Đề thi môn Toán - Kỳ thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn - Cao Đức Lực (Có đáp án)

Sở gd - đt Thanh Hoá 
đề thi vào lớp 10 chuyên lam sơn
môn: tin thời gian: 150'
Người ra đề: Cao Đức Lực
trường thpt sầm sơn
Đề bài:
Bài 1: (1 điểm) Cho biểu thức:
	P = 
Rút gọn biểu thức P và tìm x để 
Bài 2: (2 điểm) Giải các phương trình sau:
a)	
b)	(x2 + 3x + 2) (x2 + 7x + 12) = 3
Bài 3: (2 điểm) 
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
	P = 2 - 5x2 - y2 - 4xy + 2x
b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:
	xy + yz + zx = 2(x + y + z)
Bài 4: (3 điểm) Cho đường tròn (O) và dãy cung BC cố định. Gọi A là một điểm di động trên cung lớn BC của đường tròn (O) (A khác B và C). Tia phân giác của góc ACB cắt đường tròn (O) tại một điểm D (D ạ C). Lấy một I trên dây cung CD sao cho đoạn thẳng DI = DB. Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) ở một điểm K (K khác B).
a) Chứng minh tam giác KAC là tam giác cân.
b) Chứng minh đường thẳng AI luôn luôn đi qua một điểm J cố định trên đường tròn (O). Từ đó xác định vị trí của điểm A để độ dài đoạn AI lớn nhất.
c) Trên tia đối AB lấy một điểm M sao cho đoạn thẳng AM = AC. Tìm tập hợp các điểm M khi A di động trên cung lớn AB của đường tròn (O).
Bài 5: (2 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình 
b) Chứng minh bất đẳng thức:
Trong đó a, b, c là các số thực dương.
đáp án:
Bài 1: (1 điểm)
a) Rút gọn biểu thức:
Điều kiện: x > 0 và x ạ 1	0,25đ
	0,5đ	
b) 	, x > 0	0,25đ
Bài 2: (2 điểm) a) Giải phương trình (1)	1đ
Điều kiện: x ³ 5
Đặt (với x ³ t ³ 0)
Khi đó phương trình (1) ú 	0,25đ
* Nếu t x - 5 ³ 0 ú 
ú 
Hay 5 < t (vô lí) 0,25đ
* Nếu t > 5 ú 0 Ê x - t < x - 5
ú 
ú hay 5 > t vô lý	0,25đ
Vậy t = 5 do đó 
ú 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 30	0,25đ
b) Giải phương trình: (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) = 3 (1 điểm)
ú (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3	0,25đ
ú (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) = 3
ú (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) = 3 (*)	0,25đ
Đặt x2 + 5x + 4 = t
Khi đó phương trình (*) ú t(t + 2) = 3	0,25đ
ú t2 + 2t - 3 = 0 ú t1 = - 3, t2 = 1
Với t = 1 => x2 + 5x + 3 = 0
=> 
Với t = -3 => x2 + 5x + 7 = 0 => phương trình vô nghiệm.Vậy phương trình có 2 ngiệm 
Bài 3: a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
	P = 2 - 5x2 - y2 - 4xy + 2x	(1đ)
=>	P = 3 - (2x + y)2 - (x-1)2 3
dấu bằng xảy ra khi x = 1; y = -2
b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của PT:
xy + yz + yx = 2( x + y + z)	(2)	(1đ)
Xét 2 trờng hợp:
TH1: Nếu 3 số x,y,z đều không nhỏ hơn 2
Khi đó ta có: xy + yz + zx x2 + y2 + z2 > 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z =2	(0,25đ)
TH2: Tồn tại ít nhất 1 số nhỏ hơn 2 chẳng hạn: z = 1
(Khi cho x = 1; hoặc y = 1 ta có các nghiệm khác nhau)
Lúc đó PT (1) trở thành xy = 2x + y + 1 
*Nếu có ít nhất 1 số nhỏ hơn 4:
Với y = 2 thì x = 3 và x= 3 thì y = 2
Với y = 3 thì x = 2 và x = 2 thì y = 3	(0,25đ)
*Nếu cả 2 số x, y đều không nhỏ hơn 4:
Từ (x - 4)(y - 4) xy 2x + 2y + 2(x + y -8)
	 2x + y + 1	(3)
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng: xy xy	(4)
Thì từ (3) và (4) => xy > 2x + y + 1 nghĩa là PT (2) vô nghiệm 
với x4; y4
Với y = 4 thì từ x4 = x.x3 > 4x nên (4) đúng.
