Đề thi học sinh giỏi Toán Khối 8 (Bản đẹp)

đề số 1 
Câu 1:
Cho x = ; y = 
Tính giá trị P = x + y + xy
Câu 2:
Giải phương trình:
a, = ++ (x là ẩn số)
b, + + = 0
(a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Câu 3:
Xác định các số a, b biết:
 = +
Câu 4:
Chứng minh phương trình:
2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên.
Câu 5:
Cho ABC; AB = 3AC
Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C
Đề số 2 
Câu 1:
Cho a,b,c thoả mãn: = = 
Tính giá trị M = (1 +)(1 +)(1 + )
Câu 2: 
Xác định a, b để f(x) = 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x +2 
Chia hết cho y(x) = x2 – x + b
Câu 3: 
Giải PT:
a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680.
b, 4x2 + 4y – 4xy +5y2 + 1 = 0 
Câu 4:
Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có 3 chữ số mà mẫu là tổng các chữ số của nó.
Câu 5:
Cho ABC cân tại A, trên AB lấy D, trên AC lấy E sao cho:
AD = EC = DE = CB.
a, Nếu AB> 2BC. Tính góc của 
b, Nếu AB < BC. Tính góc của .
	----------------------- hết ----------------------
đề số 3 
Câu 1:
Phân tích thành nhân tử:
a, a3 + b3 + c3 – 3abc
b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3
Câu 2:
Cho A = : 
a, Rút gọn A
b, Tìm A khi x= -
c, Tìm x để 2A = 1
Câu 3:
a, Cho x+y+z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x2 + y2 + z2
b, Tìm giá trị lớn nhất của P = 
Câu 4:
a, Cho a,b,c > 0, CMR: 
1 < ++< 2
b, Cho x,y 0 CMR:
+ +
Câu 5:
Cho đều có độ dài cạnh là a, kéo dài BC một đoạn CM =a
a, Tính số đo các góc 
b, CMR: AM AB
c, Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a. CMR đều.
đề số 4 
Câu 1:
Phân tích thành nhân tử:
a, a8 + a4 +1
b, a10 + a5 +1
Câu 2:
a, Cho a+b+c = 0, Tính giá trị của biểu thức:
A = + + 
b, Cho biểu thức: M = 
+ Rút gọn M
+ Tìm x Z để M đạt giá trị nguyên.
Câu 3:
a, Cho abc = 1 và a3 > 36, 
CMR: + b2 + c2 > ab + bc + ca
b, CMR: a2 + b2 +1 ab + a + b
Câu 4:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x2 + 2xy + y2 - 2x + 2y +1
b, Cho a+b+c= 1, Tìm giá trị nhỏ nhất
P = a3 + b3 + c3 + a2(b+c) + b2(c+a) + c2(a+b)
Câu 5:
a, Tìm x,y,x Z biết: x2 + 2y2 + z2 - 2xy – 2y + 2z +2 = 0
b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 6x + 15y + 10z = 3
Câu 6:
Cho . H là trực tâm, đường thẳng vuông góc với AB tại B, với AC tại C cắt nhau tại D.
a, CMR: Tứ giác BDCH là hình bình hành.
b, Nhận xét mối quan hệ giữa góc và của tứ giác ABDC.
Đề số 5 
Câu 1:
Phân tích thành nhân tử:
a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2
b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1
Câu 2:
a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14.
Tính giá trị của A = a4+ b4+ c4
b, Cho a, b, c 0. Tính giá trị của D = x2003 + y2003 + z2003
Biết x,y,z thoả mãn: = ++
Câu 3: 
a, Cho a,b > 0, CMR: + 
b, Cho a,b,c,d > 0
CMR: +++ 0
Câu 4: 
a, Tìm giá trị lớn nhất: E = với x,y > 0
b, Tìm giá trị lớn nhất: M = với x > 0
Câu 5: 
a, Tìm nghiệm Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y
b, Tìm nghiệm Z của PT: x2 + x + 6 = y2
Câu 6: 
Cho M là một điểm miền trong của . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D.
a, CMR: AB’A’B là hình bình hành.
