Đề thi Olympic môn Toán cấp THCS - Năm học 2010-2011 (Có đáp án)

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN: TOÁN - LỚP 6
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1. a) Tìm x: 22x – 1 + 6.28 = 14.28
 b) Tính: A =
Câu 2. a) Cho S = 2010 + 20102 + 20103 + 20104 + ................+ 20102009+ 20102010.
 Chứng tỏ rằng S chia hết cho 2011.
 b) Tìm kết quả của phép nhân:
B = 33 ... 3	 x 	99...9
 20 chữ số	 20 chữ số
Câu 3. a) Tìm phân số bằng phân số biết tổng của tử và mẫu là 306.
 b) Tìm các giá trị nguyên của n để phân số M = có giá trị là số nguyên.
Câu 4. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p bằng tổng của hai số nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố.
Câu 5. Cho hai điểm C và D nằm giữa hai điểm A và B. Biết AB = 12cm, AC = 7cm, CD = 3cm. Tính BD ?
Câu 6. a) Cho 10 điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng?
 b) Giải bài toán ở câu a trong trường hợp có đúng 3 điểm thẳng hàng.
----------------------------------------------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN: TOÁN - LỚP 6
Câu1 (4điểm)
1a (2điểm)
1b (2điểm)
Câu2 (5điểm)
2a (3điểm)
2b (2điểm)
Câu3
(4,5điểm)
3a (2,5đ)
3b( 2 điểm)
Câu4
(2 điểm)
Câu5
(2,5điểm)
Vẽ hình (0,5đ)
TH1(1điểm
TH2(1điểm
Câu 6
6a(1,5 điểm)
6b ( 0,5đ)
a)22x – 1 + 6.28 = 14.28 => 22x-1 = 28.(14 – 6) = 211 
=> 2x – 1 = 11 =>x =6 
a) Ta có: S = 2010 + 20102 + 20103 + 20104 + ................+ 20102009+ 20102010 = 2010(1 + 2010) + 20103(1 + 2010) +......+ 20102009(1 + 2010) = 2010.2011 + 20103.2011 + ...........+ 20102009.2011
= 2011.( 2010 + 20103 + ..........+ 20102009) 2011 (đpct)
 b) B = 33 ... 3	 x 	99...9 = 333 x (1020 – 1 ) 
 20 chữ số	 20 chữ số
 = 333 x 1020 – 333 = 333000 – 333 = 33326667
 20chữ số 20chữ số 20chữ số 20chữ số 20chữ số 19chữ số 19chữ số
a) Ta có là phân số tối giản nên phân số bằng có dạng tổng quát ( mZ , m 0) => 5m + 13m = 306 = > m = 17
=> phân số cần tìm là 
b) M = có giá trị là số nguyên => 3n - 1 n – 1 
=> 3(n – 1) + 2 n – 1 => 2 n – 1=> n - 1Ư(2) = 
Ta có bảng n – 1 -1 1 -2 2
 n 0 2 -1 3 
thử lại ta có n thì M nhận giá trị nguyên
 Dễ thấy p > 2 nên p lẻ . Vì p vừa là tổng vừa là hiệu của 2 số nguyên tố nên 1 số phải chẵn, số kia là lẻ. Số chẵn là 2
Như vậy p = a + 2 = b – 2 ( a, b là các số nguyên tố).
 Mà a = p – 2 , p , b = p + 2 là 3 số lẻ liên tiếp nên có một số chia hết cho 3. Vậy phải có một số bằng 3
Nếu a = 3 thì p = 5 và b = 7 thỏa mãn
Nếu p = 3 thì a = 1 không là số nguyên tố
Nếu b = 3 thì p = 1 không là số nguyên tố 
Vậy số nguyên tố p = 5 là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn đầu bài 
 | A D C D B
Vì C nằm giữa A và B nên AC + CB = AB => CB = 12 – 7 = 5cm
Vì D nằm giữa hai điểm A và B và DC = 3 cm nên có 2 trường hợp
TH1 D nằm giữa A và C hay C nằm giữa B và D ta có 
 BC + CD = BD => BD = 8cm
TH2: D nằm giữa C và B => BD + DC = CB = > DB = 2cm 
Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm còn lại ta vẽ được 9 đường thẳng. Làm như vậy với 10 điểm ta được 9. 10 = 90 đường thẳng. Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần do đó tất cả chỉ có 90 : 2 = 45 đường thẳng
Giả sử không có 3 điểm thẳng hàng thì có 45 đường thẳng Vì có 3 điểm thẳng hảng nên số đường thẳng giảm đi là 3 – 1 = 2
Vậy chỉ có 43 đường thẳng
1đ
1đ
1đ
1đ
1đ
1đ
1đ
2đ
1đ
1đ
0,5đ
0,5đ
1đ
0,5đ
1đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
1đ
1đ
1,5đ
0,5đ
ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN: TOÁN - LỚP 7
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1. a) Tìm x, biết: = 2011
 b) Cho ba số x, y, z có tổng khác 0 thỏa mãn . Tính: 
Câu 2. a) Cho A = . Tìm x Z để A có giá trị là một số nguyên dương.
 b) Biết m, n, p là độ dài ba cạnh của một tam giác.
