bên, giao hai đường chéo là 4 điểm thẳng hàng
 A B
 1 1
 O
 1 1
 D C
+ Bài 17 ( 75) 
 Cách 1: Gt: 1=1 OC = OD(1)
Mà: 1=1(slt)
 1=1(slt)
1= 1DOAB cân tại O OA = OB(2)
 A B
 ? ? 
 1 1 1
 D C E
(2)&(1)AC=BD đpcm
Cách 2 : 
Kẻ BE //AC (E ẻDC)
1 = 1(đ vị), AC = BE ()
Mà 1=1 (gt)
1= 1DBDE cân tại B DB = BE AC = BD
 đpcm	
+ Bài 18 ( 75) : 
 A B
 1 1 1
 D C E
Kẻ BE //AC (E ẻDC)
1 = 1(đ vị),AC = BE (..)
Mà AC = BD DB = BE DBDE cân tại B
1=11=1(*) DACD = D BDC (cgc) 
 = ABCD là hình thang cân 
(Chú ý:theo bài tập 17/ 75: (*) đpcm) 
+ Bài tập 27( 80):
 A
 E
 K
 D B
 F
 C
 Tứ giác ABCD, E, F,
GT K là trung điểm của
 AD, BC, AC.
 So sánh: EK và CD;
KL KF và AB
 FE Ê(AB + CD) 
 a/ E, F, K là trung điểm của AD, BC, AC
EK, FK là đường trung bình của DADC, DABC.
EK = DC, FK =AB.
b/ Từ (a) EK + FK = (AB+CD).
Mà FE Ê EK + FK().	
FE Ê (AB+CD). 
Dấu bằng khi E, F, K thẳng hàng.
Lúc đó, AB // FE// CD
Hay ABCD là hình thang đáy AB, CD.
Ta có thể chứng minh: 
"Tổng độ dài các đoạn thẳng nối 
trung điểm các cạnh đối của tứ giác không
 lớn hơn nửa chu vi của tứ giác đó".
 A B
 E I K F
 D C
 Hình thang ABCD, 
 AB // CD, 
 AE = ED, BF = FC, 
 FE cắt BD, AC tại I, K.
 KL AK = KC, BI = ID.
GT
"Cho tứ giác ABCD. E, F, K là trung điểm của AD, BC, AC và AB + CD = 2a không đổi. Chứng minh tứ giác này là hình thang đáy AB, CD khi và chỉ khi FE= a". 
+ Bài 28 (80):
a/ Ta thấy FE là đường trung bình 
của hình thang ABCD.
 FE // AB() EI // AB. 
Xét DADC có: EA = ED, EI // AB 
IB = ID (đl3)
Tương tự : AK = KC.
b/ Từ (a) có EI là đường trung bình DABD
 EI = AB = .6 = 3(cm) 
Tương tự tính: KF = 3cm
EK = CD = .10 = 5(cm)
Suy ra IK = EK - EI = 2(cm)
Một cách khái quát:
 EI = KF
 IK = (CD - AB); (AB < CD)
+ Bài 31(83):
*/Cách dựng:
1/ Dựng DACD biết: 
AC = DC = 4cm, 
AD = 2cm.
2/ Dựng tia Ax nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AD, chứa C và song song với CD.
3/ Trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 2cm. Nối BC ta có hình thang cần dựng
*/ Chứng minh: Ta thấy AB // CD nên ABCD là hình thang 
Mặt khác: AB = AD = 2cm, AC = CD = 4cm. nên hình thang ABCD thoả mãn ĐKBT.
*/ Biện luận: Ta luôn dựng được một hình thang thoả mãn ĐKBT
 B
 A C A'
+ Bài 32(83):
*/ Phân tích: Giả sử đã dựng được 
tia Bx nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC 
không chứa điểm A. Ta có 
Trên tia Bx lấy A' Ta có DABA' đều
 A
 a
 C 2a B
*/ Cách dựng:
1/ Dựng DABA' đều.
2/ Dựng phân giác BC của tam giác đó.
Ta có 
*/ Chứng minh: Do DABA' đều nên = 600 
mà BC là phân giác của nên 	
*/ Hiển nhiên là luôn dựng được duy nhất một góc thoả mãn.
 O
 A B
 4cm
 800
 D 3cm C
+Bài 33(80): 	
 Cách dựng:
1/ Dựng DABO
2/ Dựng (C, 4cm),có A
3/ Kẻ Ax//CD
 A
 B
 d
 H D E 
 C
+Bài 39(88):
 C, A đối xứng nhau qua d , D, E ẻd (gt)
AD và CD, AE và CE đối xứng qua d.
