Đề thi chọn học sinh năng khiếu môn Toán học cấp THCS - Phòng GD&ĐT huyện Đoan Hùng

Phòng giáo dục và đào tạo huyện đoan hùng
Đề thi chọn học sinh năng khiếu toán lớp 6
 Năm học 2009-2010
 Ngày thi: 20 tháng 04 năm 2010
(Thời gian làm bài: 90 phút – Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 2.0 điểm ) 
a) Rỳt gọn phõn số: 
b)So sỏnh khụng qua quy đồng:
Bài 2: ( 2.0 điểm ) 
Khụng quy đồng hóy tớnh hợp lý cỏc tổng sau: 
a)
b) 
Bài 3: ( 2.0 điểm ) 
Một người bỏn năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg. Sau khi bỏn một giỏ cam thỡ số lượng xoài cũn lại gấp ba lần số lượng cam cũn lại. Hóy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài?
Bài 4: ( 3.0 điểm ) 
 	Cho gúc AOB và gúc BOC là hai gúc kề bự . Biết gúc BOC bằng năm lần gúc AOB. 
a) Tớnh số đo mỗi gúc. 
b) Gọi OD là tia phõn giỏc của gúc BOC. Tớnh số đo gúc AOD.
c) Trờn cựng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thờm 2006 tia phõn biệt (khụng trựng với cỏc tia OA;OB;OC;OD đó cho) thỡ cú tất cả bao nhiờu gúc?
Bài 5: ( 1.0 điểm ) 
	 Cho p và p + 4 là các số nguyên tố( p > 3) .
 Chứng minh rằng p + 8 là hợp số 
 Họ và tên thí sinh: ..SBD:
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Phòng giáo dục và đào tạo huyện đoan hùng
Hướng dẫn chấm học sinh giỏi toán lớp 6
Năm học 2009-2010
Một số chú ý khi chấm bài:
ã Hướng dẫn chấm dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Thí sinh giải cách khác mà cho kết quả đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang điểm của Hướng dẫn chấm.
ã Giám khảo cần bám sát yêu cầu giữa phần tính và phần lí luận của bài giải của thí sinh để cho điểm. 
ã Tổ chấm nên chia điểm nhỏ đến 0, 25. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn. 
Đáp án và biểu điểm
Bài 1: ( 2.0 điểm ) 
a) Rỳt gọn phõn số: 
b)So sỏnh khụng qua quy đồng:
Đáp án
Thang điểm
a) 
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 2: ( 2.0 điểm ) 
Khụng quy đồng hóy tớnh hợp lý cỏc tổng sau: 
a)
b) 
Đáp án
Thang điểm
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 3: ( 2.0 điểm ) 
Một người bỏn năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg. Sau khi bỏn một giỏ cam thỡ số xoài cũn lại gấp ba lần số cam cũn lại. Hóy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài?
Đáp án
Thang điểm
Tổng số xoài và cam lỳc đầu: 65+ 71+ 58+ 72+ 93 = 359 (kg) 
Vỡ số xoài cũn lại gấp ba lần số cam cũn lại nờn tổng số xoài và cam cũn lại là số chia hết cho 4, mà 359 chia cho 4 dư 3 nờn giỏ cam bỏn đi cú khối lượng chia cho 4 dư 3.
Trong cỏc số 65; 71; 58; 72; 93 chỉ cú 71 chia cho 4 dư 3 .
Vậy giỏ cam bỏn đi là giỏ 71 kg. 
Số xoài và cam cũn lại : 359 - 71= 288 (kg) 
Số cam cũn lại : 288:4 = 72(kg) 
Vậy: cỏc giỏ cam là giỏ đựng 71 kg ; 72 kg .
 cỏc giỏ xoài là giỏ đựng 65 kg ; 58 kg; 93 kg. 
0.5
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
Bài 4: ( 3.0 điểm ) 
 	Cho gúc AOB và gúc BOC là hai gúc kề bự . Biết gúc BOC bằng năm lần gúc AOB. 
a) Tớnh số đo mỗi gúc. 
b) Gọi OD là tia phõn giỏc của gúc BOC. Tớnh số đo gúc AOD.
c) Trờn cựng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thờm 2006 tia phõn biệt (khụng trựng với cỏc tia OA;OB;OC;OD đó cho) thỡ cú tất cả bao nhiờu gúc?
