Đề thi học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

PHỊNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
Năm học : 2009 – 2010
Mơn : Tĩan
Thời gian : 120 phút ( khơng kể thời gian phát đề )
Câu 1 : ( 2 điểm ) Phân tích biểu thức sau ra thừa số
M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 )
Câu 2 : ( 4 điểm ) Định a và b để đa thức A = x4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức khác .
Câu 3 : ( 4 điểm ) Cho biểu thức : 
P = 
a) Rút gọn p .
b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / = 
c) Với giá trị nào của x thì p = 7
d) Tìm giá trị nguyên của x để p cĩ giá trị nguyên .
Câu 4 : ( 3 điểm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0
Câu 5 : ( 3điểm) 
Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N . Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm)
Câu 6 : ( 4 điểm ) Cho tam giác đều ABC . M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất .
------------- Hết ----------
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VỊNG HUYỆN
Năm học : 2008 – 2009
Mơn : Tĩan
Câu 1 : ( 2 điểm ) Ta cĩ M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 )
= ( xyz + xy2 + yx2 ) + ( xyz + xz2 + zx2 ) + ( xyz + yz2 + y2Z ) ( ½ đ )
= xy ( x + y + z ) + xz ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) ( ½ đ )
= ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) ( ½ đ ) 
Vậy M = ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) ( ½ đ )
Câu 2 : ( 4 điểm )
Ta cĩ thể viết : A = x4 – 6x3 + ax2 + bx + 1 = ( x2 – 3x + k )2	
= x4 + 9x2 + k2 – 6x3 + 2kx2 – 6kx ( 1/2đ )
= x4 – 6x3 + ( 9 + 2k )x2 – 6kx + k2 ( 1/2 đ )
Đồng nhất 2 vế ta cĩ :
a = 9 + 2k (1) ( 1/2đ )
b = - 6k (2) 
1 = k2 (3)
Từ (3) ta suy ra : k = ± 1 ( 1/2 đ )
Nếu k = - 1 ; b = 6 và a = 7 ( ½ đ )
Ta cĩ : A = x4 – 6 x3 + 7 x2 + 6 x + 1 = ( x2 – 3 x – 1 )2	 ( ½ đ )
Nếu k = 1 ; b = - 6 ; a = 11 ( ½ đ )
Ta cĩ : A = x4 – 6 x3 + 11 x2 – 6x + 1 = ( x2 – 3x + 1 )2 ( ½ đ )
Câu 3 : ( 4 điểm )
a) p = 
= ( ½ đ )
b) Với x ≠ 0 ; x ≠ ± 2 thì biểu thức p xác định ( 1/4 đ )
/x/ = nên x = hoặc x = - ( 1/4 đ )
+ Nếu x = thì p = ( ½ đ )
+ Nếu x = - thì p = ( ½ đ )
c) Với p = 7 thì Þ x = ( thỏa mãn điều kiện của x ) ( ½ đ )
d) Để p cĩ giá trị nguyên thì 2 - x phải là ước của 1 . ( ½ đ )
Từ đĩ ta cĩ : x = 1 ; x = 3 ; ( ½ đ )
Vậy để p nguyên lúc đĩ x = 1 ; x = 3 ; ( ½ đ )
Câu 4 : ( 3 điểm ) Vì a2 + b2 + c2 = 1 nên - 1 ≤ a , b , c ≤ 1
Þ a + 1 ≥ 0 ; b + 1 ≥ 0 ; c + 1 ≥ 0 ( ¼ đ )
Do đĩ : ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) ≥ 0 ( ¼ đ )
Û 1 + a + b + c + ab + ac + bc + abc ≥ 0 (1) ( 1/2 đ )
Cộng 2 vế của (1) cho 1 + a + b +c + ab + bc + ca . Ta cĩ :
 abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ 1 + a + b + c + ab + bc + ac ( 1/2 đ )
Ta biết : 1 + a + b + c + ab + bc + ac =
 ( 1 + a2 + b2 + c2+ 2a + 2b + 2c + 2 ab + 2 bc + 2 ac ) = ( 1/2 đ )
 ( 1 + a + b + c )2 ≥ 0 ( vì a2 + b2 + c2 = 1 ) ( 1/2 đ )
Vậy abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ 0 ( 1/2 đ )
Câu 5 : ( 3điểm ) 
 A
 M
 K
 G
 B C
 N
ta cĩ : ( ¼ đ )
Do MN // AC nên ( ¼ đ )
Mà ( ¼ đ )
vì AM + NC = 16 (cm) và AB + BC = 75 – AC ( 3/4 đ )
Do đĩ : Þ AC = 27 (cm) ( 3/4 đ )
Ta lại cĩ : (cm) ( 3/4đ )
Câu 6 : ( 4 điểm ) A
 Q
	( 1/2 đ ) 
 p H
 N
 B M C
Gọi p và Q là chân đường vuơng gĩc kẻ từ M và N xuống AB . 
Ta cĩ tam giác ANQ vuơng ở Q cĩ gĩc A = 600
Þ ANQ = 300	 ( 1/2 đ )
Þ AQ = AN ( 1/2 đ )
Tương tự đối với tam giác MpB ta cĩ pB = BM ( 1/2 đ )
Do đĩ : AQ + pB = (AN + NC ) = ( 1/2 đ )
Kẻ MH ^ QN . Tứ giác MpQH là hình chữ nhật ( 1/4 đ ) 
Ta cĩ MN ≥ MH = AB – ( AQ + Bp ) = AB - ( 1/2 đ )
Vậy đọan MN cĩ độ dài nhỏ nhất bằng AB . ( 1/4 đ )
 Khi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AC ( 1/2 đ )