Đề thi môn Toán - Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn - Đề 74B (Có đáp án)

Sở GD&ĐT Thanh hoá
Trường THPT Thọ Xuân 4 
Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Lam sơn
 Năm học : 2006-2007
Môn thi: Toán - (Thời gian làm bài 150 phút)
Câu 1. (1,0đ).Rút gọn biểu thức:
 A=.
Câu 2.(0,5đ). Rút gọn biểu thức:
 A=
Câu 3. (1,0đ).Cho phương trình: x2 - 2(m+1)x + m – 4 = 0
 Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình.
 C/m rằng:A =x1(1-x2)+ x2(1-x1) không phụ thuộc vào m.
Câu 4. (1,0đ) Tìm a để hệ sau vô nghiệm:
Câu 5.(1,,0đ). Giải hệ phương trình:
Câu 6. (1,5đ).Cho các đường thẳng (d1) : y=2x+2; 
 (d2) : y=-x+2; 
 (d3) : y=mx (m là tham số).
 Tìm tất cả các giá trị m để d3 cắt cả hai tia AB và AC. Trong đó A,B,C lần lượt là giao điểm của d1với d2;d1với ox; của d2 với ox
Câu 7. ( 1,0đ ) 
 Chứng minh rằng ( n3 + 17n ) chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n
Câu 8. ( 1,0đ ) 
 Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong một đường tròn ( o ) và D là diểm nằm trên cung BC không chứa điểm A. Trên tia AD lấy điểm E sao cho AE = DC. Chứng minh tam giác ABE bằng tam giác CBD.
Câu 9. ( 1,0 đ )
 Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC giả sử góc BPC bằng 1350. Chứng minh rằng 2PB2 + PC2 = PA2 
Câu 10.( 1,0 đ )
 Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD ( Tức là hình chóp có đáy ABCD là hình vuông và chân đường cao trùng với tâm của đáy ). Tính diện tích xung quanh và thể tích hình chóp biết rằng SA = AB = a .
 Sở GD&ĐT Thanh hoá
Trờng THPT Thọ Xuân 4 
 Hớng dẫn chấm thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn
Năm học 2006-2007
Câu
Lời giải
Điểm
1
Ta có 
Vậy A = 
0,5đ
0,25đ
0,25đ
2
A =
 = (x2 – 5x - 1) + 
 = 
 0,5đ
3
nêm phơng trình luôn có 2 nghiệm x1, x2
áp dụng định lí Viet ta có 
Vậy A = 
Suy ra A không phụ thuộc vào m. Đ P C.M
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
4
Từ phơng trình x + ay = 1
Thế x = 1 – ay vào phơng trình ax – 3 ay = 2a + 3
Ta đợc a ( 1 – ay ) – 3ay = 2a + 3
 ( 1 )
Hệ vô nghiệm phơng trình (1) vô nghiệm 
 a=0
 0,25đ
0,25đ
0,5đ
5
Đặt S = x + y, P = x.y ĐK S2 – 4P0
Ta đợc hệ 
Với 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
6
Toạ độ A là nghiệm hệ 
Toạ độ B là nghiệm hệ 
Toạ độ C là nghiệm hệ 
Tia AB nằm bên trái oy nên ( d3 ) cắt tia AB khi và chỉ khi hoành độ giao điểm của d3 và d1 âm hay 
Tơng tự ( d3) cắt tia AC khi và chỉ khi 
. Do đó ( d3 ) cắt cả hai tia AB và AC
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
7
n3 + 17n = n3 – n + 18 = n( n2 – 1 ) + 18 n
Ta có 18n
n(n2 – 1) = n ( n – 1 ) ( n + 1 ) 2 
n(n-1)(n+1) 3 
Vậy ( n3 + 17n ) 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
8
Ta có: AE = CD (theo giả thiết) A 
T
T
AB = CB (gt)
BAE = BCD (cùng chắn cung BD) E 
Suy ra rABE = rCBD (c-g-c). B C
 D 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
9
Lấy một diểm P’ khác phía với A D
P đối với bờ AB 
sao cho rBPP’ vuông cân tại B P’
Ta có rBPC = rBP’A (c-g-c)
ị BP’A = 135o P 
Do BP’P = 45o nên PP’A = 90o B C
Theo định lí Pitago PA2 = AP’2+P’P2 = PC2 + 2PB2
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
10
Gọi H là tâm của hình vuông ABCD
AC=aị AH=;
 SH==. = ; = a2; Sxq=4.= a2 .
 VSABCD =SH.SABCD =.a2 = 
 S
Hình vẽ đúng -đẹp
 D C 
 H
 A B
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Sở GD&ĐT Thanh hoá