Đề thi chọn học sinh năng khiếu Đại số Lớp 6,7,8 - Năm học 2006-2007 - Phòng GD Huyện Đoan Hùng

Phòng Giáo dục Huyện Đoan Hùng
đề thi chọn học sinh năng khiếu
 Năm học 2006 – 2007
Môn : Toán - lớp 6
(Thời gian 90 phút không kể thời gian giao đề)
___________________________________________
Câu1. (2 điểm)
 a) Tìm x biết:
 b) Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý nhất:
 29.(19 – 13) – 19.(29 – 13)
Câu 2. (2 điểm)
 a) Tính tích sau bằng cách nhanh nhất:
 T = 
 b) Tính nhanh tổng sau:
 P = 
Câu 3. (2 điểm) 
 Một số sách khi gói thành: 2 gói; 3 gói; 4 gói; 5 gói(mỗi lần gói số sách trong các gói là đều nhau) thì đều thừa 1 quyển. Tính số sách, biết số sách đó trong khoảng 100 đến 150 quyển.
Câu 4. (2 điểm) Chứng tỏ rằng 
 Tổng A = chia hết cho 7
Câu 5. (2 điểm) 
 a) Kỷ niệm 117 năm ngày sinh Chủ Tịch Hồ Chí Minh năm nay, ngày 19 tháng 5 năm 2007 rơi vào thứ bảy. Hỏi ngày 19 tháng 5 năm 1995 rơi vào thứ mấy?
 b) Hãy chứng tỏ rằng có thể lập được một dãy số gồm 1000 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số.
________________________________________________________
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Phòng Giáo dục Huyện Đoan Hùng
Hướng dẫn chấm thi Môn : Toán 6
Bài
Nội dung cần đạt
Điểm
Câu 1: 2đ
2x + 10 = 45 : 43
2x + 10 = 42 = 16
 2x = 6
 x = 3
0,5
0,5
b) A = 29.19 – 29.13 – 19.29 + 19.13
 = - 29.13 + 19.13
 = 13.(-29+19) = 13.(-10) = -130
0,5
0,5
Câu 2:
2đ
T = 
T = = 
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu3:
2đ
Gọi số sách phải tìm là a ; aN
Theo bài ra ta có a chia cho 2; 3 ; 4 ; 5 đều dư 1
 và 
Suy ra a-1 là bội của 2 ; 3 ; 4 ; 5 và 
Tìm được a-1 = 120 
Suy ra a = 121. Vậy số sách phải tìm là 121 quyển
1,0
1,0
Câu 4: 2đ
A = (2 + 22 + 23) +(24 + 25 + 26) + (27+ 28+ 29) + (210 + 211 +212)
 = 2.(1+2+22) + 24.(1+2+22) + 27.(1+2+22) + 210.(1+2+22)
 = 2.7 + 24.7 + 27.7 + 210.7
 = 7.( 2 + 24 + 27 + 210)
 Suy ra A chia hết cho 7
1,0
1,0
Câu 5: 2đ
Từ ngày 19 tháng 5 năm 1995 đến ngày 19 tháng 5 năm 2007 có 12 năm , trong đó có 3 năm nhuận:1996 ; 2000; 2004
Trong thời gian đó có : 
 365.12 + 3 = 4383 ngày
 4383:7 = 626 tuần dư 1 ngày
Do vậy nếu ngày 19 tháng 5 năm 2007 rơi vào thứ bảy thì ngày 19 tháng 5 năm 1995 rơi vào ngày thứ 6 
0,5
0,25
0,25
Chọn số tự nhiên : a = 2.3.4.51000.1001
Thì a chia hết cho các số : 2 ; 3; 4; 5 ;; 1000 ; 1001
Lập dãy gồm 1000 số tự nhiên liên tiếp : 
a + 2 ; a + 3 ; a + 4 ;  ; a + 1000 ; a + 1001
 vì a2 nên a + 2 2 (tính chất chia hết của tổng) 
 lại có a > 2 ( cách chọn số a)
 suy ra a + 2 là hợp số 
Tương tự ta chứng minh được các số a + 3 ; a + 4;; a + 1001 đều là hợp số .
Vậy dãy số gồm 1000 số tự nhiên liên tiếp
 a+2; a+3; a+4; ; a +1001đều là hợp số (với a = 2.3.41000.1001) 
0,25
0,25
0,25
0,25
Một số lưu ý khi chấm bài: 
- Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm, giám khảo phải bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic.
- Thí sinh làm cách khác mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm từng phần tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.
- Tổ chấm có thể chia nhỏ điểm tới 0,25 điểm.
- Điểm của bài thi là tổng điểm thành phần không làm tròn số.
________________________________________________
Phòng Giáo dục Huyện Đoan Hùng
đề thi chọn học sinh năng khiếu
 Năm học 2006 – 2007
Môn : Toán - lớp 7
(Thời gian 90 phút không kể thời gian giao đề)
___________________________________________
Câu1. (2 điểm)
 a) Tính nhanh:
 b) Tìm số hữu tỷ x ; biết 
Câu 2. (2 điểm)
 a) Chứng minh rằng: chia hết cho 14
 b) So sánh 291 và 535
Câu 3. (2 điểm)
 Tìm hai số hữu tỷ x và y biết x + y = x.y = x: y
Câu 4. (2 điểm) Cho tam giác vuông ABC ; ; BC = 15cm. Tính các cạnh AB và AC ?
Câu 5. (2 điểm)
 Cho tam giác ABC có =750 ; đường cao AH bằng một nửa cạnh BC. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.