b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’
Đề số 6 
Câu 1:
Cho = và = 
Tính giá trị của biểu thức A = 
Câu 2: 
Cho x2 – x = 3, Tính giá trị của biểu thức
M = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 2
Câu 3:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x(x+1)(x+2)(x+3)
b, Cho x,y > 0 và x + y = 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của N = +
Câu 4: 
a, Cho 0 a, b, c 1
CMR: a2 + b2 + c2 1+ a2b + b2c + c2a
b, Cho 0 <a0 <a1 < ... < a1997
CMR: < 3
Câu 5:
a,Tìm a để PT = 5 – a có nghiệm Z+
b, Tìm nghiệm nguyên dương của PT: 
++ =
Câu 6:
Cho hình vuông ABCD, trên CD lấy M, nối M với A. Kẻ phân giác góc cắt BC tại P, kẻ phân giác góc cắt CD tại Q
CMR PQ AM
đề số 7 
Câu 1:
Cho a, b, c khác nhau thoả mãn:
 + + = 1
Thì hai phân thức có giá trị là 1 và 1 phân thức có giá trị là -1.
Câu 2:
Cho x, y, z > 0 và xyz = 1
Tìm giá trị lớn nhất A = ++
Câu 3:
Cho M = a5 – 5a3 +4a với aZ
a, Phân tích M thành nhân tử.
b, CMR: M120 aZ
Câu 4: 
Cho N1, n N
a, CMR: 1+ 2+ 3+....+n = 
b, CMR: 12 +22 + 32 +......+n2 = 
Câu 5:
Tìm nghiệm nguyên của PT:
x2 = y(y+1)(y+2)(y+3)
Câu 6:
Giải BPT: > - 1
Câu 7:
Cho 0 a, b, c 2 và a+b+c = 3
CMR: a2 + b2 + c2 5
Câu 8: 
Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài BC gấp 2 lần chiều rộng CD, từ C kẻ Cx tạo với CD một góc 150 cắt AD tại E
CMR: cân.
đề số 8 
Câu 1:
Cho A = 
a, Rút gọn A
b, Nếu nZ thì A là phân số tối giản.
Câu 2:
Cho x, y > 0 và x+y = 1
Tìm giá trị lớn nhất của P = (1 - )(1 - )
Câu 3: 
a, Cho a, b ,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
CMR: a2 + b2 + c2 < 2(ab+bc+ca)
b, Cho 0 a, b , c 1
CMR: a + b2 +c3 – ab – bc – ca 1
Câu 4: 
Tìm x, y, z biết:
x+y–z = y+z-x = z+x-y = xyz
Câu 5: 
Cho nZ và n 1
CMR: 13 + 23 +33 +......+n3 = 
Câu 6: 
Giải bất phương trình:
(x-1)(3x+2) > 3x(x+2) + 5
Câu 7:
Chia tập N thành các nhóm: 1; (2,3); (4,5,6)....., nhóm n gồm n số hạng. Tính tổng các số trong nhóm 94.
Câu 8:
Cho hình vuông ABCD. M, N là trung điểm AB, BC, K là giao điểm của CM và DN
CMR: AK = BC
đề số 9 
Câu 1:
Cho M = + + ; N = + +
a, CMR: Nếu M = 1 thì N = 0
b, Nếu N = 0 thì có nhất thiết M = 1 không?
Câu 2: 
Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 2
CMR: + + 1
Câu 3:
Cho x, y, z 0 và x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998
Tìm giá trị lớn nhất của M = x + y + z
Câu 4:
a, Tìm các số nguyên x để x2 – 2x -14 là số chính phương.
b, Tìm các số sao cho là số nguyên tố
Câu 5:
Cho a, b, c, d là các sô nguyên dương
CMR: A = + + + không phải là số nguyên.
Câu 6: 
Cho cân (AB=AC) trên AB lấy điểm M, trên phần kéo dài của AC về phía C lấy điểm N sao cho: BM = CN, vẽ hình bình hành BMNP
CMR: BC PC
Câu 7: 
Cho x, y thoả mãn: 2x2 + + = 4 (x0)
Tìm x, y để xy đạt giá trị nhỏ nhất
đề số 10 
Câu 1: 
Cho a, b, c > 0 và 
P = ++
Q = + + 
a, CMR: P = Q
b, CMR: P 
Câu 2:
Cho a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = 1
CMR: abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ca) 0
Câu 3:
CMR x, yZ thì:
A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phương.