Đáp án
Thang điểm
Vẽ hỡnh đỳng 
A
B
C 
O
D
a)Vỡ gúc AOB và gúc BOC là hai gúc kề bự nờn: AOB + BOC =1800 
 mà BOC = 5AOB nờn: 6AOB = 1800 
Do đú: AOB = 1800 : 6 = 300 ; BOC = 5. 300 = 1500 b)Vỡ OD là tia phõn giỏc của gúc BOC nờn BOD = DOC =BOC = 750. Vỡ gúc AOD và gúc DOC là hai gúc kề bự nờn: AOD + DOC =1800 
 Do đú AOD =1800 - DOC = 1800- 750 = 1050 c) Tất cả cú 2010 tia phõn biệt. Cứ 1 tia trong 2010 tia đú tạo với 2009 tia cũn lại thành 2009 gúc. Cú 2010 tia nờn tạo thành 2010.2009gúc, nhưng như thế mỗi gúc được tớnh hai lần .Vậy cú tất cả =2 019 045 gúc 
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 5: ( 1.0 điểm ) 
	 Cho p và p + 4 là các số nguyên tố( p > 3) .
 Chứng minh rằng p + 8 là hợp số 
Đáp án
Thang điểm
 P có dạng 3k + 1; 3k + 2 kN
Dạng p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số trái với đề bài 
p = 3k + 1 p + 8 = 3k + 9 3 
 p + 8 là hợp số
0.5
0.5
Phòng giáo dục và đào tạo huyện đoan hùng
Đề thi chọn học sinh năng khiếu toán lớp 7
Năm học 2009-2010
Ngày thi: 20/04/2010
(Thời gian làm bài: 90 phút – Không kể thời gian giao đề)
Bài 1. ( 2.0 điểm ) 
 a) Thực hiện phép tính:
 b) Tìm x, biết: 
Bài 2. (2.5 điểm) 
 	Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 3; 4; 5. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào?
Bài 3. ( 2.0 điểm ) 
1. So sánh: a) 5020 và 255010 ; b) (-3)50 và (-5)30
2. Tìm các cặp số nguyên âm (a, b) sao cho: 
Bài 4. (2.5 điểm) 
Tam giác ABC có . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tính .
Bài 5. (1.0 điểm) 
Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: 
 Họ và tên thí sinh: ..SBD:
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Phòng giáo dục và đào tạo huyện đoan hùng
Hướng dẫn chấm học sinh năng khiếu toán lớp 7
Năm học 2009-2010
Một số chú ý khi chấm bài:
ã Hướng dẫn chấm dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Thí sinh giải cách khác mà cho kết quả đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang điểm của Hướng dẫn chấm.
ã Giám khảo cần bám sát yêu cầu giữa phần tính và phần lí luận của bài giải của thí sinh để cho điểm. 
ã Tổ chấm nên chia điểm nhỏ đến 0, 25. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn. 
Đáp án và biểu điểm
Bài 1: ( 2.0 điểm ) 
 a) Thực hiện phép tính:
 b) Tìm x, biết: 
Đáp án
Thang điểm
a) 
0,25
0,25
0.25
0.25
Ta có:
0,25
0,25
0.25
0.25
Bài 2 (2.5 điểm) 
 Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào?
Đáp án
Thang điểm
- Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là a; b; c , ba chiều cao tương ứng là x; y; z , và diện tích tam giác là S,
 Ta có: S = a.x => a = 
 S = => b = 
 S = => c = 
 Do ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 3; 4; 5 ta có: 
 Từ đó: 
Vậy ba chiều cao tương ứng tỉ lệ với 20; 15; 12
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 3. ( 2.0 điểm ) 
1. So sánh: a) 5020 và 255010 ; b) (-3)50 và (-5)30
2. Tìm các cặp số nguyên âm (a, b) sao cho: 
Đáp án
Thang điểm
a) 
b) 
do 
0,5
0,5
2. 
do b < 0 và b là ước của 12 nên ta có bảng sau:
b
-1
-12
-2
-6
-3
-4
a -2
-12
-1
-6
-2
-4
-3
a
-10
1
-4
0
-2
-1
Vậy (a, b) = 
0,5
0,5
Bài 4 (2.5 điểm) 
 Tam giác ABC có . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tính ?
