Đề tài Khai thác bài toán hình học lớp 7

 Sở giáo dục- đào tạo tỉnh hoà bình
phòng giáo dục- Đào tạo thành phố hoà bình
khai thác một bài toán
hình học lớp 7
 Họ và tên: Phạm Thị Thu Hằng
Tổ: Khoa học tự nhiên
 Trường: Trung học cơ sở Lê Quí Đôn
Năm học: 2008 - 2009
Khai thác bài toán hình học lớp 7.
Phần I . đặt vấn đề.
-lí do chọn đề tài.
 Theo Polya, phương pháp tìm lời giải cho mỗi bài toán thường tiến hành theo các bước:
 *Bước 1. phân tích bài toán. 
 *Bước 2. Xây dựng sơ đồ giải.
 *Bước 3. Thực hiện chương trình giải . 
 *Bước 4. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
 Nhưng học sinh nói chung, nhất là học sinh lớp 7 nói riêng thường bỏ qua bước 4, mà bước kiểm tra và nghiên cứu lời giải lại vô cùng quan trọng, đặc biệt là với học sinh khá giỏi.Nghiên cứu lời giải ở đây không chỉ để hiểu lời giải một cách sâu sắc hay phát hiện thêm cách giải mới mà còn nhằm khai thác bài toán để tìm ra những bài toán khác có liên quan hoặc các bài toán tương tự. Năng lực này rất quan trọng trong cách dạy học tích cực hiện nay, bởi vì: Khi các em khai thác bài toán thì các em là người chủ động, sáng tạo trong các tình huống mới; việc khai thác bài toán thành công sẽ mang lại cho các em hứng thú học toán, niềm say mê trong học tập; quá trình giải các bài toán mới giúp các em hệ thống lại kiến thức cũ, bổ sung nguồn kiến thức mới phong phú, rèn các kĩ năng giải toán. Sau khi khai thác một bài toán thì chắc chắn bài toán đó sẽ để lại ấn tượng rất sâu sắc trong các em. Đặc biệt là với phân môn hình học ở lớp 7, các em mới làm quen với chứng minh hình học, còn lúng túng trong việc tìm tòi lời giải, cách trình bày, từ đó rất dễ dẫn đến việc chán học phân môn hình học. Vì vậy giáo viên cần có sự sáng tạo, tìm tòi, nghiên cứu để mang lại cho các em sự hứng thú, niềm say mê trong các tiết hình học.Việc dạy cho học sinh khai thác bài toán đúng cách và vừa sức đã phần nào đáp ứng được những yêu cầu trên, đặc biệt là đối với việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Việc dạy cho học sinh khai thác bài toán cũng thể hiện được đặc trưng cơ bản của đổi mới phương pháp dạy học môn toán hiện nay đó là dạy học sinh biết cách học, biết cách suy luận, tìm tòi, phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.
 Đó là những suy nghĩ của tôi và cũng là thực tế khi tôi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 7. Vì vậy tôi chọn viết về nội dung :”Khai thác bài toán hình học lớp 7”.
 Trong năm học 2007-2008 tôi đã chọn một bài toán điển hình về vẽ các tam giác vuông cân ở bên ngoài một tam giác đã cho để khai thác và tìm tòi lời giải, xong một số bài toán khai thác nếu đưa ra ngay thì hơi khó đối với học sinh và chỉ thực hiện được khi các em được học chương III hình học 7. Vì vậy năm học 2008-2009 này tôi chọn thêm một bài toán nữa để giúp các em khai thác và tìm ra một số kết luận thú vị. Bài toán này và các bài toán khai thác sẽ ở mức độ đơn giản hơn, nó được đưa lên Bài toán 1 để cho các em tập dượt cách khai thác và tìm tòi lời giải. Bài toán khó hơn được đưa xuống bài toán 2. như vậy hiệu quả của chuyên đề sẽ cao hơn. 
B- Mục tiêu. 
* Về kiến thức: Thông qua việc hướng dẫn học sinh giải và phát triển bài toán giúp các em củng cố kiến thức cơ bản đã học ở hình học lớp 7 đồng thời cung cấp cho các em một số phương pháp mới để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui.