Câu 4:
a, Tìm số tự nhiên m, n sao cho: m2 + n2 = m + n + 8
b, Tìm số nguyên nghiệm đúng: 4x2y = (x2+1)(x2+y2)
Câu 5:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = 
Câu 6:
Cho x = ; y = 
Tính giá trị: M = 
Câu 7: 
Giải BPT: (x là ẩn số)
Câu 8:
Cho , trên BC lấy M, N sao cho BM = MN = NC. Gọi D, E là trung điểm của AC, AB, P là giao của AM và BD. Gọi Q là giao của AN và CE.
Tính PQ theo BC
Đề số 11 
Câu 1: 
Cho x = ; y = ; z = 
CMR: (1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z)
Câu 2: 
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của A = 
Câu 3: 
a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 1
CMR: b+c 16abc
b, Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR có ít nhất một bất đẳng thức sai trong các bất đẳng thức sau:
2a(1-b) > 1
8c(1-d) > 1
3b(1-c) > 2
32d(1-a) > 3
Câu 4:
Giải BPT: mx(x+1) > mx(x+m) + m2 – 1
Câu 5: 
a, Tìm nghiệm nguyên tố của PT: x2 + y2 + z2 = xyz
b, Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phương.
Câu 6:
Tìm số có 2 chữ số mà số ấy là bội số của tích hai chữ số của nó.
Câu 7:
Cho hình thang ABCD (BC// AD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD; Gọi E, F là trung điểm của AD, BC
CMR: E, O, F thẳng hàng.
đề số 12 
Câu 1:
Tìm đa thức f(x) biết:
f(x) chia cho x+3 dư 1
f(x) chia cho x-4 dư 8
f(x) chia cho (x+3)(x-4) thương là 3x và dư
Câu 2:
a, Phân tích thành nhân tử:
A = x4 + 2000x2 + 1999x + 2000
b, Cho: 
CMR: 
Câu 4:
CMR: ++.....+ < Với nN và n1
Câu 5:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: M = (x≠0; y≠0)
Câu 6:
a, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x2 + 4x = 19 – 3y2
b, CMR phương trình sau không có nghiệm nguyên: x2 + y2 + z2 = 1999
Câu 7:
Cho hình vuông ABCD. Trên BD lấy M, từ M kẻ các đường vuông góc AB, AD tại E, F.
a, CMR: CF = DE; CF DE
b, CMR: CM = EF; CM EF
c, CMR: CM, BF, DE đồng qui
đề số 13 
Câu 1:
a, Rút gọn: A = (1-)(1-).....(1-)
b, Cho a, b > 0 và 9b(b-a) = 4a2
Tính M = 
Câu 2:
a, Cho a, b, c > o
CMR: + + 
b, Cho ab 1
CMR: + 
Câu 3: 
Tìm x, y, z biết:
x+2y+3z = 56 và ==
Câu 4:
a, Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của M = 
b, Tìm giá trị nhỏ nhất A = 
Câu 5:
Giải BPT: mx2 – 4 > 4x + m2 – 4m
Câu 6:
a, Tìm số nguyên dương x thoả mãn: x(x+1) = k(k+2) 
k là số nguyên dương cho trước.
b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x-5y-6z =4.
Câu 7:
Cho hình vuông ABCD, Về phía ngoài hình vuông trên cạnh BC vẽ đều, về phía trong hình vuông trên cạnh AB vẽ đều.
CMR: D, E, F thẳng hàng.
Đề số 14 
Câu 1:
Cho A = (
a, Tìm TXĐ của A
b, Tìm x, y để A > 1 và y < 0.
Câu 2: 
a, Giải PT: x4 + 2x3 – 2x2 + 2x - 3 = 0
b, Giải BPT: 3 – mx < 2(x-m) – (m+1)2
Câu 3:
Cho a, b, c > 0
CMR: 
Câu 4:
CM: A = n6 – n4 +2n3 +2n2 không là số chính phương với nN và n >1
Câu 5:
Cho f(x) = x2 + nx + b thoả mãn 
Xác định f(x)
Câu 6:
Cho x, y > 0 thoả mãn xy= 1
Tìm giá trị lớn nhất A = 
Câu 7: 
Cho hình thang ABCD (AD//BC). M, N là trung điểm của AD, BC. Từ O trên MN kẻ đưởng thẳng song song với AD cắt AB, CD tại E và F.
