Đề thi môn Toán - Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn - Đề 78B (Có đáp án)

Sở GD&ĐT Thanh Hoá
Trường THPT Lê Lai
----------*----------
đề thi tuyển sinh lớp 10 
trường THPTchuyên Lam sơn năm 2006
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
CâuI: (1.5 điểm)
Cho biểu thức 
Rút gọn P.
Giải phương trình P = x – 4.
(Bài 17 trang 29 – Căn số và Toán vô tỉ – Hoàng Kỳ – NXBGD 2001, ý 2) sáng tác)
CâuII: (1.5 điểm)
Cho phương trình: x2 + (2m – 1)x + m - 2 = 0 	(*) (m là tham số)
Xác định m để phương trình (*) có hai nghiệm trong đó có một nghiệm nhỏ hơn 1, còn nghiệm kia lớn hơn 2.
Xác định m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : . (Sáng tác)
CâuIII: (1.0 điểm)
Tìm hai số tự nhiên biết hiệu bình phương hai số đó bằng 169.
(Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 1972 – 1973).
CâuIV: (2.0 điểm)
1) Giải phương trình: (Sáng tác).
2) Vẽ đồ thị hàm số: 
Tìm m để phương trình: có nghiệm duy nhất. (Sáng tác).
CâuV: (2.0 điểm)
Cho hình vuông MNPQ, lấy điểm E thuộc cạnh MQ, điểm F thuộc cạnh NP sao cho: ME = PF. Các đường thẳng MF và NE cắt đường thẳng PQ lần lượt tại B và C. Kéo dài MB và NC cắt nhau tại A. Chứng minh rằng tam ABC là tam giác vuông.
(Bài toán 5, Toán học và tuổi trẻ ).
CâuVI: (2.0 điểm)
Kéo dài cạnh CC’ của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ về phía C’ và lấy điểm M trên đó sao cho: MC’ = C’C. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt A’M tại P1; cắt A’C tại P2. Gọi I là giao điểm của AP1 và A’C’.
Chứng minh và .
Gọi V là thể tích hình hộp; V1, V2 là thể tích hình chóp P1ABCD và P2ABCD. Chứng minh:
 .
(Bài toán 3 trang 116 – Hình hộp và hình tứ diện – Văn Như Cương).
Sở GD&ĐT Thanh Hoá
Trờng THPT Lê Lai
------------*------------
đáp án - thang điểm
đề thi tuyển sinh lớp 10 trờng THPT chuyên Lam sơn 
năm học 2006 - 2007
Môn: toán
Câu
ý
Nội dung
Điểm
I
1.50
I.1
1.00
Điều kiện: x > 0 và x
0.25
0.50
0.25
I.2
0.50
Với điều kiện ở câu 1), ta có:
P = x – 4
0.25
 loại, với ta có thoả mãn điều kiện câu 1).
Vậy phơng trình có một nghiệm duy nhất là 
0.25
II
1.50
II.1
0.75
Ta tìm m để phơng trình (*) có một nghiệm nhỏ hơn 1 còn nghiệm kia lớn hơn 1.
Đặt x= X + 1 ta đợc phơng trình:
	X2 + (2m +1)X + 3m – 2 = 0	(**)
Nếu x 1 thì X > 0, do đó, ta tìm m để phơng trình (**) có hai nghiệm trái dấu
 (1)
Vậy nếu m < thì phơng trình (*) có một nghiệm nhỏ hơn 1 còn nghiệm kia lớn hơn 1.
0.25
Tơng tự, ta tìm m để phơng trình (*) có một nghiệm nhỏ hơn 2 còn nghiệm kia lớn hơn 2.
Đặt x = Y + 2 ta đợc phơng trình:
	Y2 + (2m + 3)Y + 5m = 0	(***)
Phơng trình (***) có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:
	5m < 0 m < 0	 (2)
0.25
Phơng trình (*) có một nghiệm nhỏ hơn 1 còn nghiệm kia lớn hơn 2 khi và chỉ khi m thoả mãn đồng thời (1) và (2). Vậy m < 0.
0.25
II.2
0.75
Phơng trình (*) có hai nghiệm x1, x2 khác 0 khi và chỉ khi:
	 (I)
0.25
Ta có: 
0.25
Cả hai giá trị này đều thoả mãn (I).
Vậy các giá trị m cần tìm là m = 1 và m = -7.
0.25
III
1.00
Gọi 2 số đó là x, y (x, yN) ta có
 (x, yN)
0.25
Ta đợc hệ sau:
 (I) 
(II) 
(III) 
0.25
(I) 
(II) 
(III) 
0.25
Do nên chỉ có 2 cặp số thoả mãn yêu cầu bài toán đó là (13;0) và (85;84).
0.25
IV
2.00
IV.1
1.00
TXĐ: D =
Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình:
Đặt 
Ta có 
0.25
0.25
Giải (I) hoặc (loại)
Giải (II) (loại) hoặc 
0.25
Với 
Với 
Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm: và 
0.25
IV.2
1.00
 -3x + 1 với 
 y = -x + 3 với -1 < x 
 3x - 1 với x > 1
0.25
Suy ra đồ thị của hàm số 
0.25
Nghiệm của phơng trình chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 
 với đờng thẳng y = m
Vậy để phơng trình có nghiệm duy nhất thì đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số 
 tại một điểm duy nhất
0.25
Đồ thị hàm số đợc vẽ nh hình 1
Đờng thẳng y = m là đờng thẳng song song với trục hoành cắt Oy tại điểm có tung độ bằng m 
Vậy ycbt m= 2
0.25
V
2.00
áp dụng định lí Talet ta có : (1) 
	 	 (2)	
0.50
Vì ME = NF 	 (3)	
Từ (1); (2); (3) 	
0.50
 Suy ra hai tam giác vuông BMQ và NCP đồng dạng với nhau.	
0.50
Suy ra 	
Suy ra điều phải chứng minh 	
0.50
VI
2.00
VI.1
1.00
Vì A’I//AC nên : 	 (1)	
0.50
Mặt khác, do C’M //= AA’ nên AC’MA’ là hình bình hành
 (2)
0.50
VI.2
1.00
Từ (1) và (2) suy ra: .
0.50
	 (3) 
Gọi h, h1, h2 lần lợt là khoảng cách từ I, P1, P2 đến mp(ABCD) và là góc tạo bởi đờng thẳng AP1 với mp(ABCD) thì:
 Thay cả vào (3) ta có: 	 (4)	
Gọi S là diện tích hình bình hành ABCD
	(4) 
Suy ra điều phải chứng minh.
0.50
-----------------------------Hết-------------------------------