Đề tài Phân tích đa thức thành nhân tử

PHÒNG GD& ĐT H. TIỂU CẦN
TRƯỜNG THCS TT TIỂU CẦN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“ Đề tài : Phân tích đa thức thành nhân tử”
Giáo viên : Trần Trung Hiếu
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
	Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những dạng toán đòi hỏi rất nhiều tư duy, bởi vì dạng toán này có nhiều cách giải khác nhau. Chính vì vậy, nhằm giúp học sinh có sự linh hoạt, nhạy bén trong tư duy giáo viên cần trang bị thêm cho các em một vài phương pháp mới ngoài ba phương pháp cơ bản đã học trong chương trình đại số 8. Đó chính là lí do tôi chọn đề tài “ Phân tích đa thức thành nhân tử ”.
II. NHỮNG CÁCH THỨC THỰC HIỆN : 
1. Nội dung : Ngoài 3 phương pháp cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần hướng dẫn cho HS một vài phương pháp khác cụ thể như sau :
a/ Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử :
Để phân tích đa thức dạng tam thức bậc hai ax2 + bx + c(a ¹ 0) thành nhân tử, ta làm như sau :
Bước 1 : Tìm tích ac.
Bước 2 : Phân tích ac ra tích 2 thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3 : Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
Ví dụ : Phân tích đa thức 6x2 – 11x +3 thành nhân tử.
- Bước 1 : Tích ac = 6.3 = 18
- Bước 2 : Phân tích 18 ra tích hai thừa số nguyên : 
18 = 1.18 = -1.(- 18) = 2.9 = -2.(- 9) = 3.6 = -3.(- 6).
- Bước 3 : Chọn hai thừa số nguyên mà có tổng bằng -11, đó là : - 2 và – 9.
Vậy : 6x2 – 11x +3 = (6x2 – 2x) – (3x – 3)
	 = 2x(3x – 1) – 3(x – 1) 
	 = (3x-1)(2x-3)
Trên đây là một trong các cách thức phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử. Còn có thể tách một hạng tử thành nhiều hạng tử theo nhiều cách khác. Chẳng hạn phân tích đa thức x2 – 6x + 8 thành nhân tử, có thể làm như sau :
Cách 1 : x2 – 6x + 8 = x2 – 2x – 4x + 8
Cách 2 : x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1
Cách 3 : x2 – 6x + 8 = (x2 – 4x + 4) – 2x + 4
Cách 4 : x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) - 6x + 12
Cách 5 : x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) - 6x + 24
b/ Phương pháp đổi biến :
Ví dụ 1: Phân tích đa thức (x2 + x) + 4x2 + 4x – 12 thành nhân tử.
Ta nhận thấy nếu đặt x2 + x = y thì đa thức trên trở thành y2 + 4y – 12 là tam thức bậc 2 đối với y, dễ dàng phân tích được (y + 6)(y – 2). Do đó đa thức ban đầu được phân tích thành (x2 + x +6)(x2 + x – 2) = (x2 + x +6)(x + 2)( x – 1).
Cách làm trên gọi là đổi biến.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 6x4 – 11x2 + 3 thành nhân tử.
Đặt x2 = y. Ta được : 6y2 – 11y +3 = (6y2 – 2y) – (9y -3)
	 = 2y(3y – 1) – 3(3y-1)
	 = (3y – 1)(2y – 3)
Do đó : 6x4 – 11x2 + 3 = (3x2 – 1)(2x2 – 3)
c/ Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử :
Ví dụ 1 : Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử. Ta thấy đa thức x4 + 4 không thể dùng các phương pháp đã biết để phân tích thành nhân tử, đa thức trên có thể phân tích thành nhân tử khi sử dụng phương pháp sau :
	x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 
	= (x2 + 2)2 – (2x)2
	=(x2 – 2x +2)( x2 + 2x +2)
Cách làm trên gọi là thêm bớt cùng một hạng tử.
Ví dụ 2 : Phân tích đa thức x5 + x +1 thành nhân tử.
Để “nối” từ x5 đến x, ta thêm bớt x4, x3 x2.
Ta có : x5 + x +1 = x5 + x4 - x4+ x3 – x3 + x2 – x2 + x +1
	 = ( x5 + x4 + x3) - (x4 + x3 + x2) +(x2 + x +1)
	 = x3(x2 + x +1) – x2(x2 + x +1) + (x2 + x +1)
	 = (x2 + x +1)(x3 – x2 +1).