 Chứng minh rằng: m2 + n2 + p2 < 2(mn + np + pm)
Câu 3. Tìm a, b Z thoả mãn: ab + 2a – 3b = 11
Câu 4. Thực hiện phép tính:
 	P = (1 – ).(1 – )....(1 – )
Câu 5. Cho tam giác ABC có = 900, = 600, đường cao AH. Trên HC lấy điểm D sao cho DH = BH.
a) Xác định dạng của tam giác ABD.
b) Vẽ CF vuông góc với AD (F thuộc đường thẳng AD).
Chứng minh rằng: AH = HF = FC.
c) Chứng minh rằng: +=
----------------------------------------------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM thi O lym pic to¸n 7
n¨m häc : 2010-2011
---------------------
 C©u1.(4®iểm) a. (2®) - TH1: /x-2010/-1= 2011
	 /x-2010/ = 2012 x= 4022 hoÆc x=-2 (1®)
 - TH2: /x-2010/-1= - 2011
 /x-2010/= - 2010 ( lo¹i) (1®)
 b. (2®) : === =1 x=y=z (1®)
 =; = = =1 (1®) 
 C©u2. (4®iểm) a. (2®) T×m xz ®Ó AZ
 A= ( ®k x≥0 , x≠4 ) (1d)
 A nguyªn khi nguyªn lµ ¦ (3) 
 ¦(4) = {-3; -1; 1; 3}
 C¸c gi¸ trÞ cña x lµ : {9 ;25 } ( 1®)
 b. (2®) Trong tam gi¸c tæng ®é dµi hai c¹nh lín h¬n c¹nh thø 3. VËy cã:
	m + n > p.
	 Nh©n 2 vÕ víi p >0 ta cã: m.p + n.m > p2.(1)
 T­¬ng tù ta cã :	 m.n + p.n > n2	(2) ( 1®)
	 p.m + m.n > m2(3).
Céng vÕ víi vÕ cña (1), (2), (3) ta ®­îc: 
	2(m.n + n.p + p.m) > m2 + n2 + p2. (dpcm) (1®)
 C©u 3. (3®iểm) Ta cã : ab+2a-3b=11 (a-3).(b+2)=5 (2®)
 (a,b)=(4;3);(8;-1);(2,-7);(-2;-3) (1®)
 C©u 4 .(4®iểm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
 A=(1-) . (1-)  (1-) = 
 ..=. .  (1)
Mµ: 2012.2010 - 2 = 2011(2013 - 1) + 2011 - 2013
	= 2011(2013 - 1+ 1) - 2013 = 2013(2011 -1) = 2013.2010 (2) (2®)
Tõ (1) vµ (2) ta cã: 
 A=..====(2®)
 C©u 4 (5®iểm) a/ (1®) Tam gi¸c ABD cã AH võa lµ ®­êng cao võa lµ trung tuyÕn nªn Lµ tam gi¸c c©n, cã <B= 600 nªn ABD ®Òu 
 	b. (2®) tam gi¸c ABC vu«ng ë A, <B=600 nªn <C1=300 
 tam gi¸c AFC vu«ng ë F, <A3=300 nªn <C1+C2=600 mµ <C1=300 nªn <C2 =300
 AHC= CFA ( c¹nh huyÒn gãc nhän), nªn HC= AF
 ADC c©n ë A v× < A3= <C1 =300 nªn AD=CD vµ <ADC=1200 (1 ®) suy ra: 
A
B
H
D
F
C
3
1
2
1
1
1
2
 DH=DF vµ < HDF=1200 . khi ®ã trong tam gi¸c c©n DHF, cã <H1=<F1=300
 AHF c©n ë H v× cã <A2= <F1 ta cã HA=HF
 FHC c©n ë F v× <H1=< C2 , ta cã HF=FC
 Tõ ®ã ta cã: HA=HF=FC (DPCM)(1®) 
 c. (2®) ta cã: SABC =AB.AC
 SABC =AH.BC (1®)
 Suy ra: AB.AC=AH.BC , AB2.AC2=AH2.BC2 
hay =
 Hay AB2+AC2/ AB2.AC2=1/ AH2 suy ra: += (1®)( ®pcm)
( Lµm c¸ch kh¸c ®óng vÈn cho ®iÓm tèi ®a)./.
ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN: TOÁN - LỚP 8
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1. a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x3 + x2 – 13x + 6
	 b) Tìm các cặp số x, y thỏa mãn: 2x2 + y2 – 6x + 2xy – 2y + 5 = 0
Câu 2. Cho biểu thức : A = 
 a) Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn biểu thức A.
 b) Tính giá trị của biểu thức A khi .
 c) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Câu 3. Cho hai số a, b thỏa mãn a + b = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = a3 + b3 + ab.
Câu 4. Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x + 2 thì dư 3, chia cho x – 3 thì dư 8 và chia cho (x + 2)(x – 3) thì được thương là 2x và còn dư.
Câu 5. Cho .
