Đề thi học sinh giỏi môn: Toán 7, 8, 9 năm học 2009-2010 Trường THCS Năng Yên

Tr­êng THCS N¨ng Yªn
§Ò thi HSG- HS NK
M«n : To¸n 9 N¨m häc 2009-2010
( Thêi gian lµm bµi 150 phót )
GV ra ®Ò: D­¬ng ThÕ Anh
Bµi 1( 2®iÓm ):Cho biÓu thøc: N = x2-3x+2y
Ph©n tÝch N thµnh nh©n tö.
TÝnh gi¸ trÞ cña N khi :x = vµ y = 
Bµi 2(2®iÓm).
TÝnh tæng: A = 
Chøng minh r»ng : B = +++..+ > 86
Bµi 3(2®iÓm):
T×m c¸c sè :x,y,z tho¶ m·n: 
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:
Bµi 4( 2®iÓm):
a)Cho ®­êng th¼ng : y = (1-m)x+ 2m + 1 (x: biÕn, m: lµ tham sè).Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng ®· cho lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña m, t×m to¹ ®é cña ®iÓm ®ã.
b) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, BC = 12cm ,®­êng cao AH = 4cm. TÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC
Bµi 5(2®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp ®­êng trßn (O)víi träng t©m G ,BC cè ®Þnh. Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC .Chøng minh r»ng :O,G, H th¼ng hµng vµ AH kh«ng ®æi khi A chuyÓn ®éng trªn (O)
HÕT
(Hä tªn: ..SBD)
C©u
H­íng dÉn chÊm
§iÓm
C©u 1
§iÒu kiÖn : y
N = x2-x-2x +2y = (x-)(x-2)
0,5
0,5
x = = ; y = = 9- 4=()2
Thay vµo ta cã : N =( -).(-2)
 = 4.(6-)
0,5
0,5
C©u2
A=
=
=
0,5
0,5
Ta cã: B = +++..+ 
B = +++..+ >
+++..+ 
= 2() > 2(44-1) =86
0,5
0,5
C©u 3
T×m c¸c sè :x,y,z tho¶ m·n: 
Ta cã: §K: x,y,z .
Tõ gi¶ thiÕt x- 2
 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
0,5
0,5
Tõ : x2+y2+z2=xy+yz+xz 2(x2+y2+z2) -2(xy+yz+xz) = 0
(x-y)2+(y-z)2+(x-z)2= 0x= y = z 
Thay vµo ph­¬ng tr×nh cßn l¹i cña hÖ ta ®­îc: 3x2009= 32010
x2009=32009x =3 .VËy hÖ cã nghiÖm: 
0,5
0,5
C©u 4
a)Gäi M(x0;y0) lµ ®iÓm thuéc ®å thÞ hµm sè x0, y0 ph¶i tho¶ m·n 
ph­¬ng tr×nh : y = (1-m)x +2m+1 .Hay ta cã: y0 = (1-m)x0+2m+1
m(2-x0) +x0- y0+1 = 0 (*). 
§iÓm M (x0;y0) cè ®Þnh kh«ng phô thuéc vµo tham sè m th× ph­¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm x0.y0 kh«ng phô thuéc vµo m 
VËy víi mäi gi¸ trÞ cña m ®å thÞ hµm sè ®· cho lu«n ®i qua ®iÓm M(2;3)
0,5
0,5
b)Gäi R lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn (O) ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC.
Ta cã: AH c¾t ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ABC t¹i D
ACD vu«ng t¹i CCH2= HA.HD 
HD ==(cm) 
AD =13cmR= 6,5(cm) 
0,5
0,5
C©u5
-XÐt cã träng t©m G thuéc trung tuyÕn AI (h×nh vÏ)
 KÎ ®­êng kÝnh AM ta cã : MCAC, BHAC MC//BH
-T­¬ng tù : BM//CH Tø gi¸c BMCH lµ h×nh b×nh hµnh I lµ trung ®iÓm cña HM. TrongAHM cã AI lµ ®­êng trung tuyÕn vµ G lµ träng t©mAHM mµ HO còng lµ trung tuyÕnAHM nªn GHO
Do ®ã : G,H ,O th¼ng hµng.
-Ta cã:
OI lµ ®­êng trung b×nh
 cña AHM OI = AH 
AH=2.OI 
-V×: B,C cè ®ÞnhI cè ®Þnh 
Mµ O cè ®Þnh nªn OI kh«ng ®æi
 AH kh«ng ®æi .