________________________________________________________
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Phòng Giáo dục Huyện Đoan Hùng
Hướng dẫn chấm thi Môn : Toán 7
Bài
Nội dung cần đạt
điểm
Câu1: 2đ
a) Biến đổi biểu thức thành :
1,0
b) vì với mọi x
 nên đồng thời xảy ra, hay x=1,5 và x=2,5.Điều này không xảy ra.
Vậy không tìm được số hữu tỷ nào thoả mãn.
0,25
0,5
0,25
Câu 2 :2đ
a) M=87-218 = (23)7-218 = 221-218=217(24-2) = 217.14
 Suy ra M chia hết cho 14
1,0
b) 291 > 290 = (25)18 = 3218
 535 < 536 = (52)18 = 2518 
vì 3218 > 2518 nên 291 > 535 
0,5
0,5
Câu 3: 2đ
Từ x+y = x.y x = xy-y x = y(x-1) x:y = x-1
	x+y = x:y = x-1y = -1
 thay vào x+y = x.y ta có x-1 = -x x = 
Vậy tìm được hai số hữu tỷ thoả mãn x = ; y = -1
1,0
1,0
Câu 4: 2đ
Biến đổi để có : 
Theo tính chất dãy tỷ số bằng nhau và định lý Pitago có: 
 Suy ra AB2 = 9.9 AB = 9(cm)
 AC2 = 16.9 AC = 12(cm)
0,5
1,0
0,5
Câu 5: 2đ
+ Dựng điểm D sao cho tam giác ABD đều ( D và C nằm trên cùng nửa mặt phẳng có bờ chứa AB)
+ Chứng minh:
Gọi M là trung điểm của cạnh BC
Dễ dàng tính được 
Suy ra tam giác DBC là tam giác cân vì có trung tuyến DM đồng thời là đường cao 
Từ đó tính được 
Suy ra tam giác ABC cân tại C (điều phải chứng minh)
0,5
0,5
0,5
0,5
Một số lưu ý khi chấm bài: 
- Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm, giám khảo phải bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic.
- Thí sinh làm cách khác mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm từng phần tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.
- Tổ chấm có thể chia nhỏ điểm tới 0,25 điểm.
- Điểm của bài thi là tổng điểm thành phần không làm tròn số.
________________________________________________
Phòng Giáo dục Huyện Đoan Hùng
đề thi chọn học sinh năng khiếu
 Năm học 2006 – 2007
Môn : Toán - lớp 8
(Thời gian 90 phút không kể thời gian giao đề)
___________________________________________
Câu 1. (2 điểm)
 a) Phân tích đa thức thành nhân tử : x2 + 5x - 6
 b) Rút gọn : 
 3.(22+1).(24+1).(28+1).(216+1)
Câu 2. (1,5 điểm) 
 a) Chứng minh rằng : 
 b) Tìm x biết : 
Câu 3. (2 điểm) Cho biểu thức :
 P = 
Rút gọn biểu thức P, rồi tìm giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó?
Câu 4. (2,5 điểm)
 a) Cho hai số dương x và y ; Chứng minh rằng :
 b) Trong các tam giác có chu vi là 1; hãy tìm tam giác có tổng các nghịch đảo của các cạnh là nhỏ nhất? 
Câu 5. (2 điểm)
 Gọi AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD. Từ C lần lượt vẽ các đường vuông góc CM ; CE với các đường thẳng AB ; AD (M và E là chân các đường vuông góc).
 Chứng minh rằng : AB . AM + AD . AE = AC2
________________________________________________________
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Phòng Giáo dục Huyện Đoan Hùng
Hướng dẫn chấm thi Môn : Toán 8
Bài
Nội dung cần đạt
Điểm
Câu 1:
2đ
a) x2+5x-6 = x2 + 6x- x- 6 
 = x.(x+6) – (x+6)
 = (x+6).(x-1)
b) 3.(22+1).(24+1).(28+1).(216+1)
 = (22-1).(22+1).(24+1).(28+1).(216+1)
 = (24-1).(24+1).(28+1).(216+1)
 = (28-1).(28+1).(216+1)
 = (216-1) (216+1)
 = 232-1
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 2:
1,5đ
a) 
b) Điều kiện áp dụng chứng minh a) ta có:
0,5
0,25
0,5
0,25
Câu 3:
2đ
+ Điều kiện : x
+ Rút gọn : P = 
 + Xét biểu thức : x2+2x+2 = (x+1)2 +1 với mọi x
Suy ra –x2-2x-2 = - với mọi x
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=-1; x= -1 thoả mãn điêù kiện
Vậy với x=-1 thì P đạt giá trị lớn nhất bằng -1
0,25
1,0
0,75
Câu 4:
2,5đ
a) vì x;y là hai số dương nên:
b) Gọi a;b;c là các cạnh của tam giác ; theo bài ra ta có : a+b+c = 1
 Suy ra : 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy tổng các nghịch đảo các cạnh nhỏ nhất là 9 , khi tam giác đó là tam giác đều cạnh bằng 
1,0
0,5
0,5
0,5
Câu 5:2đ
+ Vẽ hình (phải vẽ được BHAC)
+ Chứng minh:
 Vẽ BHAC ta có :
vì AE // BC nên (so le trong) 
Cộng theo vế của (1) và (2) ta có :
AB.AM + AD.AE = AC.AH + AC.HC = AC.(AH+HC) = AC2
0,5
0,5
0,5
0,5
Một số lưu ý khi chấm bài: 
- Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm, giám khảo phải bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic.
- Thí sinh làm cách khác mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm từng phần tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.
- Tổ chấm có thể chia nhỏ điểm tới 0,25 điểm.
- Điểm của bài thi là tổng điểm thành phần không làm tròn số.