Đáp án
Thang điểm
Ta A
B
C
D
H
có: ( hai góc kề bù)
Do đó vẽ thêm DH AC
CDH có => CDH là nửa tam giác 
đều cạnh CD nên CH = 
Mà BC = (gt) 
CH = BC => CBH cân tại C do đó 
=> AHB cân tại H
=> 
Ta cũng có: 
Từ đó AHD vuông cân => 
Vậy 
0.25
0.5
0.5
0.25
0.5
0.5
Bài 5 (1.0 điểm) 
Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: 
Đáp án
Thang điểm
 => => xy - 5x - 5y = 0
 => xy - 5x - 5y + 25 = 25 => (x - 5)(y - 5) = 25 =>
 x - 5 = 25 => x = 30, y = 6
 x - 5 = 5 => x = 10, y = 10
 x - 5 = 1 => x = 6, y = 30
1.0
Phòng giáo dục và đào tạo huyện đoan hùng
Đề thi chọn học sinh năng khiếu toán lớp 8
Năm học 2009-2010
Ngày thi: 20 tháng 04 năm 2010
(Thời gian làm bài: 90 phút – Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 2.5 điểm) 
a) Chứng minh rằng: 1110 - 1 chia hết cho 100.
	b) Phân tích thành nhân tử: 
Bài 2: ( 2.5 điểm) 
Cho biểu thức: Q = 1 + 
a) Rỳt gọn Q.
b) Tớnh giỏ trị của Q biết: 
c) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để Q cú giỏ trị nguyờn.
Bài 3: ( 2.0 điểm) 
Cho 3 số tự nhiên a, b, c. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 3 thì:
 a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hết cho 6.
Bài 4: ( 3.0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
a) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m = AB.
b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .
 Họ và tên thí sinh: ..SBD:
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Phòng giáo dục và đào tạo huyện đoan hùng
Hướng dẫn chấm học sinh giỏi toán lớp 8 
Năm học 2009-2010
Một số chú ý khi chấm bài:
ã Hướng dẫn chấm dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Thí sinh giải cách khác mà cho kết quả đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang điểm của Hướng dẫn chấm.
ã Giám khảo cần bám sát yêu cầu giữa phần tính và phần lí luận của bài giải của thí sinh để cho điểm. 
ã Tổ chấm nên chia điểm nhỏ đến 0, 25. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn. 
Đáp án và biểu điểm
Bài 1: ( 2.5 điểm) 
a) Chứng minh rằng: 1110 - 1 chia hết cho 100.
	b) Phân tích thành nhân tử: 
Đáp án
Thang điểm
 a) 1110 - 1 = ( 11 -1 )()
 = 10()
 Vỡ 10 10
 và () cú chữ số tận cựng ( hàng đơn vị) bằng 0
 Nờn: () chia hết cho 10
 Vậy: 1110 - 1 chia hết cho 10.
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
b) Ta nhận thấy a = 1, a = 2 là nghiệm của đa thức nên: 
1.25
Bài 2: ( 2.5 điểm) 
Cho biểu thức: Q = 1 + 
a) Rỳt gọn Q.
b) Tớnh giỏ trị của Q biết: 
c) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để Q cú giỏ trị nguyờn.
Đáp án
Thang điểm
a) Q = 1 + 
=
 (Điều kiện: x0;-1; 2)
0.25
0.25
0.25
0.25
( Loại)
V ới x =
0.75
c) Q với 
0.75
Bài 3: ( 2.0 điểm) 
Cho 3 số tự nhiên a, b, c. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 3 thì:
 a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2 chia hết cho 6.
Đáp án
Thang điểm
A = a + b + c 3 =>2A 6; B = a3 + b3 + c3 + 3a2+ 3b2 + 3c2
 C = B + 2A = a3 + 3a2 + 2a + b3 + 3b2 + 2b + c3 + 3c2 + 2c 
 = a(a + 1)(a + 2) + b(b + 1)(b + 2) + c(c + 1)(c + 2)
a(a + 1)(a + 2), b(b + 1)(b + 2), c(c + 1)(c + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 => C 6 => B 6 
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 4: ( 3.0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
a) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m = AB.
b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .
Đáp án
Thang điểm
a) Hai tam giác ADC và BEC có: 
 Góc C chung. 
 (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
 Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). 
Suy ra: (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra: 
1.0
b) Ta có: (do )
mà (tam giác AHD vuông vân tại H)
nên (do )
Do đó (c.g.c), suy ra: 
1.0
c) Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suy ra: , mà 
Do đó: 
1.0