Đề và đáp án thi Olympic Toán Lớp 8 - Năm học 2009-2010

 đề thi Olympic năm học 2009 - 2010 
Môn: toán - lớp 8
(Thời gian làm bài 120 phút)
--------------------------
Câu1: Cho biểu thức: A = 
Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn biểu thức A.
Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
Câu2: a) Phân tích đa thức thành nhân tử:
 (3x – 2)3 – (x – 3)3 – (2x + 1)3
 b) áp dụng giải phương trình:
 (3x – 2)3 – (x – 3)3 = (2x + 1)3
Câu3: a) Giải phương trình: = 2x + 1
 b) Cho số thực x thoã mãn: 
 Tính giá trị của biểu thức: B = 
Câu4: Cho x, y là các số thực không âm thoã mãn:
 x2 – 2xy + x - 2y 0. Tính giá trị lớn nhất của biẻu thức:
 M = x2 – 5y2 + 3x
Câu5: Cho tam giác ABC vuông tại A( AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
Chứng minh: AE = AB
Gọi M là trung điểm của BE. Tính góc AHM.
----------------------
Hướng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán - lớp 8
Câu1: (3đ)
a) (2đ) +)Điều kiện: 
 +) Quy đồng mẫu số và biến đổi được: A = 
b) (1đ) Ta có A = = -1 + . Suy ra A nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi 1 – 2x = x = 0 hoặc x = 1.
Đối chiếu ĐK ban đầu x = 0 và x = 1 không thoã mãn. Vậy không có giá trị x nào thoã mãn yêu cầu bài toán.
Câu2:(4đ) 
(2đ) Chứng minh: Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc
 áp dụng ta có: (3x – 2)3 – (x – 3)3 – (2x + 1)3 
 = (3x – 2)3 + ( - x + 3)3 + ( - 2x - 1)3
 = 3(3x – 2)( - x + 3)( - 2x – 1).
 b) (2đ) Ta có: (3x – 2)3 – (x – 3)3 = (2x + 1)3
 (3x – 2)3 – (x – 3)3 - (2x + 1)3 = 0
 3(3x – 2)( - x + 3)( - 2x – 1) = 0
 x = hoặc x = 3 hoặc x = - 
Câu3:(4đ) 
 a)(2đ) +) Với x 0: Phương trình đã cho trở thành 
 = 2x + 1 . Giải được x = 0
 +) Với x 0: Phương trình đã cho trở thành
 = 2x + 1. Giải được x 
 Suy ra nghiệm của phương trình đã cho là: 
b)(2đ) Từ giả thiết suy ra x2 – x + 1 = 2x hay x2 = 3x – 1.
 Suy ra x0 và x3 = (3x – 1)x = 3x2 – x = 8x – 3
 x4 = (8x – 3)x = 8x2 – 3x = 21x -8
Do đó B = = =5
Câu4: (3đ) Ta có x2 – 2xy + x - 2y =(x – 2y)(x + 1) vì x nên x + 1 > 0).
 Do đó M = x2 – 5y2 + 3x 4y2 – 5y2 + 6y = -y2 + 6y = -(y – 3)2 + 9 9.
M = 9 khi và chỉ khi y = 3, x = 6.
Vậy giá trị lớn nhất của M là 9.
Câu5: (6đ) 
a)(3đ) Ta có CDE ~ CAB(hai tam giác vuông có góc C chung)
 ~ (Vì AHD vuông cân) vuông cân AE = AB(đfcm).
b)(3đ) Từ ABE vuông cân kết hợp với GT suy ra AM BE.Kéo dài AM cắt BC tại K. Ta có: AHK ~ BMK ~ HKM(vì ABE vuông cân nên AM vừa lầ đường trung tuyến vừa là đường phân giác suy ra ) 
A
C
B
H
E
D
K
M
1
1
C
A
1
1