Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2010-2011 - Trường THCS Cần Kiệm

 Trường THCS Cần Kiệm
Đề Thi học sinh giỏi toán 8 tháng 3 năm 2011
Thời gian làm bài 120 phút.
Bài 1( 4 điểm): Cho biểu thức:
 A = 
 	 a. Rút gọn A.
	b. Tìm x là số nguyên để giá trị của A là số nguyên.
Bài 2 ( 2,5 điểm): 
 Chứng minh rằng nếu x,y,z là các số thực thỏa mãn x +y + z = 2011
 	Và 
 thì trong ba số x, y, z có ít nhất một số bằng 2011.
Bài 3 ( 4 điểm ): Giải các phương trình sau:
Bài 4 ( 3,5 điểm): Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:
	Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì hoàn thành công việc đó trong 24 ngày.Nếu đội thứ nhất làm 10 ngày, đội thứ hai làm 15 ngày thì cả hai đội làm được một nửa công việc. Tính thời gian mỗi đội làm một mình để xong công việc đó.
Bài 5 ( 6 điểm): Hình học.
	Cho hình bình hành ABCD có AD = 2 AB.Từ AI vuông góc với CD 
( I thuộc cạnh Cd và I khác điểm C và D).Gọi E là trung điểm của BC; IE cắt AD tại G. Từ E kẻ EH vuông góc với AI, EH cắt AD tại F . Chứng minh:
	a/ Tứ giác EFDC là hình gì?
	b/ Tam giác EAI là tam giác cân.
 	c/ Chứng minh : CI.FG = EF2 ; 
Hết
Trường THCS Cần Kiệm 
Đáp án toán 8 thi ngày 29 tháng 3 năm 2011
Bài 1( 4 điểm): Cho biểu thức:
 A = 
 	 a. Rút gọn A.( 2,5 điểm)
 ĐK XĐ cho 0,25 điểm
- Phân tích được mỗi mẫu cho 0,25 điểm
- Quy đồng và viết mỗi thừa số thành 1 phân thức cho 0,75 điểm
- thực hiện phân tích tử mẫu và rút gọn cho kết quả cho 0,5 điểm
 A = 
	b. Tìm x là số nguyên để giá trị của A là số nguyên.( 1,5 Đ)
ĐK XĐ và x là số nguyên cho 0,25 điểm gọi giá trị nguyên của A là y ta có:
 cho 0,25 điểm.
Biến đổi được 2xy = x + 1
 ú x( 2y – 1) = 1 cho 0,25 điểm
Với x, y là số nguyên => 2 trường hợp giải mỗi trường hợp cho 0,25 điểm.
KL x = cho 0,25 điểm
	Bài 2: ( 2,5 đ)
Thây 2011 = x + y + z vào được
 cho 0,25 điểm.
Quy đồng biển đổi được cho 0,5 đ
Khai triển và biến đổi tiếp đưa được về
cho 1 điểm
x + y = 0 ; y + z = 0 Hoặc x + z = 0 kết hợp với x + y + z = 2011 suy ra z = 2011 ; x = 2011 hoặc y = 2011 cho 0,75 điểm.
Bài 3 Giải phương trình ( 4 điểm)
 bớt mỗi vế 3 đơn vị biến đổi thành cho 0,75 điểm.
Biến đổi tiếp cho cho 0,5 đ
 do nên x – 41 = 0 => x = 41 cho 0,5 đ
 kl x = , cho 0,25 điểm
Đặt x2 + x + 1 = y . đK y ta được y(y + 1) = 12 cho 0,75 điểm 
 ( có thể bỏ qua đk cho phần này 0,5 đ)
Biến đổi giải phương trình ẩn y cho y = 3; y =-4 cho 0,5 điểm
Giải phương trình x2 + x + 1 = 3 cho x = 1; x = -2 cho 0,5đ
Nếu không nêu Đk mà giải x2 + x + 1 = -4 vô nghiệm Cho 0,25 điểm
( nếu y = -4 loại thì phần này không cho điểm vì đã cho ở ĐK rồi)
KL cho 0,25 đ
Bài 4 Giải bài toán bằng cách lập phương trình ( 3,5 điểm)
chọn ẩn - Đk cho 0,5 đ chẳng hạn chọn thời gian đội 1 làm một mình xong công việc là x ngày 
tính được phần việc đội 1 làm 10 ngày; đội hai lảm 15 ngày cho mỗi ý 0,5 đ
nêu được phương trình cho 0,5 đ
giải được pt cho x = 40 cho 1 điểm.
Trả lời:
X = 40 thỏa mãn đk vậy đội 1 . Còn đội hai làm một mình hết thời gian là ngày.
Bài 5 Hình học : 
Vẽ hình đúng đến câu a cho 0,5 điểm.
( 1, 5 điểm)– Chứng minh được tứ giác EFDC là hình bình hành cho 1 điểm.
- chứng minh tiếp 2 cạnh kề bằng nhau => hình thoi cho 0,5 điểm.
 b. ( 1 điểm).
 - chứng minh được EH là trung tuyến của tam giấc AIE cho 0,5 điểm
 - nêu được EH là đường cao cho 0,25 đ,
 Kết luận AIE là tam giác cân cho 0,25 điểm.
 c.
	+ ( 1,5 điểm)
chứng minh được ( 1) cho 0,5 điểm.
chứng minh được ( 2) cho 0,5 điểm.
Từ (1) và (2) => IC.FG = EF2 cho 0,5 điểm
 + ( 1,5 điểm)
 - chứng minh được ( 3) cho 0,5 điểm.
chứng minh được ( 4) cho 0,5 điểm.
Từ (3) và(4) => cho 0,5 điểm.
Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5 học sinh làm cách khác đúng cho điểm tương đương.