 AD = CD, AE = CE (tính chất.)
 AD + BD = CD + BD = BC
Mà BC < BE + CE 
 A
 B'
 H D K d
 B
 C
Suy ra: AD + BD < BE + CE
Khai thác:
 2/ Tìm vị trí của điểm E để EA + EB nhỏ nhất.(câu b)
+ Bài 40(88):
(Tranh ảnh)
a/ 1	b/ 2
c/ 0 	d/ 1
+ Bài 41(88):
a/ Đ	b/ Đ
c/ Đ	d/ S
 A B
 K 1
 H
 D C
•O
1
+ Bài 47(93):
 ABCD là hình bình hành 
	AH, CK ^ BD
 AHCK là hình bình hành 
 O, A, C thẳng hàng
GT
KL
a/ AH ^DB, CK^BD (gt)
AH // CK(1) (Vì cùng vuông góc với BD)
Mặt khác: Xét DAHD, DCKB có:
 (gt)
AD = BC (T/C hbh)
1 = 1(2 góc SLT)	
DAHD = DCKB(t/h đb)
 AH = CK(2)
(1), (2) AHCK là hình bình hành (dhnb).
b/ (a)Nếu O là trung điểm của HK thì O là trung điểm của AC (T/c hbh)
 A, O, C thẳng hàng.
 A
 E
 H B
 D
 F
 G 
 C
+ Bài 48(93): 
1. Cm: HE//FG, HG//EF.
2. CM: HE = FG, HG = EF.
3. CM: HE//FG, HE = FG.
4. CM : 
 Nối A với C
Trong DBAC có BE = EA (gt); BF = FC (gt)
ị EF//= 1/2 AC (T/c đường TB D) (1)
Trong D DAC có AH = HD (gt); CG = GD (gt)
ị HG//=1/2AC (T/c đường TB D) (2)
(1), (2) ị EF//= HG (//=1/2AC)
Nên à EFGH là HBH (dh3) 
 A K B
 N
 M
 D I C
+ Bài 49(93): 
 a/ ¯ABCD là hình bình hành. 
 AB//=CD	
Mà ; .
AK//=CI.
¯AKCI là hình bình hành (có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
b/ AKCI là hình bình hànhAI//CK
DBMA có: BK=KA (gt).
 KM//AM (cmt).
N là trung điểm của BM MN=NB (1)
DDNC có: 
 DI=IC (gt)
 MI//NC (cmt)
M là trung điểm của DN DM=MN (2).
Từ (1) và (2) DM = MN = NB.
c/ ¯AKCI là hình bình hành.
AC cắt KI tại trung điểm O của AC.
¯ABCD là hình bình hành AC cắt BD tại trung điểm O của AC.
AC, BD, IK đồng qui tại O. 
 x
 B I A
 O J y
 C
+ Bài 54(96):
Vì A và B đối xứng nhau qua Ox, nên Ox là 
đường trung trực của đoạn thẳng OA.
Do đó ta có OA = OB và (1)
Vì A và C đối xứng nhau qua Oy, nên Oy là đường 
trung trực của đoạn thẳng AC
Do đó ta có: OA = OC và (2)
Theo giả thiết 
Từ (1) và (2) = 900
Vậy ta có : 
Hay 3 điểm B, O , C thẳng hàng
Lại có OB = OC ( vì cùng = OA)đ B và C đối xứng nhau qua O.
 A M B
 O
 D N C
+ Bài 55(96):
ABCD là hình bình hành và O là giao điểm
của hai đường chéo AC và BD.
Do đó ta có AB//CD và (SLT)
AO = CO; ( đối đỉnh)
đ DAOM = D CON (g.c.g)
đ MO = ON đ M và N đối xứng nhau qua O.
+ Bài tập 57 (96):
- Khẳng định các câu a, c là đúng.
- Khẳng định câu b là sai.