VËy AH kh«ng ®æi khi 
A thay ®æi trªn (O)
0,5
0,5
0,5
0,5
Tr­êng THCS N¨ng Yªn 
§Ò thi HSG- HS NK
M«n : To¸n 7 N¨m häc 2009-2010
( Thêi gian lµm bµi 150 phót )
GV ra ®Ò: D­¬ng ThÕ Anh 
Bµi 1:	(2diÓm)	
a)	Cho A= 413 +325-88 .Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 5
b)	Cho : B = 20+21+22+23+22009
 	C= 22010
Chøng minh r»ng B vµ C lµ hai sè nguyªn d­¬ng liªn tiÕp?
Bµi 2:	(2®iÓm) 	
a) T×m c¸c sè nguyªn x,y biÕt: 
b)T×m c¸c sè x,y,z biÕt: ( víi : x,y,z0,x+y+z )
Bµi 3(2®iÓm)	
 Mét ca n« xu«i dßng tõ bÕn s«ng A ®Õn bÕn s«ng B víi vËn tèc 24km /h.Sau ®ã ca n« ng­îc dßng tõ bÕn B vÒ bÕn A víi vËn tèc 20km/h. TÝnh thêi gian ca n« xu«i dßng , ca n« ng­îc dßng biÕt tæng thêi gian xu«i dßng vµ ng­îc dßng lµ 5giê 30 phót?
Bµi 4(2®iÓm) : Cho tam gi¸c ®Òu ABC.Trªn hai c¹nh AB,AC lÇn l­ît lÊy hai ®iÓm M,N sao choAM = CN.Gäi O lµ giao ®iÓm cña CM vµ BN Chøng minh r»ng :
CM = BN
Sè ®o cña gãc BOC kh«ng ®æi khi M vµ N di ®éng trªn hai c¹nh AB,AC tho¶ m·n ®iÒu kiÖn AM = CN 
Bµi 5:(2®iÓm):
 Cho tam gi¸c ABC cã AB <AC. Tia ph©n gi¸c cña c¾t BC t¹i D. 
 Chøng minh r»ng: CD>BD
HÕT
(Hä tªn: ..SBD
C©u
H­íng dÉn chÊm
§iÓm
C©u 1
A= 413 +325-88 = 226+225-224 = 224(22+2- 1) 
= 224.55 A 5
0,5
0,5
b)HiÓn nhiªn: B > 0,C >0 vµ B,CZ
Ta cã: 2B = 2+ 22+ 23++22010
B = 2B – B = (2 + 22+23 + .22009+22010) – (1+2+22+.+22009) = 22010-1
Mµ : C = 22010C vµ B lµ hai sè nguyªn d­¬ng liªn tiÕp
0,5
0,5
C©u2
a)-Tõ gi¶ thiÕt : x(1-2y) = 40 (*)
-V× x,y Z 1-2y Z mµ 1-2y lµ sè nguyªn lÎ nªn tõ (*) cã 1-2y lµ ­íc sè lÎ cña 40.
1-2y =1y= 0 x=40
1-2y = -1y=1 x=-40
1-2y = 5y=-2x=8
1-2y=-5y=3x=-8
0,5
0,5
b)-Tõ GT ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:
(v× :x+y+z;vµ x,y,z)
.
-Thay vµo ®Ò bµi ta cã: 
x=
0,5
0,5
C©u 3
-Gäi: thêi gian ®i tõ bÕn A ®Õn B lµ : t1(h)
 Thêi gian ®i tõ bÕn B vÒ bÕn A lµ : t2(h)
-V× tæng thêi gian c¶ ®i lÉn vÒ lµ : 5h 30’ = (h) nªn ta cã :
 t1 + t2 =
-Do chiÒu dµi qu·ng s«ng kh«ng ®æi nªn vËn tèc ca n« vµ thêi gian ®i cña ca n« lµ 2 ®¹i l­¬ng tØ lÖ nghÞch
Ta cã :t1.24 =t2.20 .
 -Theo tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã : 
-Suy ra : t1 = 20. (h)
 t2 = 24. (h)
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
C©u 4
a)Ta cã :XÐtvµ 
-Cã: (c.g.c)
CM = BN.
V× : ( theo phÇn a)
-Ta cã : 
Trong cã (kh«ng ®æi)
H×nh
0,25
0,5
 0,25
0,5
0,5
C©u5
-Ta cã :lÊy ®iÓm E trªn c¹nh AC sao cho 
AE =AB.
XÐt ABD = AED( c.g.c)
BD = DE vµ 
-Ta cã : (t/c gãc ngoµi tam gi¸c)
Mµ : (t/c gãc ngoµi tam gi¸c)
CD >DE (Quan hÖ gãc vµ c¹nh ®èi diÖn trong tam gi¸c)
CD > BD
H×nh
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
Tr­êng THCS N¨ng Yªn
§Ò thi HSG- HS NK
M«n : To¸n 8 N¨m häc 2009-2010
( Thêi gian lµm bµi 150 phót )
GV ra ®Ò: D­¬ng ThÕ Anh
C©u (1,5®iÓm): Cho biÓu thøc:. 
a)T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó B x¸c ®Þnh vµ rót gän B
b)T×m x ®Ó =1 vµ =2009
c) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó:nhËn gi¸ trÞ nguyªn?
