Đề thi học sinh giỏi vòng huyện Toán Lớp 8 - Năm học 2010-2011 - Phòng GD & ĐT Huyện Giồng Riềng

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
 HUYỆN GIỒNG RIỀNG VÒNG HUYỆN NĂM HỌC 2010 – 2011
 = = = 0o0 = = = Môn: TOÁN - lớp 8 , thời gian: 150 phút
 (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (6 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ x4 + 64
b/ x3 – 19x – 30 
c/ x5 + x – 1 
Bài 2: (4 điểm) Thực hiện các phép tính rút gọn biểu thức:
a/ M = (a + b + c)2 + (a – b – c )2 + (b – c – a)2 + (c – a – b )2 
b/ 
Bài 3: (4 điểm) Cho a + b > 1. Chứng minh rằng a4 + b4 > 
Bài 4: (4,5 điểm) Cho hình thang vuông ABCD có . Qua điểm E thuộc cạnh AB, kẻ đường vuông góc với DE, cắt BC tại F. 
a/ Chứng minh: Tam giác BCD vuông cân
b/ Chứng minh: ED = EF
Bài 5: (1,5 điểm) Có 45 học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh được điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (giả thiết điểm kiểm tra là số tự nhiên từ 0 đến 10)
---HẾT---
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN LỚP 8
Bài 1: (6 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ x4 + 64
= x4 + 16x2 + 64 – 16x2 	(0,5 đ)
= (x2 + 8)2 – (4x)2 	(0,5 đ)
= (x2 + 4x + 8)(x2 – 4x + 8) 	(0,5 đ)
b/ x3 – 19x – 30 
= x3 – 9x – 10x – 30 	(0,5 đ)
= x(x – 3)(x + 3) – 10(x + 3) 	(0,5 đ)
= (x + 3)(x2 + 3x – 10) 	(0,5 đ)
= (x + 3)[(x2 – 2x) + (5x – 10)]
= (x + 3)[x(x – 2) + 5(x – 2)] 	(0,5 đ)
= (x + 3)(x – 2)(x + 5) 	(0,5 đ)
c/ x5 + x – 1 
= x5 + x2 – x2 + x – 1 	(0,5 đ)
= x2(x3 + 1) – (x2 – x + 1) 	(0,5 đ)
= x2(x + 1)( x2 – x + 1) – (x2 – x + 1) 	(0,5 đ)
= (x2 – x + 1)(x3 + x2 – 1) 	(0,5 đ)
Bài 2: (4 điểm) Thực hiện các phép tính rút gọn biểu thức:
a/ M = (a + b + c)2 + (a – b – c )2 + (b – c – a)2 + (c – a – b )2 
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac (0,5 đ)
(a – b – c )2 = a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ac (0,5 đ)
(b – c – a)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc + 2ac (0,5 đ)
(c – a – b )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2bc – 2ac (0,5 đ)
 M = 4a2 + 4b2 + 4c2 (0,5 đ)
b/ 
đặt x = 1234 ta có: N = (1,5 đ)
Bài 3: (4 điểm) Cho a + b > 1. Chứng minh rằng a4 + b4 > 
Ta có a + b > 1 > 0
 (a + b)2 > 1 a2 + 2ab + b2 > 1 (1) 	(0,5 đ)
Mà: (a – b)2 > 0 a2 - 2ab + b2 > 0 (2) 	(0,5 đ)
Cộng (1) và (2) ta có : 2(a2 + b2) > 1	(0,5 đ)
 a2 + b2 > 	(0,5 đ)
 a4 + 2a2b2 + b4 > (3) 	(0,5 đ)
Mặc khác: (a2 – b2)2 > 0 a4 - 2a2b2 + b4 > 0 (4) 	(0,5 đ)
Cộng (3) và (4) ta được: 2(a4 + b4) >	(0,5 đ)
 a4 + b4 > đpcm	(0,5 đ)
Bài 4: (4,5 điểm) 
-Hình vẽ: 	(0,25 đ)
a/ Chứng minh: BCD vuông cân
Kẻ BH DC ABHD là hình vuông	(0,25 đ)
 AB = DH = BH = AD = 	(0,25 đ)
DH = HC = BH = 	(0,25 đ)
BCD vuông cân tại B	(0,25 đ)
b/ Từ a/ 	(0,25 đ)
Gọi M là trung điểm của DF
Xét EDF () có EM là trung tuyến 	(0,25 đ)
MBE cân tại M 	(0,5 đ)
Xét BDF () có BM là trung tuyến 	(0,25 đ)
MBF cân tại M 	(0,5 đ)
Xét tứ giác MEBF có :
	(0,5 đ)
	(0,5 đ)
Vậy trong EDF có EM là đường cao cũng là trung tuyến, 
nênEDF cân tại E hay ED = EF	(0,5 đ)
Bài 5: (1,5 điểm) 
Theo đề bài có 45 – 2 = 43 học sinh phân chia vào 8 loại điểm từ 2 đến 9(0,5 đ)
Giả sử mỗi loại trong 8 loại điểm đều là điểm của không quá 5 học sinh thì lớp học có không quá 5.8 = 40 học sinh, ít hơn 43 học sinh. 	 (0,5 đ)
Vậy tồn tại 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau. 	 (0,5 đ)