 *Về kĩ năng: Rèn các kĩ năng chứng minh :
+) Hai tam giác bằng nhau.
+) Hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau.
+) Hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song.
+)Một tam giác là tam giác cân, tam giác đều.
+) Ba điểm thẳng hàng , ba đường thẳng đồng qui.
 *Về thái độ :
 +) Để lại trong các em ấn tượng khó phai về một bài toán điển hình lớp 7.
 +) Khơi dậy ở học sinh hứng thú học toán, ham muốn vươn tới những điều mới mẻ, thú vị.
C- nhiệm vụ của chuyên đề.
 Nghiên cứu tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố trong một bài toán, từ đó khai thác, phát triển thành bài toán mới, rồi tìm tòi lời giải cho bài toán mới nhằm đạt được mục đích đã đề ra, từ đó nâng cao hiệu quả dạy học toán. Cụ thể là:
 +) Củng cố cho học sinh một số kiến thức cơ bản.
+)Rèn luyện cho học sinh một số kĩ năng cơ bản giải toán hình học 7.
+)Phát triển tư duy sáng tạo ,năng lực học toán ở học sinh.
+) Bồi dưỡng tình cảm, niềm say mê học toán.
phần II - nội dung
A-lí luận chung. 
 Tư duy nhuần nhuyễn và sáng tạo là hai năng lực cần phải có ở mỗi học sinh giỏi nói chung và học sinh giỏi toán nói riêng.Việc dạy học sinh tìm tòi lời giải, khai thác bài toán đã giúp các em có được hai năng lực trên. Khi các em không chỉ dừng lại ở việc tìm lời giải cho một bài toán mà biết phát triển bài toán ấy thì chính lúc đó các em đã có được sự nhuần nhuyễn khi giải toán, bộc lộ được sự thông minh, sáng tạo của mỗi học sinh .
 Việc tìm tòi, khai thác bài toán không những giúp học sinh rèn các năng lực hoạt động trí tuệ, sáng tạo, linh hoạt, mềm dẻo mà còn mang lại cho các em hứng thú học toán , sự say mê nghiên cứu , ham muốn vươn tới những điều mới mẻ, thú vị trong toán học.Vì vậy việc dạy cho học sinh biết cách khai thác một bài toán như thế nào là rất quan trọng đối với học sinh khá giỏi.
 Muốn khai thác, phát triển được một bài toán thì trước hết học sinh cần có kĩ năng giải toán tốt. Muốn vậy học sinh cần đạt được những yêu cầu sau:
-Nắm chắc một số phương pháp chứng minh :
1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:
+)Chứng minh hai tam giác bằng nhau.
+)Cộng, trừ đoạn thẳng.
+)Dùng đoạn thẳng trung gian.
+)áp dụng tính chất của tam giác cân.
+) Phối hợp nhiều phương pháp.
2.Chứng minh hai góc bằng nhau:
+)Chứng minh hai tam giác bằng nhau.
+)áp dụnh định lí hai đường thẳng song song.
+)Dùng góc trung gian.
+) Xét các cặp góc tương ứng của hai tam giác.
+) Dùng tính chất của tam giác cân.
+)áp dụng định lí về cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc, cặp góc có cạnh tương ứng song song.
 +) Phối hợp nhiều phương pháp.
3)Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
+) Chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng đó vuông góc.
+) Cộng,(trừ) góc.
+) Định lí hai tia phân giác của hai góc kề bù.
+) Xét các cặp góc tương ứng của hai tam giác 
4)Chứng minh ba điểm thẳng hàng ( Giả sử ba điểm A,B,C)
+) Chứng minh góc ABC bằng 1800.
+)Chứng minh hai đường thẳng AB và BC trùng nhau ( áp dụng tiên đề Ơclit)
+)Lấy điểm O thuộc đường thẳng AB, chứng minh điểm O trùng với điểm C
+) Phương pháp phản chứng.
