Đề thi học sinh giỏi Toán 9 vòng 2 năm học 2010 – 2011

Tr­êng THCS NghÜa §ång
 Nhãm To¸n
(mong b¹n ®äc gãp ý: hongtamdo1982@gmail.com)
§Ò thi häc sinh giái to¸n 9 vßng 2.N¨m häc 2010 – 2011
Thêi gian 120 phót
Câu 1: ( 8 điểm)
Giải phương trình: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 P = 
Câu 2: ( 4 điểm)
	 ( Víi ) 
Chøng minh r»ng S < n -1
Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n 2 thì S không thể là một số nguyên.
	.
Câu 3: ( 4,0 điểm)
	Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH bằng 10cm, đường cao BK bằng 12cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. 
 Câu 4: ( 4,0 điểm)
Cho tam gi¸c gi¸c nhän ABC. KÎ c¸c ®­êng cao AD, BK. Gäi H lµ trùc t©m, G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC.
Chøng minh r»ng: tgB.tgC =
Chøng tá r»ng: HG // BC tgB.tgC = 3
 Ngµy 26 th¸ng 10 n¨m 2010
 GV 
 NguyÔn Hång T©m 
 §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm
Bài
Nội dung
Điểm
Câu 1
(8đ)
1) (4 điểm)
s Điều kiện: x 
s Khi đó, phương trình đã cho tương tương với phương trình: 
s Do đó: 
s Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có: 
s Vậy tập nghiệm của phương trình là mọi x: 
2) (4 điểm)
s Ta có: P = 
s Mà: 
 Nên P 4
s Vậy: P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi (1+ 2x)(3-2x) 0
0,5
1,0
0,5
05
0,5
0,5
0,5
1,5
1,5
0,5
0,5
Câu 2
(4đ)
a) (2đ)
s S = 
 S = 
 S = n – 1 – () < n – 1 
 Vậy: S < n – 1 (1)
b(2đ)
s Ta chứng minh: S > n – 2 
 Thật vậy: 
 < 
< 
< 1 - 
Do đó: S > n – 1 – (1 - ) = n – 2 + > n -2 
Vậy: S > n – 2 (2) 
Từ (1) và (2) ta suy ra: n – 2 < S < n – 1 với mọi số nguyên dương n 2.
Mà: n – 2 và n – 1 là hai số nguyên liên tiếp.
Nên: S không là số nguyên. 
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
Câu 3
(4,0đ)
s Đặt AC = AB = x, BC = y.
 Ta có: tam giác AHC đồng dạng với tam giác BKC ( vì có góc nhọn C chung) nên:
Hay AH.BC = BK.AC
Vậy: 5y = 6x (1)
s Mặt khác: trong tam giác AHC vuông tại H ta có:
Hay (2)
s Từ (1) và (2) ta suy ra: x = , y = 15.
Vậy: AB = AC = cm, BC = 15cm
Vẽ hình đúng
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 4
(4đ)
1(2đ)
Xét ABD có : tgB = .
Xét ACD có tg C = 
tgB.tg C = (1)
Ta có BDH ADC (gg) => 
BD.CD =DH.AD (2)
Từ (1) và (2) => tgB.tgC =
b (2đ)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên 
Do đó, xét ADM có:
A
B
K
C
D
M
H
G
 HG // BC HG // MD 
 tgB.tgC = 3
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
 Ngày 26 tháng 10 năm 2010
 Gv: Nguyễn Hồng Tâm