Đề thi học sinh giỏi trường Toán Lớp 8 - Năm học 2010-2011

§Ò thi HSG Tr­êng N¨m häc 2010-2011
M«n To¸n 8 
thêi gian 90 phót.
Bài 1: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
 a. Phân tích biểu thức A thành nhân tử.
 b. Chứng minh: Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì 
 A < 0.
Bài 2:
 a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
 A = x2– 2xy + 2y2 - 4y + 2015
 b. Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a> b > 0
TÝnh: 
Bài 3:Cho M = : 
 a. T×m §KX§ cña M 
 b. Rút gọn M
 c.T×m x nguyªn ®Ó M ®¹t gi¸ lín nhÊt.
Bµi 4 : 
 Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Trªn c¹nh BC lÊy M bÊt k× sao cho BM < CM. Tõ M vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t AB t¹i E vµ song song víi AB c¾t AC t¹i F. Gäi N lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua E F.
a) Tø gi¸c AEMF lµ h×nh g×? v× sao?
Chøng minh : AFEN lµ h×nh thang c©n?
M ë vÞ trÝ nµo ®Ó tø gi¸c AEMF lµ h×nh thoi? V× sao? 
d) TÝnh : ANB + ACB = ?
Hdc ®Ò thi HSG Tr­êng M«n To¸n 8 
Bài 1: (5đ)
 a). A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 + 2bc) 
 = = (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a) (3đ)
 b). Ta có: (b+c –a ) >0 ( BĐT trong tam giác) 
 T­¬ng tù: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) 0 Vậy A< 0 (2đ)
Bài 2: (4đ)
 a). A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + 4 + 2011 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2011 2011
Dấu ''='' x¶y ra x – y = 0 và y – 2 = 0 x = y = 2.
Vậy GTNN của A là 2011 t¹i x = y =2 (3đ)
 b). Tõ 4a2 + b2 = 5ab ta cã (a-b)(4a-b) = 0 v× 2a> b > 0 => 4a>b>0 => a=b => P = . (1®)
Bài 3: (4đ)
 a) ĐKXĐ: x0, x2; x-2 (1đ)
 b) M = : = = (2đ)
 c). NÕu x 2 th× M 0 nªn M kh«ng ®¹t GTLN.
 VËy x 2, khi ®ã M cã c¶ Tö vµ MÉu ®Òu lµ sè d­¬ng, nªn M muèn ®¹t GTLN th× MÉu lµ (2 – x) ph¶i lµ GTNN, Mµ (2 – x) lµ sè nguyªn d­¬ng 2 – x = 1 x = 1.
 VËy ®Ó M ®¹t GTLN th× gi¸ trÞ nguyªn cña x lµ: 1. (1®)
Bµi 4 : (7®)
Tø gi¸c AEMF lµ h×nh b×nh hµnh v× cã c¸c c¹nh ®èi song song. (2®)
Gäi EF c¾t MA vµ MN t¹i O vµ K=> OK//AN (®tb) 
MÆt kh¸c AE=NF (cïng b»ng MF) => AFEN lµ h×nh thang c©n. (2®)
Tø gi¸c AEMF ®· lµ h×nh b×nh hµnh, nã sÏ trë thµnh h×nh thoi khi cã AM lµ ph©n gi¸c gãc BAC=> khi ®ã M lµ giao ph©n gi¸c gãc BAC víi c¹nh BC (HS cã thÓ t×m ra M lµ trung ®iÓm BC v× ABC c©n) (2®)
Ta cã EN=EB (cïng b»ng EM)
 => ENB =EBN
Mµ ENA+C =NAC+ABC (T/c tam gi¸c c©n vµ h×nh thang c©n) 
Céng vÕ theo vÕ hai ®¼ng thøc trªn => tø gi¸c ANBC tæng hai gãc ®èi nµy b»ng tæng hai gãc ®èi kia nªn : ANB + ACB = 1800 (1®)