Chứng minh rằng: 
Câu 6. Cho hình vuông ABCD. M là một điểm thuộc cạnh AB, N là một điểm thuộc cạnh BC, trên tia đối của tia AB lấy điểm E. Biết AM = BN = AE = . Gọi F là giao điểm của MC và DN. Chứng minh rằng:
 a) DN vuông góc với CM.
 b) EF = DM.
----------------------------------------------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM thi O lym pic to¸n 8
n¨m häc : 2010-2011
---------------------
Câu 1.(4 ®iểm) 
(2 ®)Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x3 + x2 – 13x + 6
 Ta cã 2x3 + x2 – 13x + 6 = (2x3 – 8x) + (x2 – 5x + 6 )
 = 2x(x-2)(x+2) + (x-2)(x-3) = (x-2)(2x2 +4x +x – 3)
 = (x-2)(2x2 + 6x - x – 3) = (x -2)(x+ 3)(2x- 1)
b) (2®)Tìm các cặp số x, y thỏa mãn: 2x2 + y2 – 6x + 2xy – 2y + 5 = 0
 Ta cã: 2x2 + y2 – 6x + 2xy – 2y + 5 = 0
 2[ x2 + x(y-3)] + y2 – 2y + 5 = 0
 2(x + )2 - + y2 – 2y + 5 = 0
 (2x + y – 3)2 + y2+2y +1 = 0 (2x + y – 3)2 + (y +1)2 = 0 (*)
 Do (2x + y – 3)2 0 ; (y +1)2 0 víi mäi x,y nªn VT víi 
mäi x, y nªn dÊu “=” xÈy ra khi 2x + y - 3 = 0 vµ y + 1 = 0
 VËy cÆp sè x, y cÇn t×m lµ: x = 2; y = -1 
C©u 2: (3,5 ®iểm)
 a)( 1,5 ®) Víi x 0, x 2 th× gi¸ trÞ cña biÓu thøc A ®­îc x¸c ®Þnh
 A= 
 = 
 = = 
b)( 1 ®)nªn x = hoÆc x = -(TM§KX§)
 NÕu x = th× A = NÕu x = - th× A = 
c)( 1 ®)§Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn th× 2 - x ph¶i lµ ­íc cña 1.Tõ ®ã suy ra
 2 - x = 1 hoÆc 2 - x = -1 => x = 1 hoÆc x = 3 ( TM§KX§)
VËy gi¸ trÞ nguyªn cña x cÇn t×m lµ x = 1 ;x = 3
Câu 3.(2, 5 ®iểm) 
 Ta cã B =a3 + b3 + ab = (a+b)(a2 - ab + b2) + ab = a2 - ab +b2 +ab = a2 + b2
 Do (a - b)2 0 víi mäi a,b 
 a2 -2ab +b2 0 a2 +b2 2ab 2(a2 +b2) a2 -2ab +b2 2(a2 +b2) (a + b)2=1 ( gi¶ thiÕt cho a + b = 1) óa2 +b2 
VËy minB = khi a = b = 
 C©u 4:(2,5 ®iểm) 
V× ®a thøc (x+2)(x- 3) cã bËc b»ng hai nªn d­ cña f(x) chia cho 
 (x+2)(x- 3) ph¶i cã d¹ng R(x) = ax+b
f(x) = (x+2)(x-3).2x +(ax + b) Ta cã f(-2) = -2a + b = 3 ;f(3) = 3a + b = 8 
a = 1 vµ b = 5
 VËy f(x) = (x+2)(x- 3)2x + x + 5 = 2x3 -2x2 -11x + 5
C©u 5 :(2,5 ®iểm)
 Do nªn :
hay x2+y2+z2= 0 (*)
 V× ; ; 
 mµ x2; y2; z2 0 nªn ®¼ng thøc (*) xÈy ra khi vµ chØ khi x2= y2= z2 =0
 hay x = y = z = 0. Tõ ®ã suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.
C©u 6: (5 ®iểm)
C/M: 
a) (2,5 ®)XÐt hai tam gi¸c vu«ng MBC vµ NCD cã:
 BC = CD
 BM = CN = 3/4AB
=> (2 c¹nh gãc vu«ng)
=>CB = DC(2 gãc t­¬ng øng)
Ta cã CB + NF = 900
=> DC+ NF = 900
=> vu«ng t¹i F
=> DN MC(®pcm)
b) (2,5 ®)
Do AD EM t¹i trung ®iÓm A nªn DA lµ ®­êng trung trùc cña ®o¹n ME
=> DM = DE (1)
Qua E kÎ ®­êng th¼ng song song víi MC, ®­êng th¼ng nµy c¾t DF t¹i I, c¾t DC t¹i K
Tø gi¸c EMCK lµ h×nh b×nh hµnh( v× EM//CK vµ EK//MC)
EM = CK = 1/2DC
K lµ trung ®iÓm cña CD
Do KI // CF nªn I còng lµ trung ®iÓm cña DF
MÆt kh¸c MC DN; EK// MC nªn EK DF
=>EI lµ ®­êng trung trùc cña ®o¹n DF
=> ED = EF (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: EF = DM(®pcm)