CMR: OE = OF
đề số 15 
Câu 1:
Cho xyz = 1 và x+y+z = = 0
Tính giá trị M = 
Câu 2: 
Cho a ≠ 0 ; 1 và 
Tìm a nếu x1997 = 3
Câu 3:
Tìm m để phương trình có nghiệm âm: 
Câu 4:
Với nN và n >1
CMR: 
Câu 5:
Cho M = 3x2 - 2x + 3y2 – 2y + 6x +1
Tìm giá trị M biết: xy = 1 và đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 6:
Tìm x, y N biết: 2x + 1 = y2
Câu 7:
Cho (AB < AC). AD, AM là đường phân giác, đường trung tuyến của . Đường thẳng qua D và vuông góc với AD cắt AC tại E
So sánh S và S
Đề số 16 
Câu 1:
Cho (a2 + b2 + c2)( x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2
CMR: với abc ≠ 0
Câu 2:
Cho abc ≠ 0 và 
CMR: 
Câu 3:
Cho a, b, c là 3 số dương và nhỏ hơn 1
CMR: Trong 3 số: (1-a)b; (1-b)c; và (1-c)a không đồng thời lớn hơn 
Câu 4:
Cho x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4xy + 4 = 0 và xy > 0
Tìm giá trị lớn nhất A = 
Câu 5:
a, CMR PT: 3x5 – x3 + 6x2 – 18x = 2001 không có nghiệm nguyên.
b, Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
Câu 6:
Cho nN và n >1
CMR: 1 +
Câu 7:
Cho về phía ngoài vẽ tam giác vuông cân ABE và CAF tại đỉnh A.
CMR: Trung tuyến AI của vuông góc với EF và AI = EF
Câu 8: 
CMR: là phân số tối giản (với nN).
đề số 17 
Câu 1:
Phân tích ra thừa số:
a, (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15
b, x3 + 6x2 + 11x + 6
Câu 2:
Cho x > 0 và x2 + = 7
Tính giá trị của M = x5 + 
Câu 3:
Cho x, y thoả mãn 5x2 + 8xy + 5y2 = 72
Tím giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = x2 + y2
Câu 4:
a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c 1
CMR: 
b, Cho a, b, c thoả mãn a+b+c = 2; ab+bc+ca = 1.
CMR: 0 a, b, c 
Câu 5: 
Tính tổng S = 1+2x+3x2+4x3+.....+ nxn-1 (x≠1)
Câu 6:
Tìm nghiệm nguyên của PT:
 = 3
Câu 7: 
Cho biết đường cao AH và trung tuyến AM chia góc thành 3 phần bằng nhau.
Xác định các góc của 
Đề số 18 
Câu 1:
Rút gọn: M = 
Câu 2:
Cho: x = 
Tính giá trị P = (x+y+xy+1)3
Câu 3:
Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR có ít nh ...  1:
a, Cho a+b+c = 0.
CMR: 
b, CMR với mọi x, y Z
A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phương.
Câu 2:
Tìm số nguyên x, y, z thoả mãn:
x2 + y2 + z2 < xy + 3y -3
Câu 3: 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: y = 
Câu 4:
Tìm x, y Z+ : x2 + (x+y)2 = (x+9)2
Câu 5: 
CMR: A = 10n + 18n -1 chia hết cho 27 (n N)
Câu 6: 
Cho , trên BC, CA, AB lấy M, N, P sao cho:
 và kẻ các đoạn AM, BN, CP.
Tìm diện tích tam giác tạo bởi các đoạn AM, BN, CP. Biết 
Câu 7: 
Tìm số nguyên x, y : 
Đề số 42 
Câu 1:
 Cho 3 số x, y, z: xyz = 1; và 
CMR: Có đúng 1 trong 3 số lớn hơn 1.
Câu 2:
Tìm giá trị nguyên x, y thoả mãn đồng thời:
x+y 25
y 2x+18
y x2+4x
Câu 3:
Giải PT: 
Câu 4:
Cho 3 số a, b, c thoả mãn: a4+b4+c4 < 2(a2b2+ b2c2+ a2c2)
Chứng minh rằng: Tồn tại tam giác mà có độ dài 3 cạnh là a, b, c.
Câu 5:
Cho 2 đường thẳng ox, và oy vuông góc với nhau, cắt nhau tại O. Trên Ox lấy về 2 phía của điểm O hai đoạn OA = 4cm; OB = 2cm. Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của AB. MA, MB cắt Oy ở C, và D. Gọi E là trung điểm CA; F là trung điểm của DB.
a, CMR: đồng dạng và tìm tỷ số đồng dạng.
b, CMR: OEFM là hình bình hành.
c, Đường thẳng EF cắt Ox tại P. CMR: P là điểm cố định khi M di chuyển trên đường thẳng trung trực AB.
d, Cho MH = 3cm, tứ giác OFME là hình gì?