Giả sử (4) đúng với y = k 4
Ta có xk+1 = x xk > x.xk x.4k = x(k+3k) > x(k+1)
Nghĩa là (4) đúng với k + 1. 
Vậy theo quy nạp (4) đúng với mọi x 4; y4 	 (0,25đ)
Tóm lại phương trình (2) có nghiệm (x,y,z) là:
(2,2,2); (1,2,3); (1,3,2); (2,1,3);(2,3,1); (3,1,2); (3,2,1)	(0,25đ)
Bài 4: (3đ) 
a) (1đ) Ta có sđ DBK = 1/2 sđ(DA + AK)
sđ DIB = 1/2 sđ(BD + KC) 
mà sđ BD = sđ DA và DBI cân tại D	(0,5đ)
nên sđ AK = sđ KC => AK=CK hay KAC cân tại K 	(0,5đ)
b) Từ câu a ta thấy I là tâm đường tròn nội tiếp ABC (vì I là giao điểm 2 đường phân giác BK và CD). Nên đường thẳng AI luôn đi qua trung điểm J của cung BC (không chứa A).
Nhận xét rằng JIC = JCI nên JIC cân tại J
=> IJ = JC (không đổi)	(0,5đ)
Do đó độ dài AI lớn nhất AJ lớn nhất AJ là đường kính của đường tròn (O). Hay A là điểm chính giữa của cung lớn BC.	(0,5đ)
c) Phần thuận:
Theo gt AMC là cân tại A 
=> BMC = 1/2 BAC giả sử sđ BAC = 2 (không đổi)
Thì khi đó A di động tâm cung lớn BC với đường tròn (O) cắt cung chứa góc dựng trên đoạn BC về phía điểm O. 0,5đ
Phần đảo: 
Tiếp tuyến Bx với đường tròn (O) cắt cung chứa góc dựng trên BC tại X.
Lấy điểm M bất kì trên cung CX là một phần của cung chứa góc dựng trên đoạn BC (M X; M C)
Nối MB cắt (O) tại A. Thì A thuộc cung lớn BC
Khi đó vì BAC = 2 => ACM = 
=> ACM cân tại A hay AC = AM
Kết luận: Quỹ tích điểm M là cung CX đó là một phần cung chứa góc dựng trên đoạn BC cố định về phía điểm O không kể 2 điểm X và C.	(0,5đ)
. O
. C
K
J
B
D
. X
x
M
Bài 5: a) Tìm nghiệm nguyên của hệ PT:	(1đ)
x2 - 2y2 + xy + 2x - 2y + 7 = 0 (1)
	x3 + y3 + x - y - 8 = 0	(2)
=> 	
Từ (1') do x, y nguyên nên ta có các trờng hợp:
TH1: x - y = - 1 => x + 2y + 2 = 7
=> x = 1 và y = 2 (thoả mãn (2))	(0,5đ)
TH2: x - y = 1 => x + 2y + 2 = -7 
=> x + 2y = -9 => y không nguyên
TH3: x - y = -7 => x + 2y + 2 = 1 => (x,y) = (-5,2) không thoả mãn
TH4: x - y = 7 => x + 2y + 2 = -1 => x + 2y = -3 => y không nguyên.
Tóm lại hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x,y) = (1,2) (0,5 đ)
b) Chứng minh BĐT:
³
Gọi vế trái của BĐT là A thì ta có:
 (0,5đ)
áp dụng BĐT x2 + y2 2xy ta có: 
áp dụng BĐT cô Si cho 3 số trong dấu ngoặc đơn. Ta có:
A 2 + 2 + 2 - = 
ĐT xảy ra a = b = c 	(0,5đ)