Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2006-2007 - Trường PTDT Nội Trú (Có đáp án)

 Phòng GD Ngọc Lặc Đề thi học sinh giỏi lớp 8 môn
Trường PTDT Nội Trú toán năm học 2006 - 2007
 (thời gian làm bài 150 phút) 
Đề bài
Bài 1: ( 4 điểm )
a, Phân tích thành nhân tử:
b, Xác định các hằng số a, b sao cho:
 chia hết cho 
Bài 2: ( 4 điểm )
a, Chứng minh rằng phân số sau đây tối giản với mọi số tự nhiên n:
b, Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
Bài 3: (2,5 điểm )
a, giải phương trình:
b, tìm giá trị nhỏ nhất của:
Bài 4: ( 4 điểm )
Cho hình vuông ABCD . Điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi EF theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng:
a, 
b, Các đường thẳng BM, AF, CE đồng qui.
Bài 5: ( 3 điểm )
Tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 6 cm. Chứng minh rằng 
-------Hết------
Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp 8
Nội dung
Điểm
Bài 1
a,
Đặt , , 
suy ra: 
1 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
1 điểm
b,
Dùng phương pháp hệ số bất định

Ta có: = 
Vậy a = 1, b = 8
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 2
a, 
Gọi ưc ( 2n +1; 2n2 - 1) + d
=> [ n (2n +1) – (2n2 -1) ] chia hết cho d.
ú n +1
ú [(2n +1) – 2 (n +1)] chia hết cho d.
ú -1 chia hết cho d.
d = 1 ; d = - 1
( 2n + 1; 2n - 1 ) = 1 điều này chứng tỏ phân sốtối giản với mọi số tự nhiên n
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5đ
0,5 điểm
b, (2điểm)
2xy + 4x - y = 5
2x( y + 2) - ( y +2 ) = 3
( y + 2 )( 2x - 1 ) = 3
Vì x, y Z y + 2 Z; 2x - 1 Z
Ta có các trường hợp sau:
Vậy 
1 điểm
0,5 điểm
0,5 đ
Bài 3
a, 
ĐKXĐ: 
x = -13 hoặc x = 2
x = -13 hoặc x = 2 thỏa mãn ĐKXĐ
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
1điểm
1 điểm
1 điểm
b,
Đặt = t
 đạt được khi t = -3
 đạt được khi = -3
x2 - 7x + 9 = 0 => 
1 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 4:
a
b
Gọi H là giao điểm BM và EF
K là giao điểm EM và BC
Chứng minh được 
Mà ( đối đỉnh )
và 
hay 
b) chứng minh được EC BF, AF BE
+ xét BEF có các đường cao BH; EC; FA’ nên các đường BM, AF, CE đồng quy tại một điểm.
0,5đ
0,5 điểm
1 điểm
1 điểm
1 điểm
Bài 5:
a
Trên tia đối của tia AE lấy điểm E sao cho : AE = 5 cm
Xét và ta có:
Góc B chung 
 đồng dạng với 
(hai góc tương ứng)
mà cân tại A nên 
0,5đ
1 điểm
0,5đ
1 điểm