Đề số 43 
Câu 1:
Cho a, b, c là ba số phân biệt thoả mãn: 
CMR: 
Câu 2:
Cho a, b, c 0 và 
CMR: xa2 + yb2 + zc2 = 0.
Câu 3:
Giải PT: 
a, (x-4)(x-5)(x-6)(x-7) = 1680.
b, 
Câu 4:
Cho a, b, c thoả mãn: 
CMR: abc.
Câu 5:
Cho a, y, z 0 và x, y , z Z thoả mãn: a+by36 và 2x+3z72.
CMR: Nếu b 3 thì x+y+z nhận giá trị lớn nhất là 36.
Câu 6:
Cho hình vuông OCID có cạnh là a. AB là đường thẳng bất kỳ đi qua I cắt tia OC, OD tại A, và B.
a, CMR: CA.DB có giá trị không đổi (theo a).
b, 
c, Xác định vị trí A, B sao cho DB = 4CA.
d, Cho . Tính CA + DB theo a.
Đề số 44 
Câu 1:
Cho a > b > 0. So sánh A, B:
A = 
Câu 2:
a, Cho x+y+z = 0 
CMR: 2(x5+y5+z5) = 5xyz(x2+y2+z2)
b, Cho a, b, c 0. 
Tính giá trị M = x2003+y2003+z2003. Biết z, y, z: 
Câu 3:
a, Cho a, y, z 
CMR: a(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) 
b, Cho a, b, c thoả mãn a+b+c > 0; ab+bc+ca > 0; và abc > 0.
CMR: Cả 3 số đều dương.
Câu 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x100 – 10x10 +10.
Câu 5:
Với giá trị nào của A thì PT:
 có nghiệm duy nhất.
Câu 6:
Cho đường thẳng d//BC cắt AB, AC tại D, E.
a, CMR: Với mọi điểm F trên BC luôn có không lớn hơn 
b, Xác định vị trí D, E để lớn nhất.
Đề số 45 
Câu 1:
a, Cho 
CMR: (với n là số nguyên dương lẻ; a, b, c 0)
b, Cho abcd = 1. Tính giá trị:
M = 
Câu 2: 
Cho a, b > 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất: P = 
Câu 3:
a, Cho a, b Q và a, b không đồng thời bằng không. 
CMR: 
b, Cho a, b, c thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 1
CMR: 
Câu 4: 
Tìm nghiệm nguyên của PT: 
a, xy – 2 = x + y
b, 3xy + x – y = 1
Câu 5:
Giải PT: x4+3x3+4x2+3x+1 = 0
Câu 6:
Cho có đường cao là AA1, BB1, CC1, hình chiếu của A1 lên AB, AC BB1, CC1 là H, I, K, P.
CMR: H, I, K, P thẳng hàng.
Đề số 47 
Câu 1:
Cho a, b, c ; a3+b3+c3 = 3abc
Tính giá trị biểu thức: P = 
Câu 2:
a, Tìm giá trị lớn nhất của M = 
b, Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2+26y2-10xy+14x-76y +59.
Câu 3:
Cho a+b+c+d = 1
CMR: (a+c)(b+d) + 2ac +2bd 
b, Cho 3 số dương a, b, c đều nhỏ hơn 1. CMR: có ít nhất 1 mệnh đề sau là sai:
a(1-b) > ; b(1-c) > ; c(1-a) > 
Câu 4:
a, Tìm x, y : x2 + (x+1) = y4 + (y+1)4
b, Cho N = 1.2.3 + 2.3.4 +.....+ n(n+1)(n+2)
CMR: 4N+1 là số chính phương với mọi nZ+
c, Tìm nghiệm nguyên dương của PT: x2 – (x+y)2 = -(x+y)2
Câu 5:
Xác định a, b, c để: f(x) = x4+ax2+bx+c chia hết cho g(x) = (x-3)3.
Câu 6:
Cho O là trực tâm của (có 3 góc nhọn). Trên OB, OC lấy B1, C1 sao cho:
 = . 