5) chứng minh ba đường thẳng đồng qui ( giả sử ba đường thẳng a,b,c)
+)Gọi 0 là giao điểm của hai đường thẳng a và b, chứng minh điểm O thuộc đường thẳng c.
+) áp dụng định lí về các đường đồng qui trong tam giác.
+) Dùng phương pháp phản chứng.
b-Một số Bài toán .
I-Bài toán 1. Cho tam giác ABC có góc A bằng 900, góc B bằng 600, Chứng minh rằng: AB= .
C
 gt ABC : A=900; B=600
 D kl AB=
A B
GV: Để chứng minh :AB=, cần làm như thế nào? 
( Có thể lấy một điểm phụ D sao cho D chia đoạn thẳng BC thành hai đoạn thẳng bằng nhau mà AB bằng một trong hai đoạn thẳng đó). 
? Vậy cần lấy điểm phụ đó như thế nào?
HS: Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho AB=DB
 Giải
Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD=AB ABD cân tại B, lại có ABD= 600 (gt) ABD đều ADB= 600 (1) và AB=BD=AD (*)
-Xét ABC có BAC=900, ABC=600 ( gt) nên ACD=1800-600=300. (2)
-lại có ADB =DAC+ACD (Tính chất góc ngoài của tam giác) Từ (1), (2), (3) suy ra DAC=600-300=300 ADC cân tại D ( vì có DAC=ACD=300) AD=DC (**)
-Từ (*) và (**) ta có AB=BD=DC AB= ( Đpcm)
* Nhận xét: Baì toán 1 tương đương với bài toán nào?
1) . Cho tam giác ABC có góc A bằng 900, góc C bằng 300, Chứng minh rằng: AB=.
2. . Cho tam giác ABC có góc C bằng 300, góc B bằng 600, Chứng minh rằng: AB=
* Đặt vấn đề: Lập mệnh đề đảo của bài toán 1 :Cho tam giác ABC có góc A bằng 900, AB=thì góc B bằng 600, có đúng không? Ta có bài toán sau:
Bài 1.1 . Cho tam giác ABC có góc A bằng 900, AB=. Chứng minh rằng góc B bằng 600 .
C Hướng dẫn:Ta lại nghĩ đến điểm phụ D là trung điểm của cạnh BC. 
 AB=., BD=DC=AB=BD=DC các tam giác D D ABD,ACD cân DAB =ADB =2DAC =2DCA
 Lại có: 900=BAC =DAB+DAC =2DAC+DAC
 3DAC
A B DAC=900:3=300 BAC=600.
* Đặt vấn đề: Trở lại bài toán1, giữ lại điều kiện góc B bằng 600 ở (gt), đảo điều kiện góc A bằng 900 xuống kết luận thì mệnh đề có đúng không? Ta có bài toán sau:
Bài 1.2 . Cho tam giác ABC có, góc B bằng 600, AB= .Chứng minh rằng: Tam giác ABC vuông tại A.
C Hướng dẫn: Ta vẫn tiếp tục sử dụng điểm phụ D là trung điểm 
 D cạnh BC. Dễ chứng minh được tam giác ADB đều, suy ra 
 góc DAB bằng 600, suy ra tiếp góc ADC bằng 1200( Tính
 chất góc ngoài của tam giác) nên góc CAD bằng 300
A B suy ra góc CAB bằng 900.
GV: Qua các bài toán trên,ta có thể rút ra những kết luận gì?
 *Nhận xét: 
 1) Tam giác vuông có một góc bằng 300 thì cạnh đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền.
2)Tam giác vuông có một cạnh bằng một nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh ấy bằng 300.
3)Tam giác có một góc bằng 600 và tỉ số hai cạnh của góc đó bằng 1/2 thì tam giác đó là tam giác vuông. 
GV: Sau này lên lớp 8, các em sẽ được học các tính chất này với các cách chứng minh khác.
*Đặt vấn đề: Trở lại bài toán 1. Ngoài cách đã chứng minh, ta có thể làm theo cách khác : Tạo ra tam giác đều bằng cách: trên tia BA lấy điểm E sao cho: A là trung điểm của BE, dễ chứng minh được tam giác BEC đều suy ra BE=BC, mà AB=, nên AB=.
