Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 số 3 - Trường THCS Quang Trung

TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - SỐ 3
MÔN : TOÁN LỚP 8
Thời gian làm bài : 60 phút
Bµi 1 (2 ®iÓm )
 	a. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
 	A = x4 - 6x3 + 27x2 - 54x + 32
 	b. A,p dông chøng minh víi mäi sè nguyªn n gi¸ trÞ c¶ biÓu thøc A lµ sè ch½n 
 	A = n4 - 6n3 + 27n 2 - 54n + 32 lµ sè ch½n
Bµi 2 (3 ®iÓm)
Cho hai biÓu thøc : 
a. Rót gän A , B 
b.Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A + B cã gi¸ trÞ lín nhÊt ? T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. 
Bài 3 (2 ®iÓm ) Một khối 8 có số học sinh đội tuyển Toán bằng số học sinh đội tuyển Anh và bằng số học sinh đội tuyển Văn. Đội tuyển Văn có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của hai đội tuyển kia là 38 học sinh. Tính số học sinh của mỗi đội tuyển.
Bài 4 (2,5 ®iÓm ) Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC, biết AB=5cm, AM=6cm và AC=13cm. Đường thẳng qua B và vuông góc với BC cắt đường thẳng AM ở D. Đường thẳng qua C và vuông góc với BC cắt đường thẳng AB ở E. Chứng minh CD vuông góc ME.
Bài 5 (0,5 ®iÓm ) Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn: 
 .
***** Hết *****
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - SỐ 3
MÔN THI : TOÁN LỚP 8
Bµi
Néi dung
®iÓm
Bµi 1
2 ®iÓm 
a, Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö : 
 A = x4 - 6x3 + 27x2- 54x +32
 = (x - 1)(x3- 5x2 +22x -32)
 = ( x - 1)( x – 2 )( x2-3x + 16)
1 ®
b. Chøng minh víi mäi sè nguyªn n gi¸ trÞ c¶ biÓu thøc A lµ sè ch½n : 
 Víi n gi¸ trÞ c¶ biÓu thøc:
 A = n4 -6n3 +27n 2 -54n +32 
 A = ( n - 1)( n – 2 )( n2-3n + 16)
n => n – 1 , n – 2 => ( n - 1); ( n – 2 ) lµ hai sè nguyªn liªn tiÕp 
=> ( n - 1)( n – 2 ) 2 => ( n - 1)( n – 2 ) = 2 k 
víi k => A = 2k.( n2-3n + 16) => A lµ sè ch½n 
1 ®
Bµi 2
3 ®iÓm 
 a. Rót gän A 
§KX§ 
 Rót gän B 
 §KX§ 
 b. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A + B 
Víi §KX§ ta cã 
V× 
VËy GTLN cña A + B lµ ( tho¶ m·n §K)
1 ®
0,5 ®
0,5 ®
1 ®
Bµi 3
2 ®iÓm 
Gọi số học sinh đội tuyển Toán, Anh,Văn thứ tự là x, y, z 
(x, y, z N) .Ta có 
Tính đúng: x = 36; y = 32; z = 30 và kết luận 
(1đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
Bµi 4
2,5 ®iÓm 
(0,5đ)
Gọi AM cắt EC tại K. trên đoạn MK lấy điểm I sao cho 
MI = MA = 6cm
 vuông tại I 
 có BC, KM là các đường cao 
 M là trực tâmEMBK (I)
Mà MB=MC và 
Từ (I) và (II) suy ra: EM DC
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
Bµi 5
0,5 ®iÓm 
vì là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3chia hết cho 3
- Nếu thì vế trái chia hết cho 3 còn vế phải không chia hết cho 3 (vô lí) b = 0.
Thay b = 0 vào ta tìm được a = 3.
 Vậy a = 3 và b = 0.
(0,5 điểm)