C©u 2(2®iÓm): Gi¶i ph­¬ng tr×nh :
a) ;	b) (x2-1)2 = 4x+1 
C©u 3 (2®iÓm): 
Cho a+b+c = 2009 vµ .Chøng minh r»ng tån t¹i mét trong 3 sè a,b,c b»ng 2009.
C©u 4(2,5®iÓm):
 Cho tam gi¸c ABC cã gãc B gÊp hai lÇn gãc C. Trªn tia ®èi cña tia BA lÊy ®iÓm K sao cho BK = BC. KÎ AH vu«ng gãc víi BC, AP vu«ng gãc CK( H ®­êng th¼ng BC, P ®­êng th¼ng CK) .Gäi I lµ giao cña AP vµ BC.chøng minh r»ng:
Tam gi¸c AIB c©n
AC2= AB.(AB +BC)
C©u 5 (2®iÓm):
 a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh: xy- 2x-3y +1 = 0
 b) Cho mét h×nh vu«ng vµ mét lôc gi¸c ®Òu cã chu vi b»ng nhau.TÝnh diÖn tÝch cña lôc gi¸c ®Òu nÕu biÕt diÖn tÝch h×nh vu«ng lµ 12cm2 
HÕT
(Hä tªn: ..SBD
C©u
H­íng dÉn chÊm
§iÓm
C©u 1
a)§K; x
 Ta cã : =
0,5
b) =1=1(Lo¹i x=2 v× §K)
0,5
c)Ta cã: =
B cã gi¸ trÞ nguyªn (khi x nguyªn)x+1 lµ ­íc cña 2
x= 0 hoÆc x=-3 (tho¶ m·n) 
0,5
C©u2
a)§K: x
(x2-x)(x-3) –x2(x+3) = 3x-7x2
x3-3x2-x2+3x-x3-3x2-3x+7x2= 0
0x = 0
Suy ra: NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ : xR ,x
0,5
0,5
(x2-1)2= 4x+1(x2-1)2- 4x- 1= 0x2(x2-2)-4x = 0
x( x3-2x-4) =0x(x-2)(x2+2x+2) = 0
 ( v× x2+2x+2 = (x+1)2+1 > 0 víi mäi x)
VËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : x= 0 ,x=2
0,5
0,5
C©u 3
-Tõ gi¶ thiÕt ta cã :
(
 (a+b)(b+c)(c+a) = 0 a=-b hoÆc b=-c hoÆc c=-a
NÕu : a=-b ta cã : Tõ a+b+c =2009c= 2009
T­¬ng tù : b=- c a=2009
 c=- a b = 2009
0,5
1,0
0,5
C©u 4
-VÏ h×nh ,ghi GT-KL
0,25
a)Tacã : BK = BC (gt) BKC c©n 
t¹i B 
-Trong cã : 
-Trong PIC cã : 
Tõ (1) vµ (2) suy ra: 
AIB c©n t¹i B.
b)Ta cã :
Theo GT : 
 hay 
XÐt ABC vµACK cã: 
 (gãc chung) ABC ~ACK
 (chøng minh trªn) 
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
C©u5
xy-2x-3y+1 = 0 x(y-2) -3(y-2) = 5(x-3)(y-2) =5(*)
V× x,y Z x-3,y-2 Z ,do ®ã tõ (*) ta cã:
 hoÆc ; ; 
Suy ra nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh lµ:
 ; ; ; 
DiÖn tÝch h×nh vu«ng ABCD lµ 12cm2
c¹nh h×nh vu«ng : a= AB =
Chu vi h×nh vu«ng lµ: 8(cm)
Chu vi EFGHIK lµ : 8(cm)
C¹nh lôc gi¸c ®Òu: 
a’ = IH = (cm)
h = =
Suy ra diÖn tÝch lôc gi¸c ®Òu lµ:
S = 6.SOIH = 6.=8(cm2)
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
Bµi 4(1,5®iÓm) 
Cho tam gi¸c AMB c©n t¹i M. Trªn tia ®èi cña tia MB lÊy ®iÓm C sao cho: MB=MC. Chøng minh r»ng : = 900
AMB c©n ¢1=(gãc ngoµi AMB)
¢1= 
T­¬ng tù cã: ¢2=
¢1+¢2== 
Hay: =900