 A B
 E1 I
 H1 1 2F
 G1 1
 D C
+ Bài 64(100):	
FEGH là hình chữ nhật
 ư
 ư Tương tự
 ư
 ư
 ư
+Bài 65(100):
 A
 H E
 D B
 G F
 C
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
Từ giả thiết của bài toán và tính chất của đường 
trung bình trong tam giác ta có:
EF//AC và 
HG//AC và 
đ EF //HG và EF = HG
Vậy EFHG là hình bình hành(1)
EF//AC mà BD ^AC nên BD ^EF
HE//BD mà EF^BD nên EF ^HE (2)
Từ (1) và (2) suy ra EFHG là hình chữ nhật ( DHNB)
+Bài 69(102):
Đáp án: 1à7; 2à5;
 3à8; 4à6
+ Bài 70(103):
 y
 A
 E C m
 O H B x
Kẻ CH Ox 
 AOB có AC = CB (gt) 
CH//AO ( cùng vuông góc với Ox ) 
CH là ĐTB của AOB 
 CH = = = 1(cm)
Nếu B O C E ( E là trung điểm của AO )
Khi B di chuyển trên Ox thì C di chuyển trên Em // Ox, cách Ox một khoảng bằng 1 cm
+ Bài 71(103):
a, Xét tứ giác AEMD có 
 B
 D M
 Q 
 O 
 A E P C
 = 900(gt)
 Tứ giác AEMD là hình chữ nhật 
Có O là trung điểm của đường 
chéo DE nên O cũng là trung
 điểm của đưòng chéo AM 
 A, O, M thẳng hàng
b, Kẻ AH BC; OK BC 
 OK là đường trung bình của AHM 
 OK = ( không đổi)
Nếu M B O P ( P là trung điểm của AC ) 
Nếu M C O Q ( Q là trung điểm của AB)
Vậy khi M di chuyển trên BC thì O di chuyển trên đường trung bình PQ của ABC
c, Nếu M H thì AM AH, khi đó AM có độ dài nhỏ nhất
+ Bài 75(106): 
 ABCD là hcnhật
 AE = EB, BF = FC
GT CG = GD, DH = DA
KL ABCD là h.thoi
 Xét AHE và BFE có
 ==900
 AE = EB = 
 AH = BF = = 
 AHE = BFE(cgc) HE = EF
Chứng minh tương tự ta có 
 CFG = BFE(cgc) FG = EF
 FGC = DHG(cgc) HG = GF
Vậy HE = EF = FG = GH tức giác EFGH là hình thoi ( định nghĩa ) 
A
M
B
P
D
M
Q
C
+ Bài 76(106) :
Trong D ABC có AM = MB, BM = MC (gt) 
=> MN // = 1/2 AC (t/c đường tb)
Trong D ADC có AQ=QD, DP=PC (gt) 
=> PQ = 1/2 AC (t/c đường tb)
=> MN //=PQ (//=1/2AC)
=> MNPQ là hbh. (3) 
Trong D ABD có AM=MB, AQ=QD (gt) 
=> MQ // BD (t/c đường tb) mà BD ^ AC tại O 
=> MQ ^ MN (t/c //) 
Hay góc QMN = 900 (2) 
(1), (2) => MNPQ là hcn
A
F
C
D
E
B
450
450
+ Bài 81(108):
Tức giác AEDF có 3 góc vuông
 + 450 = 900
 = 900	
Do đó AEDF là hình chữ nhật
Đường chéo AD là phân giác của góc A
Vậy AEDF là hình vuông
+Bài 83(108):
Đáp án:
a/ S
b/ Đ
c/ Đ
d/ S
e/ Đ
+Bài 84(108)
A
B
C
E
E’
E’
F
D
D’
A
B
C
E
E’
E’
F
D
D’
*Trường hợp () có thể là góc nhọn hoặc tù
DE // AB, DE // AC	ị AEDF là hình bình hành	
Hình bình hành AEDF là hình thoi khi đường chéo AD của nó là đường phân giác của góc A. Vậy AEDF là hình thoi khi D là chân đường phân giác của góc A trên BC. 
*Trường hợp góc = 900
DE // AB và DF // AC ịAEDF là hình bình hành
vì nên AEDF là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật AEDF là hình vuông khi đường chéo AD là phân giác của góc A.
Vậy khi D là chân đường phân giác của góc A trên BC thì AEDF là hình vuông
+ Bài 85(108):
a/ ADEF có: AE//=DF; Â = 900
¯ADFE là hình chữ nhật.
Mặt khác AB = 2AD AD = AE
¯ADFE là hình vuông.
b/ ¯ADFE là hình vuông
; ME = MF
Tương tự ¯EBCF là hình vuông
 và EN = NF
Mà 
¯MENF có: 
 ME = MF.
 ¯MENF là hình vuông.
+ Bài 89(108):
 a/ DABC có BM = MC ; BD = DA
DM là đường trung bình của DABC 
DM//AC.
 Mà ED = DM AB là trung trực EM.
Vậy E, M đối xứng nhau qua AB.
b/ ¯AEMC là hình bình hành.
 ¯AEMB là hình thoi.
c/ BC=4cmBM=2cm
Chu vi ¯AEBM=8cm.
d/¯AEBM là hình vuông DABC vuông cân.