Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2010 – 2011 môn Toán lớp 8 - Trường THCS Vinh Quang

ĐỀ CHÍNH THỨC 
PHÒNG GD-ĐT HUYỆN CHIÊM HÓA Trường THCS Vinh Quang
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN TOÁN - LỚP 8
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể giao đề)
I. MỤC TIÊU:
	1. Kiến thức: Học sinh nắm chắc các kiến thức đã học của bộ môn.
	2. Kĩ năng: Vận dụng tốt các thuật toán, định lí.... vào giải bài tập.
	3. Thái độ: Nghiêm túc, chủ động, sáng tạo, trung thực trong thực hiện bài thi.
II. MA TRẬN ĐỀ:
Chủ đề
Nhận biết
Thông hiểu
Vận dụng 
Tổng
Vận dụng thấp
Vận dụng cao
Phân tích đa thức thành nhân tử 
C1ab
1
C1cd
1
2
2
Giải phương trình 
C2b
1
C2a
1
C2c
1
3
3
Tìm giá trị của biến để biểu thức nguyên
C3
2
1
2
Hình học tổng hợp
C4a
1
C4b
1
C4c
1
3
3
Tổng
3
3
3
3
3
4
9
10
III. ĐỀ BÀI:
Câu 1 (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử :
x2 + 6x + 5 b) x3 + y3 + z3 – 3xyz 
(x2 – x + 1 )( x2 – x +2 ) – 12 d) 2x4 – 7x3 – 2x2 + 13x + 6
Câu 2 (3 điểm) Giải các phương trình sau : 
 a) b) x3 – 4x2 + x + 6 = 0 
 c) 
Câu 3(2 điểm) Tìm x nguyên để biểu thức : là số nguyên.
Câu 4(3 điểm) Cho đoạn thẳng AC = m. Lấy điểm B bất kì thuộc đoạn AC (không trùng với A và C). Tia Bx vuông góc với đoạn thẳng AC. Trên tia Bx lần luợt lấy các điểm D và E sao cho BD = BA , BE = BC.
Chứng minh rằng : CD = AE và CD AE.
Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AE , CD. Gọi I là trung điểm cảu MN. Chứng minh rằng : Khoảng cách từ điểm I đến đoạn thẳng AC không đổi khi điểm B di chuyển trên đoạn thẳng AC.
Tìm vị trí của điểm B trên đoạn AC sao cho tổng diện tích hai tam giác ABE và BCD có giá trị lớn nhất. Tính giá trị đó.
- Hết -
IV. HƯỚNG DẪN CHẤM:
Câu
Đáp án
Điểm
1
a) x2+6x+5 = x2+x+5x+5 = x(x+1) + 5(x+1) = (x+1)(x+5)
0.5
b) Ta có: (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy3 + y3
Þ x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y)3 + z3 - 3xy(x + y + z)
= (x+y+z)-3xy(x + y +z)
= (x+y+z)(x2+y2+ z2- xy-yz-xz)
0.5
c) Đặt t = x2 - x + 1. Khi đó : 
 (x2 – x +1)( x2 –x+2)–12 = t(t +1)–12 
 = t2 + t –12 = (t–3)(t+4) 
 = (x2 – x – 2)( x2 – x +5)
0.5
d) 2x4 - 7x3 - 2x2 +13x +6 = 2x4 + 2x3 - 9x3 - 9x2 +7x2 +7x+6x+6
 = 2x3(x+1) - 9x2(x+1)+7x(x+1)+6(x+1) 
 = (x+1)(2x3 - 9x2 +7x+6) = (x+1)(2x3- 6x2 - 3x2 +9x- 2x+6)
 = (x+1)[2x2(x- 3)-3x(x- 3)- 2(x- 3)] = (x+1)(x - 3)(2x2 - 3x - 2)
 = (x+1)(x- 3)(2x+1)(x - 2) 
0.5
2
a) (PT) 
0.25
0.25
 ( vì 0 ) x = -15.
Vậy PT có tập nghiệm S = 
0.25
b) (PT) (x + 1)(x – 2)(x – 3) = 0 
x + 1 = 0 hoặc x – 2 = 0 hoặc x – 3 = 0
x = -1 ; x = 2 ; x = 3.Vậy PT có tập nghiệm S = 
0.25
 c) ĐKXĐ : 
0.5
(PT)
0.25
0.5
0.25
Khử mẫu ta được:(x – 8)(x – 2) = 7 . Vậy S=
0.5
3
Ta có: A = x2 + 3x – 1 + 
0.5
Vì xZ thì x2+3x –1Z nên để A là số nguyên thì Z 
hay 2x+1Ư(4) mà Ư(4) = . 
0.5
+) Với 2x +1= -1 => x = -1 (t/m) 
+) Với 2x+1=2 => x = (loại)
+) Với 2x +1 = 1 => x = 0 (t/m) 
+) Với 2x+1 =- 4 => x = (loại)
+) Với 2x+1 = -2 => x =(loại) 
+) Với 2x +1 = 4 => x = (loại)
Vậy giá trị x = th× gi¸ trÞ A lµ sè nguyªn. 
0.5
0.5
4
4
GT
Cho AC = m. Lấy BAC; Bx AC.
D,E Bx \ BD = AB; BE = BC.
MA = ME (MAE);ND = NC (NCD)
IM = IN (IMN)
KL
a) C/m: AE = CD và AE CD
b) K/c từ I đến AC không đổi 
c) Tìm vị trí của B\ SABE + SBCD lớn nhất
0.25
0.25
a) Gäi K lµ giao ®iÓm cña CD vµ AE.
C/m ®­îc ABE = DBC(c.g.c) => AE = CD.
Lại có: = = mà + = 900 nên + = 900.
Do đó: = 900 hay AE CD
0.25
0.25
b) Gọi M’,N’,I’ lần lượt là hình chiếu của M,N,I trên AC.
 Xét ABE ( = 900) có BM là đường trung tuyến 
=> MA = ME = BM = AE
 Xét BCD ( = 900) có BN là đường trung tuyến 
=> NC = ND = BN = CD
Mà AE = CD (câu a) => BM = BN.
Lại có : MBE cân tại M => = và NBD cân tại N 
 => = .
Do đó: = + = 900hay = 900.
C/m được BMM’ = NBN’(cạnh huyền_góc nhọn) 
=> BM’ = NN’ và MM’ = BN’
=> MM’ + NN’ = BM’ + BN’ = AB + BC 
= AC = m (vì MAB và NBC cân)
Xét hình thang MM’N’M có I I’ // MM’ // NN’ và IM = IN 
nên II’ là đường trung bình của hình thang
=> II’ = (MM’ + NN’) = m (không đổi) => đpcm.
0.5
0.5
0.5
c) Đặt AB = x => BE = m – x. 
Khi đó: SABE+SBCD =AB.BE+BD.BC
 = AB.BE = x(m–x)(vì AB=BD và BE=BC)
Do đó: SABE + SBCD lớn nhất x(m – x) lớn nhất. 
Mà tích x(m–x) có tổng x +m–x = m là không đổi.
Nên để tích x(m–x) lớn nhất thì x = m–x x = m.
VËy ®Ó SABE + SBCD lín nhÊt th× B lµ trung ®iÓm cña BC. 
0.5
Tổng
10.0
Ghi chú: Học sinh giải theo cách khác kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa
Chuyên môn nhà trường duyệt
Tổ chuyên môn duyệt
Người ra đề
Phan Vũ Anh