Đề thi học sinh năng khiếu Toán Lớp 8 - Năm học 2009-2010 - Phòng GD & ĐT Thanh Ba

Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba
đề thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 8
năm học 2009 – 2010
(Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2điểm)
Cho biểu thức 
a) Rút gọn A
b)Tìm A với x = 2010
c)Tìm x để A < 0
Bài 2. (2điểm)
a) Chứng minh hằng đẳng thức
b) Chứng minh rằng a2+b2+c2 ab+bc+ac với mọi a;b;c
Bài 3. (2điểm)
Chứng minh (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) +y4 là số chính phương với mọi số nguyên x;y
b) Cho a,b,c thỏa mãn 
 Chứng minh rằng có một số bằng 2010
Bài 4. (3 điểm) 
	Cho tam giác ABC. Lấy một điểm O bất kì trong tam giác. Các đường thẳng OA;OB;OC cắt BC;CA;AB tại M;N;P. Chứng minh rằng:
 a) 
 b) Tổng không phụ thuộc vị trí điểm O
Bài 5. (1điểm)
	Giải phương trình sau: 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba
Hướng dẫn chấm thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 8
năm học 2009 – 2010
Bài 1. (2điểm)
Cho 
a)Rút gọn A
b)Tìm A với x =2010
c)Tìm x để A < 0
ĐKXĐ x0; -1; 
=
= 
b) giá trị của A = 
c) A < 0 < 0 x < 1
0,25đ
0,75đ
0,5đ
0,5đ
Bài 2.(2điểm)
Chứng minh hằng đẳng thức
biến đổi vế phải nhân phá ngoặc, rút gọn cho kết quả bằng vế trái
 b) Chứng minh rằng a2+b2+c2 ab+bc+ac với mọi a;b;c
chuyển vế nhân hai vế với 2 ta được 2a2+2b2+2c2 -2ab-2bc-2ac 0
 (a-b)2+ (b-c)2+(c-a)2 0 ( luôn đúng)
dấu bằng xảy ra khi a=b=c
1đ
0,75đ
0,25đ
Bài 3.(2điểm)
Chứng minh A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4 là số chính phương với mọi số nguyên x;y
Nhân phá ngoặc được A= (x2+5xy+4y2)( x2+5xy+6y2) +y4
đặt x2+5xy+5y2= m => A= (m-y2)(m+y2)+y4 = m2= (x2+5xy+5y2)2
vậy A luôn chính phương với mọi số nguyên x;y
Cho a,b,c thỏa mãn 
Chứng minh rằng có một số bằng 2010
Biến đổi 
Thành => (ab+bc+ac)(a+b+c)=abc
a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2+2abc =0
 (a+b)(b+c)(c+a) =0
xét các trường hợp
nếu a+b =0 => c=2010
tương tự với các trường hợp còn lại
0,5Đ
0,5Đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
Bài 4.(2điểm) 
Cho tam giác ABC. Lấy một điểm O bất kì trong tam giác. Các đường thẳng OA;OB;OC cắt BC;CA;AB tại M;N;P. Chứng minh rằng:
 a) 
 b) Tổng không phụ thuộc vị trí điểm O
a) vẽ qua A đường thẳng song song với BC cắt BN; CP tại H;I
ấp dụng định lí Ta lét
thay vào ta có
 b)
Kẻ OD; OE song song với AB; AC
Ta có ; do tam giác ODE đồng dạng với tam giác ABC nên 
Thay vào hệ thức được 
0,5đ
1đ
0,5đ
 0,5đ
 0,5đ
Bài 5.(1điểm) Giải phương trình sau: 
Nhận thấy: y=3 hoặc y=4 là nghiệm của phương trình
- Nếu y 1 => Phương trình vô nghiệm
- Nếu 3 < y < 4 thì 0 < < 1 và 0 < < 1
Do đó < = y – 3 và < = 4-y
Suy ra < y – 3 + 4 – y =1 phương trình vô nghiệm
- Nếu y > 4 thì = y – 3 > 1 Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm y = 3 hoặc y = 4 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Lưu ý:
- Trên đây chỉ là một phương án nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa
-Trong quá trình chấm giám khảo có thể chia nhỏ thang điểm cho phù hợp với bài làm của học sinh.