Tiếp tục tìm tòi ta thử vẽ tia Bx sao cho ABx= 150, tia Bx nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C. Gọi M là giao điểm của tia Bx và AC. Tam giác CBM có BCM =300, CBM=CBA+ABx=600+150=750, do đó CBM=1800-BCM-CBM=750. Ta có CBM=CMB (=750), nên tam giác CBM cân tại C. Nên ta có bài toán khá hay sau:
Bài 1.3 Cho tam giác ABC cân đỉnh A, có BAC= 300. Vẽ BH vuông góc với AC tại H. Chứng minh rằng BH=.
 A gt ABC cân tại A, BAC=300 , BHAC
 kl BH=.
 H - Hướng dẫn: Em hãy nhận xét về tam giác ABH?
B C 
HS: ABH cóvuông tại H , lại có BAH= 300, nên chứng minh được BH=, mà AB=AC (gt) suỷ ra BH=.
* Bằng cách lập mệnh đề đảo và tìm tòi ta có những bài toán sau: ( HS tự luyện)
Bài 1.4. Cho tam giác ABC cân đỉnh A, vẽ BH vuông góc với AC tại H, có BH=. Chứng minh rằng góc BAC bằng 300.
Bài 1.5 Cho tam giác ABC cân đỉnh A, có góc BAC bằng 300, H là điểm trên cạnh AC sao cho BH=. Chứng minh rằng BH vuông góc với AC.
Bài 1.6. Cho tam giác ABC có góc BAC bằng 300, vẽ BH vuông góc với AC tại H và có BH=. Chứng minh rằng tam giác ABC cân đỉnh A,
II-Bài toán 2.Cho tam giác ABC ( góc A nhỏ hơn 90o), ở phía ngoài của tam giác ABC vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD và ACE. Chứng minh rằng: 
a) BE = DC. 
b) hai đường thẳng DC và BE vuông góc với nhau.
. GV: Yêu cầu HS đọc kĩ đề bài , vẽ hình ghi GT, KL của bài toán
D E
 ABC, A<900, cóADB, ACE
 A GT vuông cân tại A
 I1 1 2 (như hình bên)
` 2 0	KL a) BE=DC
 b) BE DC ... toán trên.
Đáp án và biểu điểm
Bài 1. (3điểm) -Điền đúng mỗi ý cho 0,5 điểm.
 a) Đ b) S c)Đ d) S.
-Sửa sai được mmỗi câu cho 0,5 điểm.
b) Sửa thành: PRS= QSR
d) Sửa thành: PQR= QPS.
Bài 2.( 7 điểm) - Vẽ hình, ghi GT, KL đúng, sạch đẹp cho 1 điểm.
-Giải đúng phần a) cho3 điểm. ( Lời giải ở bài toán 2)
- Giải đúng phần b) cho 2 điểm. ( Lời giải ở bài toán 2)
- Nêu được ý tưởng khai thác bài toán cho 1 điểm. ( Học sinh tuỳ ý khai thác bài toán, miễn sao hợp lí)
Kết quả kiểm tra 20 em học sinh trong đội tuyển lần 1.
Điểm 
9-10
7-8
5-6
dưới 5
Sl
1(5%)
3(15%)
9(45%)
7(35%)
Đề kiểm tra lần Ii
( Thời gian 30 phút ngày 19 /01/2009)
Bài 1. ( 1,5 điểm) Cho hình 1. Biết C và A1 phụ nhau Em hãy chọn phương án đúng và đầy đủ nhất. A. Tam giác DAC là tam giác cân tại D 
C B.Tam giác DAB là tam giác cân tại D.
 D C.AD là tia phân giác của tam giác ABC.
A 1 B D. AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Bài 2.( 1,5 điểm) Quan sát hình 2 và chọn đúng giá trị của x theo cm.
