Đề thi học sinh giỏi cấp trường Toán Lớp 8

Bµi 1: Cho a lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3. Chøng minh r»ng a2 – 1 chia hÕt cho 24
Gi¶i:
V× a2 lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 nªn a lÎa2 lµ sè chÝnh ph­¬ng lÎ 
a2 chia cho 8 d­ 1
 a2 – 1 chia hÕt cho 8 (1)
MÆt kh¸c a lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 a kh«ng chia hÕt cho 3 
a2 lµ sè chÝnh ph­¬ng kh«ng chia hÕt cho 3a2 chia cho 3 d­ 1
 a2 – 1 chia hÕt cho 3 (2)
Mµ (3,8) = 1 (3)
Tõ (1), (2), (3) a2 – 1 chia hÕt cho 24
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.
Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n N). Ta có
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1 
 = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n2 + 3n = t (t N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2 
 = (n2 + 3n + 1)2
Vì n N nên n2 + 3n + 1 N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.
Ví dụ 14. Phân tích đa thức x5 + x - 1 thành nhân tử
Lời giải
        Cách 1.
x5 + x - 1 = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - 1
 = x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)
 = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
Ví dụ 16. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
Lời giải
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng :
        (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8)
                                         = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8)
VÝ dụ 4.4 Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
Giải
Ta cã: 
VÝ dụ 4.7 Cho x, y, z > 0. Chứng minh: 
Giải
Áp dụng bất đ¼ng thức C« - Si ta cã: 
 (®pcm)
VÝ dụ 3.2
T×m cặp số (x, y) với y nhỏ nhất thỏa m·n ®iÒu kiÖn: x2 + 5y2 + 2y – 4xy – 3 = 0 (*)
Giải
Ta cã (*) .
Vậy GTNN cña y = –3. §¹t ®îc khi x = – 6. Vậy cÆp số (x, y) = (–6; –3)
VÝ dụ 3.3 Cho x, y liªn hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 7y2 + 10 = 0 (**).
 H·y t×m GTLN, GTNN của biÓu thøc: S = x + y + 1.
Giải
Ta cã (**) 
 (v× )
 S 
Vậy GTNN cña S = –4. §¹t ®ược khi x = –5, y = 0. GTLN cña S = –1
. §¹t ®îc khi x = –2, y = 0.
2
a) T×m GTNN của M = x2 – 3x + 1 với x 2.
b) T×m GTLN của N = x2 – 5x + 1 với .
Giải
a) M = . Vậy GTNN cña M = -1. §¹t ®îc khi x = 2.
b) N = . Vậy GTLN cña N = 25. §¹t ®îc khi x = -3, x = 8
Bµi 3 :
Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. Gäi M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn AC. Tõ C vÏ ®ường th¼ng vu«ng gãc víi tia BM c¾t tia BM t¹i H, c¾t tia BA t¹i O. Chøng minh r»ng :
OA.OB = OC.OH
Gãc OHA cã sè ®o kh«ng ®æi
C
K
B
O
A
H
M
Tæng BM.BH + CM.CA kh«ng ®æi.
a) BOH ~ COA (g-g) OA.OB = OC.OH
b) (1)
OHA vµ OBC cã chung (2)
Tõ (1) vµ (2) OHA ~ OBC (c.g.c)
 (kh«ng ®æi)
c) VÏ MK BC ; BKM ~ BHC (g.g) BM.BH = BK.BC (3)
CKM ~ CAB (g.g) CM.CA = BC.CK (4)
Céng tõng vÕ cña (3) vµ (4) ta ®îc BM.BH + CM.CA = BK.BC + BC.CK 
 = BC(BK + CK) = BC2 (kh«ng ®æi).