CMR: AB1 = AC1
Đề số 49 
Câu 1: 
a, CMR: Nếu (y-z)2+(z-x)2+(x-y)2 = (y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(y+x-2z)2
thì x = y = z.
b, Cho x2-y = a; y2-z = b; z2-x = c.
Tính P = x3(z-y2)+ y3(x-z2)+ z3(y-x2)+xyz(xyz-1)
Câu 2:
Tìm x để: P = đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3:
CMR: với n; n > 0.
Câu 4: 
Tìm nghiệm nguyên dương của PT:
2(x+y+z) + y = 3xyz.
Câu 5:
Cho , trung tuyến AD. Gọi G là trọng tâm , một cát tuyến quay quanh G cắt AB, AC tại M, N.
CMR: 
Câu 6:
Cho , một hình chữ nhật MNPQ thay đổi sao cho: MAB; NAC; 
PBC, QBC.
Tìm tập hợp tâm O của hình chữ nhật MNPQ
Đề số 50 
Câu 1:
a, Cho x+y=a; x2+y2=b; x3+y3= c.
CMR: a3-3ab+2c = 0.
b, Xác định a, b, c, d để đẳng thức sau đúng với mọi x.
Câu 2:
Cho a, b, c . Giải PT:
Câu 3:
a, Cho a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác.
CMR: 
b, Cho a, b, c là số tự nhiên không nhỏ hơn 1.
CMR: 
Câu 4: 
Cho x, y, z thoả mãn: xy+yz+zx = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất: M = x4+y4+z4
Câu 5:
Tìm nghiệm nguyên của PT: 5x – 3y = 2xy – 11
Câu 6: 
Cho hình thang ABCD (AB//CD). Giao điểm của AC, BD là O, đường thẳng qua O và song song AB cắt AD, BC tại M, N.
a, CMR: 
b, Cho Tính 
c, Tìm điểm K trên BD sao cho đường thẳng qua K và song song AB bị hai cạnh bên và 2 đường chéo chia thành 3 đoạn bằng nhau.
Đề số 51
Bài 1(1đ): Cho x và y là hai số khỏc nhau thỏa món điều kiện: 
	9x( x – y) – 10(y – x)2 = 0. Chứng minh rằng x = 10y
Bài 2 (1.5đ):Rỳt gọn phõn thức A= 
Bài 3 (1đ):Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P= 
Bài 4 (1.5đ): Cho 3 biểu thức:
A= ; B= ; C= tỡm sự liờn hệ giữa A;B;C.
Bài 5 (5đ):Cho điểm I di động trờn đoạn thẳng AB. Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ cỏc hỡnh vuụng AICD, BIEF. Gọi O và O’ lần lượt là tõm của 2 hỡnh vuụng đú. Gọi K là giao điểm của AC và BE.
Cho biết dạng của tứ giỏc OKO’I.
Trung điểm M của OO’ di động trờn đường nào.
Xỏc định vị trớ của điểm I để cho OKO’I là hỡnh vuụng.
Bài 6(2đ):
Cho gúc nhọn xOy và 2 điểm A và B thuộc miền trong của gúc ấy. Tỡm trờn cạnh Ox một điểm M và trờn cạnh Oy một điểm N sao cho tổng AM+MN+NB cú độ dài nhỏ nhất.
Đề số 52
Bài 1: Chứng minh rằng chia hết cho 6 với mọi số nguyờn n.
Bài 2: Giải cỏc phương trỡnh sau:
a) 
b) 
Bài 3: Tỡm giỏ trị x nguyờn để biểu thức: là số nguyờn.
Bài 4: Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: 
Bài 5: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh AK và CH chia đường chộo BD thành 3 đoạn thẳng bằng nhau.
Bài 6: Cho tam giỏc ABC, M là điểm bất kỡ trờn BC. Cỏc đường thẳng song song với AM vẽ từ B và C cắt AC và AB tại D và E. Chứng minh 
Đề số 53
Câu 1: Xác định hệ số a sao cho:
a) 	27x2 + a 	chia hết cho 3x + 2
b)	3x2 + ax + 27	chia hết cho x + 5 có số dư bằng 2
Câu2: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn abc = 1999. Rút gọn biểu thức:
Câu 3: Cho abc 0 và a + b+ c 0 giải phương trình:
Câu 4: Gọi M là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một nửa mặt phẳng có bờ là AB các hình vuông AMCD, BMEF.
Chứng minh AE vuông góc với BC.
Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba diểm D, H, F thẳng hàng.