 A. B. 
 C. D. 
Bài 3. (7điểm) Cho tam giác MNP, vẽ về phía ngoài tam giác này các tam giác vuông cân tại M là MND và MPE. MH là một đường cao của tam giác MNP, từ E vẽ EI vuông góc với HM.
a) Chứng minh rằng MI=HP.
b) Biết MN=6cm, NP= 10cm. Tính (MH2+MI2)
c)Gọi O là giao điểm của MH và DE, chứng minh rằng MO=NP/2.
Đáp án và biểu điểm
Bài 1.Chọn D cho 1,5 điểm
Bài 2. Chọn B cho 1,5 điểm.
Bài 3.(3,5 điểm) -Vẽ hình, ghi GT-KL đúng cho 1 điểm.
 a) Chứng minh được M1=P1 ( cho0,5 đ) 
 K -Chứng minh được hai tam giác
 I vuông HMP và IEM bằng nhau 
 E ( c. huyền -g. nhọn) ( cho 1điểm)
 -Kết luận M1=P1 (cho 0,5 điểm)
 D
 M 1 b)-Tính được MP= 8cm ( cho 0,75 đ)
 -Chỉ ra được MH2+MI2 =MH2 +HP2
 (cho 0,5 điểm)
 - Đủ lập luận và tính được:
 N H 1 P MH2+MI2 =8cm (cho 0,75đ)
c) - Chứng minh được OD=OE (ch0 0,5 điểm).
-Chứng minh được DK=ME; MO=MK/2 (cho 0,5 điểm)
-Chứng minh được hai tam giácMNP và DMK bằng nhau ( cho 0,5 điểm).
-Chứng minh đưộc OM= NP/2 (cho 0,5 điểm)
Kết quả kiểm tra 24 em học sinh trong đội tuyển lần 2.
Điểm 
9-10
7-8
5-6
dưới 5
Sl
5(25%))
8(40%)
5(25%)
2(10%)
II-Bài học kinh nghiệm.
 Qua thực tế viết và giảng dạy chuyên đề: “Khai thác một bài toán hình học lớp 7” với đối tượng học sinh khá giỏi, tôi nhận thấy việc hướng dẫn và khuyến khích học sinh khai thác bài toán là rất thiết thực và hữu ích. Bởi việc khai thác bài toán giúp các em vừa nhuần nhuyễn bài toán được khai thác, lại vừa hiểu sâu kiến thức đồng thời phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo ở học sinh. Từ đó tạo cho các em niềm say mê học toán, ham muốn tìm tòi, vươn tới những điều mới lạ trong toán học và cũng rèn cho các em thói quen phân tích kĩ một bài toán , xem xét nó dưới nhiều góc độ. 
 Không chỉ có thế, qua việc thực hiện chuyên đề này, tôi nhận thấy tiềm năng sáng tạo ở học sinh là rất lớn, các em có nhiều ý tưởng khác nhau, rất bất ngờ và rất thú vị, tôi nghĩ rằng giáo viên chúng ta cũng có thể đúc rút thêm kinh nghiệm từ đó.
 Và một điều nữa tôi rút ra sau khi thực hiện chuyên đề này, đó là việc khai thác bài toán cũng không cần phải đi tìm ở đâu, không cần phải “ cao siêu” quá, mà có thể bắt đầu ngay chính những bài tập ở sách giáo khoa, có thể đơn giản hơn để phục vụ được cho nhiều đối tượng học sinh hơn.
 Cũng chính từ việc viết và thực hiện chuyên đề trên tôi đã sưu tầm và hệ thống những bài toán có thể khai thác được một cách hữu ích ở ngay sách giáo khoa và sách bài tập, với ý định sẽ đưa vào trong các tiết luyện tập của học sinh ở các tiết học chính khoá. Tôi cũng có ý định viết tiếp chuyên đề này nhưng sẽ mở rộng hơn và hoàn thiện hơn nữa để có thể ứng dụng rộng hơn.
