Đề thi môn Toán - Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn - Đề 30B (Có đáp án)

Sở GD và đào tạo Thanh Hoá 
 TRường THPt Nguyễn THị lợi 
 ----------------
Đề thi vào 10 chuyên lam sơn (Toán chung)
Thời gian : 150 phút 
Bài 1 (1,5 điểm) : 
	Cho A1 = [(
	a- Tìm tập xác định, rút gọn A1.
	b- Cho xy = 16, Tìm MinA1?.
	 (Trích tuyển chọn các đề luyện thi vào 10 của tác giả Vũ Đình Hoàng) 
Bài 2 (1 điểm) : 
	Tính giá trị của biểu thức : A = (3x3 + 8x2 + 2)2006.
	Với x = 
	 	 (Trích dựa trên 150 đề học sinh giỏi toàn quốc lớp 9) 
Bài 3 (1,5 điểm) : 
	Giải hệ phương trình : x2y + 2 = y2 
	xy2 + 2 = x2
	 (Trích 23 chuyên đề giải toán sơ cấp) 
Bài 4 (2 điểm) : 
	Cho hàm số : y = x2 (P) và y = x + m (D) (m là tham số).
	1- Tìm m sao cho (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
	2- Tìm phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (D) và (d) tiếp xúc với (P). 
	3a- Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A và B.
	3b- áp dụng tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A, B là 3
	(Trích 1001 bài toán sơ cấp của tác giả Nguyễn Đức Đồng).
Bài 5(4 điểm) : 
	Cho DABC đều. O là trung điểm của BC. M thuộc AB, N thuộc AC sao cho góc MON = 600.
	a- Chứng minh rằng BC2 = 4BM.CN.
	b- Chứng minh OM, ON lần lượt là hai tia phân giác của các góc CMN và MNC. 
	c- Chứng minh MN luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định.
	d- Xác định M, N để diện tích tam giác OMN là lớn nhất
	 (Trích tuy ển tập 120 đề toán vào 10 của tác giả Vũ Đình Hoàng) 
	Sầm Sơn, ngày 24 tháng 01 năm 2006.
	 Người lập đề
	 Lê Thị Minh 
Sở GD và đào tạo Thanh Hoá 
 TRờng THPt Nguyễn THị lợi 
 ----------------
hướng dẫn và biểu chấm vào 10 chuyên lam sơn (Toán chung)
Thời gian : 150 phút 
Bài
Nội dung 
Điểm
1a
1.0
Điều kiện : x > 0 
 y > 0 Đặt A1 = B : C 
0,25
Với B = 
Û B = 
0,5
Đặt C = Vì x > 0 và y > 0 
Û C = 
Û C = 
0,25
Vậy A = B : C = 
0,25
1b
0,5
Với xy = 16 vì x > 0 và y > 0 Û = 4 Û = 
Vậy A1 = Û A ³ 1
Û Min A1 = 1 . Dấu "=" sảy ra Û Û x = 4 và y = 4
0,25
0,25
2
1.00
Ta có : x = 
0,5
 Û x = 
0,25
Thay x = vào A ta có : A = ( 3. + 8. + 2)2006.
 Vậy A = 32006
0,25
3
1,5
 x2y + 2 = y2 (1) 
 xy2 + 2 = x2 (2) 
Lấy (1) trừ (2) vế với vế ta có : xy (x - y) + (x - y)(x + y) = 0
 Û (x - y) (xy + x + y) = 0 
 Û x = y
 xy + x + y = 0
0,5
Vậy TH1 : x = y Û x = y 
 xy2 + 2 = x2 x3 - x2 + 2 = 0 
Û ( x + 1)(x2 - 2x + 2) = 0 
 x = y 
Vậy x1 = y1 = -1 là nghiệm của hệ. 
0,5
TH2 : x2y + 2 = y2 
 xy + x + y = 0 (3) 
Từ (3) ta có : (x +1) y = -x Û y = ( Vì x ạ -1)
Thay vào (1) : x4 + x3 - x2 - 4x - 2 = 0 (4) 
Giả sử vế trái (4) phân tích được dưới dạng : 
 x4 + x3 - x2 - 4x - 2 = (x2 + ax + b) (x2 + cx + d) 
Û x4 + x3 - x2 - 4x - 2 = x4 + (a +c)x3 + (b + ac + d)x2 + (ad + bc)x + bd
 a = 2
Û b = 2
 c = -1 
 d = -1 
Û (x2 + 2x + 2)(x2 - x - 1) = 0 Û x2 = 1- và x3 = 1+ 
 Û y3 = và y4 = 
KL : Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm. 
0,5
4.1
0,5
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) là : 
 x2 = x + m Û x2 - x - m = 0 (*) 
0,25
Để (D) cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt : 
 Û D' > 0 Û m > - 
0,25
4.2
0,5
Đường thẳng (d) vuông góc với (D) có hệ số góc bằng - 1 , vậy (d) có phương trình là : y = - x + b (d) 
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là : x2 + x - b = 0 (**) 
0,25
Để (d) tiếp xúc với (P) thì phương trình (**) có nghiệm kép Û D = 0
 Û 1 + 4b = 0 Û b = - 
Vậy phương trình đường thẳng (d) là : y = - x - 
0,25
4.3a
0,75
Gọi A (xA; yA) và B (xB; yB) là giao điểm của (P) và (D).
Thiết lập công thức tính AB : 
Ta có : AB2 = (xA- xB)2 + (yA - yB)2 với yA = xA + m và yB = xB + m 
0,25
Û AB2 = 2[(xA + xB)2 - 4xAxB]
0,25
Vì xA, xB là hai nghiệm của phương trình (*) nên theo định lý Viét ta có : 
 xA + xB =1 
 xA. xB = m Thay vào AB2 = 2(1 + 4m).
0,25
4.3b
0,25
Với AB = 3 thì 2(1 + 4m) = 27 Û m = 
0,25
5a
1.0
 K
N
M
H
 BC2 = 4BM . CN A 
Û 4OB2 = 4BM . CN 
Û 
Ta cần chứng minh DOBM ~ DNOC B O C
Thật vậy : Vì B = C = 600 
Û MOC = 600 + MOB = 600 + NOC 
 Û MOC = NOC (ˆ) 
0,5
0,5
5b
1.0
Ta chứng minh DOMB ~ DNMO 
Ta có : OBM = MON = 600 
 (theo câu a) 
ị OMB = OMN 
Tơng tự chứng minh trên ta có : ONC = ONM 
0,25
0,25
0,5
4c
1.0
Kẻ OH, OK vuông góc với MN và AB. Do MO là tia phân giác của góc BMN ị OH = OK không đổi. Nếu gọi cạnh của tam giác ABC đều cạnh a thì đường cao AO = 
 ị OK = 
Vậy MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định tâm O và bán kính 
 OK = 
0,5
0,5
4d
1.0
SDOMN = MN. OH ị Diện tích của DOMN lớn nhất khi MN lớn nhất. Xét tam giác AMN có A = 600 .
ị Trong hai góc AMN và ANM chỉ nhiều nhất có 1 góc lớn hơn 600
Giả sử góc ANM lớn hơn 600 ị MN Ê AM Ê AK 
ị Max MN = AK. khi đó N º A và diện tích tam giác OMN lớn nhất khi nó bằng diện tích tam giác OAK. 
0,5
0,5
	Ghi chú: 	- Nếu học sinh không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình./.
	- Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.