Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Hoàng Thị Phúc

TRƯỜNG THCS MỄ SỞ
Đề thi HSG
Môn: Toán 8
Thời gian : 120 phút 
Người ra đề: Hoàng Thị Phúc
I. Trắc nghiệm (Khoanh tròn vào đáp án đúng)
Câu 1 Gỉa thiết của bài toán được cho trong hình vẽ bên. 
a/ O
b/êAOB ~ êCOD ~êEOF A B
600
c/ C D
d/	 E F
Câu 2 
êABC và êDEF có và êABC ~ êDEF
êABC và êDEF có và êABC ~ êDEF
êABC và êDEF có và êABC ~ êDEF
êABC và êDEF có và êABC ~ êDEF
Câu 3 
Nếu hai tam giác EFH và GKL có và thì:
a/ b/
c/ d/
Câu 4 
Cho êMNP ~ êEFH theo tỉ số k, MM’; EE’ lần lượt là hai trung tuyến của êMNP và êEFH ta chứng minh được:
a/ b/ c/ d/ 
Câu 5	: Cho x > 0 thì
A, 
B, 
C, 
D, 
Câu 6: Cho Q=|-2004.x| + 2003.x khi x<0 thì:
A, Q= x
B, Q= -4007 x
C, Q= 4006 x
D, Q= -2
Câu 7: Với giá trị nào của a thì phân thức nhận giá trị không âm.
A, a<1
B, a>1
C, 
D, 
Câu 8: Với a, b, c mà c>0, thì 
A, 
B, ac < bc
C, 
D, ac = bc
II. Tự luận
Bài 1: Phân tích các đa thưc sau thành nhân tử:
 a) (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3
 b) x(y2-z2)+y(z2-x2)+z(x2-y2)
Bài 2: So sánh các cặp số sau:
 1. A= 1999. 2001 và B= 20002
 2. C=3n+1 +4.2n-1-81.3n-3-8.2n-2+1 và D = (2n+1)2+(2n-1)2 -2(4n+1)
 ( Với n nguyên dương.)
Bài 3: Cho x2=a2+b2 +ab và a+b=c. Chứng minh rằng:
 2x4 =a4+b4+c4
Bài 4: Cho x, y là 2 số khác nhau thoả mản x2+y = y2+x
 Tính giá trị của biểu thức sau:
 A = 
 Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
 1. A = x2+5y2- 2xy+4y+3
 2. B = (x2-2x) (x2-2x+2)
Bài 6: Cho hình bình ABCD. Một đường thẳng l cắt AB ở E, cắt AD ở F và cắt đường chéo AC ở G. Chứng minh rằng: + = .
ĐÁP ÁN
I. Trắc nghiệm
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
C
C
A
D
B
A
II: Tự Luận
Câu 1
 a) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3
 =(x - y + y - z)[(x - y)2 -(x - y)(y - z) + (y - z)2] + (z - x)3
 =(x - z)[(x - y)2 - (x - y)(y - z) + (y - z)2 - (z - x)2]
 =(x - z)[(x - y)(x - y - y + z) + (y - z + z - x)(y - z - z + x)]
 =(x - z)(x - y)(x - 2y + z - y + 2z - x)
 =3(x - z)(x - y)(z - y)
 b) x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2)
 = x(y2 - x2 + x2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2)
 = x(y2 - x2) + x(x2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2)
 = (x2 - y2)(z - x) + (x2 - z2)(x - y)
 =(x - y)(z - x)(x + y - x - z)
 =(x - y)(z - x)(y - z)
Câu 2
 1. A=1999.2001=(2000-1) (2000+1)=20002-1<20002
 A<B
 2. C=3n+1+ 22. 2n-1- 34. 3n-3 - 23. 2n-2 +1
 C=3n+1+ 2n+1 - 3n+1 - 2n+1 + 1 = 1
 D=(2n)2 +2.2n + 1 +(2n)2 - 2.2n + 1 - 2.(22)n - 2 
 =22n + 2n+1 + 1 + 22n - 2n+1 + 1 -2.22n - 2
 = 2.22 n - 2.22n = 0
 C > D
Câu 3
 Ta có: x2 =a2+b2+ab
 x4=a4 +b4 +a2b2 +2a2b2+2a3b+2ab3
 x4 =a4+b4+a2b2 +2ab(a2+b2+ab)
 =a4+b4+a2b2+2abx2 (1)
 Mà c=a+b c2=a2+2ab+b2 c2=x2 +ab
c4=x4 +2abx2+a2b2 (2)
Từ (1) và (2)2x4=x4+a4 +b4+2abx2+a2b2
2x4=a4+b4+c4 (đpcm).
Câu 4
 Ta có: x2+y = y2+x x2-y2+y-x = 0 
 (x-y)[(x+y)-1] = 0
 Vì xy nên x+y-1 = 0x+y = 1
Từ đó ta có: A = = = = -1
Vậy A= -1
Câu 5
 1. A= x2 - 2xy + y2 + 4y2 + 4y + 1 + 2
 = (x-y)2 + (2y+1)2 + 2
 Vì (x-y)2 0, (2y+1)2 0 với mọi x, y
A2. Đẳng thức xảy ra x-y =0 x = y
 2y+1=0 y= 
 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 x = y = 
 2. B = (x2-2x)(x2-2x + 2)
 Đặt t = x2 - 2x B = t(t +2) = (t+1)2 -1-1
 Đẳng thức xảy ra t+1 =0 x2 -2x +1 = 0(x-1)2 = 0
 Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -1x = 1
 Câu 6
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo
 AC và BD. Kẻ BM//EF và DN //EF 
với M,N trên AC
 Xét tam giác ABM có EG // BM nên
 = (1)
Xét tam giác ADN có FG // DN nên
 = (2)
 Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có
 += (3)
 Mặt khác:ABM=CDN(g.c.g)
 Suy ra AN =NC (4) . Thay (4) vào (3) ta được:
 += = (đpcm)