 Tuy nhiên cũng dễ nhận thấy tính ứng dụng của chuyên đề này chỉ trong phạm vi đối tượng là học sinh khá giỏi, để mang lại hiệu quả cao thì đòi hỏi trò phải được trang bị tốt về kiến thức và kĩ năng, đặc biệt là khả năng phân tích; còn thầy phải là người vững kiến thức, tổ chức, hướng dẫn tốt, chu đáo. Như vậy đòi hỏi người ở thầy phải tâm huyết với nghề, không ngừng học hỏi, nâng cao kiến thức, trình độ chuyên môn. Người thầy phải dự đoán trước được những tình huống có thể xảy , để có được quyết định nhanh, chính xác, giúp học sinh định hướng đúng, không bị “lạc đường”.
Cụ thể để việc thực hiện được chuyên đề này được thành công hơn thì trước khi dạy chuyên đề này, giáo viên cần:
+) Tung ra cho học sinh tự nghiên cứu trước bài toán “ gốc” .
+) Yêu cầu học sinh ôn và hệ thống lại các phương pháp chứng minh: hai đoạn thẳng bằng nhau; hai góc bằng nhau; hai đường thẳng vuông góc; hai đường thẳng song song; ba điểm thẳng hàng; ba đường thẳng đồng qui.
+) Dạy chuyên đề “ vẽ thêm đường phụ để giải một số bài toán hình học 7” .
III – Kết luận chung.
 Qua thực tế vận dụng chuyên đề : Khai thác một bài toán hình học lớp 7 vào giảng dạy ở trường THCS Lê Quí Đôn , tôi nhận thấy học sinh đón nhận rất hào hứng, trong quá trình học, học sinh rất thoải mái, các em có điều kiện được bộc lộ khả năng, sự sáng tạo của bản thân, và đặc biệt là chính các em cũng tự nhận thấy khi đó mình là người chủ động về kiến thức.
 Việc khai thác bài toán trên cơ sở xoáy quanh những vấn đề ở bài toán “gốc” giúp các em liên tục được củng cố về kiến thức đã học, rèn lại những kĩ năng đã thực hành. Như vậy sự tìm tòi, sáng tạo không tách rời khỏi kiến thức và kĩ năng cơ bản, nó diễn ra song hành với việc ôn kiến thức, luyện kĩ năng. Điều đó giúp học sinh thường xuyên ôn lại kiến thức mà không hề thấy nhàm chán, tiếp cận kiến thức mới một cách tự nhiên, chủ động, tạo cho học sinh hứng thú học tập, sự say mê, yêu thích bộ môn.
 Trong khuôn khổ của chuyên đề này tôi cũng chỉ đề cập đến việc khai thác hai bài toán và thông qua đó giới thiệu với học sinh một số cách khai thác bài toán, với hy vọng mang lại cho học sinh hứng thú học tập, phát huy được khả năng của bản thân; đồng thời rèn cho học sinh các kĩ năng chứng minh cơ bản, cách phân tích, tìm tòi nhiều lời giải cho một bài toán. Song bản tôi kinh nghiệm cũng còn hạn chế, thời gian gian kiểm nghiệm cũng chưa nhiều, nên chắc chắn sẽ còn rất nhiều khiếm khuyết. Tôi sẽ vận dụng và rút kinh nghiệm trong những năm học tới, bổ sung thêm các cách giải và điều chỉnh cho phù hợp hơn. 
 Tôi rất mong nhận được sự giúp đỡ của cấp trên và đồng nghiệp để chuyên đề của tôi sẽ hoàn thiện và có tính ứng dụng cao hơn. 
Xin chân thành cảm ơn!
 Hoà Bình ngày 04 tháng 02 năm 2009.
 Tác giả:
 Phạm Thị Thu Hằng
đánh giá của hội đồng khoa học nhà trường:
.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 
đánh giá của hội đồng khoa học cấp trên:
.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
 Sở giáo dục- đào tạo tỉnh hoà bình
phòng giáo dục- Đào tạo thành phố hoà bình
khai thác một bài toán
hình học lớp 7
 Họ và tên: Phạm Thị Thu Hằng
Tổ: Khoa học tự nhiên
 Trường: Trung học cơ sở Lê Quí Đôn
Năm học: 2008 - 2009