Cách khác : Thêm bớt x2 để làm xuất hiện nhân tử chung x2 + x +1.
Ta có : x5 + x +1 = x5 – x2 + x2 + x +1
	 = x2(x3-1) + (x2 + x +1)
	 = x2(x-1)( x2 + x +1) + (x2 + x +1)
	 = (x2 + x +1)(x3 – x2 +1)
Ví dụ 3 : Phân tích đa thức x7 + x2 +1 thành nhân tử
Thêm bớt x để làm xuất hiện nhân tử chung x2 + x +1 , ta có :
	x7 + x2 +1 = x7 + x2 + x – x +1
	 = (x7-x) + (x2 +x +1)
	 = x(x6 – 1) + (x2 + x +1)
	 = x(x3 + 1) (x3 – 1)+ (x2 + x +1)
	 = x (x3 + 1)(x – 1)(x2 + x +1) + (x2 + x +1)
	 = ( x2 + x +1)[x(x-1)(x3+1) +1]
	 = ( x2 + x +1)( x5 - x4 + x2 - x +1)
* Chú ý : Các đa thức dạng x3n+2 + x + 1 ( như x5 + x +1, x8 + x +1,  ) và x3n+1 + x3m+2 + 1 ( như x7 + x2 +1, x7 + x5 +1,  ) đều phân tích được thành nhân tử như ở hai bài trên.
2/ Phương pháp và biện pháp thực hiện :
a/ Phương pháp : Đối với ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử này, khi dạy giáo viên có thể sử dụng phương pháp đặt câu hỏi có vấn đề, từ đó gợi ý giúp học sinh giải quyết vấn đề.
Chẳng hạn, đối với bài phân tích đa thức x2 - 6x + 8 thành nhân tử ;
- GV đặt câu hỏi : Ta có thể sử dụng ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học để phân tích đa thức trên thành nhân tử được không ? Vì sao ?
- GV gợi ý : Ta cần tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
- Từ đó giáo viên hình thành phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử mới cho học sinh.
b/Biện pháp thực hiện : do thời gian trong chương trình có hạn, giáo viên không thể truyền tải hết cả ba phương pháp này một cách chi tiết. Do đó tuỳ theo điều kiện và mức độ tiếp thu của học sinh từng lớp mà giáo viên có thể truyền tải một, hai hay cả ba phương pháp trên. Nếu lớp có thực hiện tiết tự chọn thì giáo viên nên truyền tải một cách chi tiết cả ba phương pháp trên nhằm giúp học sinh dễ dàng trong việc giải toán dạng phân tích đa thức thành nhân tử và các dạng toán khác có liên quan.
III. KẾT QUẢ, HIỆU QUẢ THỰC HIỆN :
Đa số học sinh nắm được các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà giáo viên đã hướng dẫn, phần lớn học sinh biết giải các bài toán dạng như trình bày ở phần nội dung. Nhiều học sinh linh hoạt trong việc phân tích các đa thức thành nhân tử, các em biết nhận dạng và chọn lựa phương pháp phân tích thích hợp.
Nếu không hướng dẫn thêm cho các em các phương pháp trên, khi gặp các bài toán rơi vào dạng trên thì các em rất bỡ ngỡ, rất khó khăn trong việc nhận dạng cũng như tìm lời giải.
IV. MỘT SỐ BÀI HỌC RÚT RA ĐƯỢC :
- Nhiều học sinh không học kĩ các hằng đẳng thức đáng nhớ, ít giải các bài tập có liên quan đến những hằng đẳng thức đáng nhớ, dẫn đến các em không nhận dạng được đa thức đã cho có rơi vào bảy hằng đẳng thức hay không. Chính vì vậy giáo viên cần hướng dẫn thật kĩ và cho học sinh giải thật nhiều các bài tập có liên quan đến hằng đẳng thức trước khi học bài phân tích đa thức thành nhân tử.
- Khi sử dụng phương pháp nhóm hạng tử, nhiều học sinh hay nhóm không đúng dẫn đến không xuất hiện nhân tử chung, từ đó không thể phân tích tiếp được.
- Nhiều học sinh bị mất căn bản ở những lớp dưới dẫn đến các em không thích học toán. Do đó vẫn còn nhiều em chưa giải được những bài toán dạng trên.
	Tiểu Cần, ngày 10 tháng 11 năm 2008
Người viết
Trần Trung Hiếu