Những minh đoạn thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB cố định.
Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông khi điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định.
Đề số 54
Câu 1: Tìm số tự nhiên n để:
Số A = n4 + 4 là số nguyên tố.
Phân số tối giản.
Câu 2. Cho biểu thức:
Rút gọn A
Tính giá trị của A biết 4a2 + b2 = 5ab và a > b > 0
Câu 3. Giải phương trình:
Câu 4. Cho tứ giác ABCD; M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD. Gọi E và F là giao của BD với AM và AN. Chứng minh rằng: nếu BE = EF = FD thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
Câu 5. Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD; M, K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD.
Gọi I và O theo thứ tự là trung điểm của AB và IC. Chứng minh: 
Tính số đo góc BMK?
Gọi P và Q lần lượt là 2 điểm thuộc đoạn BM và BC. Hãy xác định vị trí của P và Q để chu vi tam giác PHQ có giá trị nhỏ nhất?
Đề số 55
Câu 1: ( 4 điểm)
Cho biểu thức:
Rút gọn P.
Có giá trị nào của a, b để P = 0?
Tính giá trị của P biết a, b thỏa mãn điều kiện:
3a2 + 3b2 = 10ab và a > b > 0
Câu 2: ( 3,5 điểm)
Chứng minh rằng:
(n2 + n -1)2 – 1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
Tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.
Câu 3: ( 3 điểm)
Giải phương trình: x4 + x2 + 6x – 8 = 0
Câu 4: ( 3 điểm) 
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x2 = y( y +1)(y + 2)(y + 3)
Câu 5: (7,5 điểm)
Cho tam giác ABC, O là giao điểm của các đường trung tực trong tam giác, H là trực tâm của tam giác. Gọi P, R, M theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Gọi Q là trung điểm đoạn thẳng AH.
Xác định dạng của tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để OPQR là hình thoi?
Chứng minh AQ = OM.
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh H, G, O thẳng hàng.
Vẽ ra ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE, ACFL. Gọi I là trung điểm của EL. Nếu diện tích tam giác ABC không đổi và BC cố định thì I di chuyển trên đường nào?
Đề số 56
Câu 1: Cho a + b = 1. Tính giá trị biểu thức:
M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2)
Câu 2: Chứng minh rằng:
 biết abc = 1.
 không là phân số tối giản.
Câu 3: Cho biểu thức:
Tìm điều kiện để P xác định.
Rút gọn P.
Tính giá trị của P biết a3 - a2 + 2 = 0
Câu 4*: Tìm số tự nhiên n để đa thức:
A(x) = x2n + xn +1 chia hết cho đa thức x2 + x + 1
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Kẻ đường thẳng qua C và vuông góc với AB tại E. Gọi M là trung điểm của AD.
Chứng minh: tam giác EMC cân.
Chứng minh: Góc BAD = 2 góc AEM.
Gọi P là một điểm thuộc đoạn thẳng EC. Chứng minh tổng khoảng cách từ P đến Me và đến MC không phụ thuộc vào vị trí của P trên EC.
Đề số 57
Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết:
a.	 là một số nguyên tố.
b.	 có giá trị là một số nguyên.
c.	D = n4 + 4n là một số nguyên tố.
Bài 2. Cho a + b +c = 0; abc 0.
Chứng minh: a3 + b3 + c3 -3abc =0
Tính giá trị của biểu thức:
Bài 3: a. Giải phương trình:
b. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:	
x2 - y2 + 2x - 4y -10 = 0
Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB//CD) , O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E; cắt BC tại F.
Chứng minh : 
Chứng minh: OE = OF.
Chứng minh: 
Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác DEF.
Đề số 58
Câu 1: Cho biểu thức: 
Rút gọn A.
Tìm các số nguyên a để A có giá trị là một số nguyên.
Câu 2. Cho x, y, z đôi một khác nhau và khác 0. CMR nếu:
 thì ta có:
Câu 3. Giải phương trình:
a, 
b, x2 + 3y = 3026 với x, y N
Câu 4. Cho f(x) là một đa thức với hệ số dương. Biết f(0); f(x) là các số lẻ. Chứng minh rằng f(x) không thể có nghiệm nguyên.
Câu 5. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho góc DME bằng góc B. CMR: 
a. 
b. DM là phân giác của góc BDE.
c. Chu vi tam giác ADE không đổi khi D, E chuyển động trên cạnh AB và AC.